15.3　角的平分线第1课时教学课件--沪科版（2024）数学八年级上册

(共25张PPT)
第1课时　角平分线的尺规作图
第15章　15.3　角的平分线
沪科版（2024）数学八年级上册
1.理解和掌握用尺规作已知角的平分线，以及过一点作已知直线的垂线.(重点)
2.应用三角形全等的知识，理解角平分线的原理.(难点)
3.在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神.
学习目标
角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
情境引入
一、尺规作角的平分线的方法及应用
问题1　怎样得到一个角的平分线？
(1)用量角器度量角的度数可以找出一个角的平分线；
(2)通过折纸可以得到一个角的角平分线.如图，在半透明纸上任画∠AOB，折纸使射线OA，OB重合，得到的　　　　就是∠AOB的平分线；
射线OP
(3)用尺规作图，作出∠AOB的平分线.
作法：
①如图(1)，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N.
②如图(2)，分别以M，N为圆心，以大于　　　　长为半径在角的内部作弧，两弧交于点P.
③如图(3)，作射线OP，则OP为所求作的∠AOB的平分线.
MN
知识梳理
用尺规作图作一个角的角平分线的依据：
如图，运用“边边边”证明△OMP≌△ONP，可得到∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.
例1
已知：∠AOB，如图所示.
求作：∠AOB的补角的平分线.
解　作法：
(1)如图，反向延长射线OB，则∠AOC就是∠AOB的补角；
(2)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OC，OA于E，F两点；
(3)分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠AOC的内部相交于点D；
(4)作射线OD，则射线OD就是∠AOB的补角的平分线.
反思感悟
在用尺规作角的平分线时，必须以大于MN的长为半径画弧，否则两弧无交点；两弧的交点必须在角的内部找，因为角的平分线在角的内部.
(2025·广西柳州柳北区模拟)在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，其中点D在边BC上.
(1)用圆规和直尺在图中作出角平分线AD；(不要求写作法，保留作图痕迹)
跟踪训练1
解　如图，射线AD即为所求.
(2025·广西柳州柳北区模拟)在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，其中点D在边BC上.
(2)若∠C=80°，∠B=40°，求∠ADB的度数.
解　因为∠C=80°，∠B=40°，
所以∠CAB=180°-∠B-∠C=60°，
因为AD平分∠CAB，
所以∠CAD=∠DAB=×60°=30°，
所以∠ADB=∠C+∠CAD=80°+30°=110°.
跟踪训练1
二、过一点作已知直线的垂线及应用
问题2　经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.
已知：如图，直线AB和AB上一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：如图，作平角　　　的平分线CF.则　 　　就是所求作的垂线.
ACB
直线CF
问题3　经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：如图，直线AB和AB外一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：(1)如图，任意取一点K，使点K和点C在AB的　　　；
(2)以点　　为圆心，　　长为半径作弧，交直线AB于点D，E；
(3)分别以点D，E为圆心，大于　　　　长为半径作弧，两弧相交于点F；
(4)作　　　　.则　　　　就是所求作的垂线.
两旁
C
CK
DE
直线CF
直线CF
用直尺和圆规作一个等于135°的角.(写出作法，保留作图痕迹)
例2
解　如图，∠AOC即为所求.
(2025·安徽芜湖镜湖区期末)△ABC如图所示，AE，CD分别是△ABC的高，已知AB=10，CD=6.
(1)请画出△ABC的高AE和CD；
跟踪训练2
解　依题意，AE，CD即为所求作的高，如图所示.
(2)求△ABC的面积.
解　S△ABC=AB·CD=×10×6=30.
1.(2025·广西南宁上林县期中)用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是
A.SSS B.ASA
C.AAS D.HL
√
解析　由尺规作图可知OM=ON，NC=MC，
在△NOC和△MOC中，
所以△NOC≌△MOC(SSS)，
所以∠AOC=∠BOC.
2.如图所示的作图痕迹作的是
A.线段的垂直平分线
B.过一点作已知直线的垂线
C.一个角的平分线
D.作一个角等于已知角
√
3.(2025·广西梧州苍梧县期末)如图，已知四边形ABCD，利用尺规作图法作∠ABC的平分线交CD于点E.(不写作法，保留作图痕迹)
解　如图，射线BE即为所求.
4.如图，已知钝角△ABC，过点A作BC边的垂线，交CB的延长线于点D.(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)
解　如图所示.
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE=FC. 求证：BD=DF.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC=DE.
在△DCF和△DEB中，
证明：∵∠C=90°，∴DC⊥AC.
∴△DCF≌△DEB. (SAS)
∴BD=DF.
随堂演练
A
B
C
P
6.如图，在Rt △ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.
D
(1)求△APB的面积；
(2)求 PDB的周长.
解：(1)如图，过点P 作PD⊥AB,
由角平分线的性质，可知，PD=PC=4，
S△PDB= ·AB·PD=28.
(2)在Rt△APC和Rt△APD中，PC=PD，AP=AP，
∴Rt△APC≌Rt△APD，(HL)
∴AC＝AD=BC.
∴C△PDB=PD+PB+DB=PC+PB+DB=BC+DB=AD+DB=AB=14.
随堂演练
7.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD 与∠ABC 的平分线的交点，
PE⊥AB于E，且 PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵AD∥BC，
∴MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.
∵AP平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，
∴PM=PE.
同理，PN=PE.
∴ PM=PN=PE=3.
∴ MN=6. 即AD与BC之间的距离为6.
随堂演练
谢谢