15.3　角的平分线第2课时教学课件--沪科版（2024）数学八年级上册

(共30张PPT)
沪科版（2024）数学八年级上册
第2课时　角平分线的性质及判定
第15章　15.3　角的平分线
1.理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能利用它们进行推理或证明.(重点)
2.能应用角平分线的性质定理和它的逆定理解决一些简单的实际问题.(难点)
学习目标
如图，要在两条公路的中间修建一座加油站，要求选的位置到两条公路的距离相等，请你设计出加油站的位置，并说明你的理由.
情境引入
一、角平分线的性质定理及应用
问题1　已知OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.
(1)操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，测量PD，PE的长，汇集三次测量的数据可以得到二者的大小关系是　　　　　；
PD=PE
(2)验证猜想：
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
提示　证明：因为PD⊥OA，PE⊥OB，
所以∠PDO=∠PEO=90°，
在△PDO和△PEO中，
所以△PDO≌△PEO(AAS)，
所以PD=PE.
知识梳理
角平分线的性质定理：角平分线上的点到 的距离 .
角两边
相等
例1
如图，在△ABC中，∠C=90°.
(1)过点B作∠ABC的平分线交AC于点D(尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明)；
解　∠ABC的平分线如图所示.
如图，在△ABC中，∠C=90°.
(2)若CD=3，AB+BC=16，求△ABC的面积.
解　作DH⊥AB于H.
因为BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，
所以DH=CD=3，
所以△ABC的面积=S△BCD+S△ABD=BC·CD+AB·DH=×3BC+×3AB=×3(BC+AB)=×3×
16=24.
例1
反思感悟
(1)利用角的平分线的性质得到线段相等时，注意不要漏掉垂直关系的书写.
(2)遇到一个点在某个角的平分线上时，一般过该点向角的两边作垂线，进而得到垂线段相等.
(1)(2025·广西河池天峨县期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=30，BD∶CD=3∶2，则点D到AB的距离为
A.18 B.12
C.15 D.16
跟踪训练1
√
解析　如图，作DE⊥AB于E，
因为BD∶CD=3∶2，BC=30，所以CD=12，
因为AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
所以DE=CD=12.
即点D到AB的距离为12.
(2)如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：EB=FC.
证明　因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
所以DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
所以Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
所以EB=FC.
二、角平分线的判定定理及应用
问题2　交换角平分线的性质定理中的已知和结论，你能得到什么结论？并验证你的结论.
提示　能得到的结论是角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
验证：已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：作射线OP，因为PD⊥OA，PE⊥OB.
所以∠PDO=∠PEO=90°，
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
所以Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).
所以∠AOP=∠BOP(全等三角形的对应角相等).
所以点P在∠AOB的平分线上.
知识梳理
角平分线的判定定理：角的 到角两边距离 的点在角的平分线上.
内部
相等
如图，已知△ABC的∠B，∠C的外角平分线交于点D，AD是∠BAC的平分线吗？说明理由.
例2
解　如图，分别过D作DE，DF，DG垂直于AB，BC，AC，垂足分别为E，F，G，
因为BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，
所以DE=DF，
同理DG=DF，
所以DE=DG，
所以点D在∠EAG平分线上，
所以AD是∠BAC的平分线.
反思感悟
要证角平分线，先向两边作垂线段，证垂线段相等，进而推得角平分线.
(2025·广西贵港平南县期末)如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.
跟踪训练2
证明　因为BE⊥AC，CF⊥AB，
所以∠BFD=∠CED=90°.
在△BDF与△CDE中，
所以△BDF≌△CDE(AAS).
所以DF=DE，
所以AD是∠BAC的平分线.
三、三角形三条角平分线交点的性质及应用
(课本P141例题)已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BE与∠ACB的平分线CF相交于点P.
求证：AP平分∠BAC.
例3
证明　过点P分别作PM⊥BC，PN⊥AC，PQ⊥AB，
垂足分别为点M，N，Q.
∵BE是∠ABC的平分线，点P在BE上，(已知)
∴PQ=PM.(角平分线上的点到角两边的距离相等)
同理：PN=PM.
∴PN=PQ.(等量代换)
∴AP平分∠BAC.(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
反思感悟
三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.
如图所示，已知点P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB，若PD=5，△ABC的周长为20，求△ABC的面积.
跟踪训练3
解　作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，
因为点P是△ABC三条角平分线的交点，
所以PE=PF=PD=5，
因为△ABC的周长为20，所以AB+BC+AC=20，
所以S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC
=PD·AB+PE·BC+PF·AC
=(AB+BC+AC)
=×20=50.
1.(2025·广西南宁武鸣区模拟)如图，用直尺和圆规在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE=3，则PF的长为
A.1.5 B.3
C.4 D.5
解析　由作图可知OH平分∠AOB，
因为PE⊥OB，PF⊥OA，
所以PF=PE=3.
√
2.(2025·广西南宁良庆区质检)三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是
A.三条高线的交点 B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点
√
解析　在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A，∠B，∠C的角平分线的交点处.
3.(2025·安徽宿州埇桥区质检)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=8，AC=6，则S△ABD∶S△ACD=　 　.
4∶3
解析　如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
因为AD平分∠BAC，
所以根据角平分线的性质得DM=DN，
因为AB=8，AC=6，
所以根据三角形的面积公式得S△ABD∶S△ACD=∶=AB∶AC=4∶3，
即S△ABD∶S△ACD的值为4∶3.
4.已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F，G分别是OA，OB上的点，且PF=PG，DF=EG.
求证：OC是∠AOB的平分线.
证明　在Rt△PFD和Rt△PGE中，
所以Rt△PFD≌Rt△PGE(HL)，
所以PD=PE，
因为P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
所以OC是∠AOB的平分线.
谢谢