15.4 等腰三角形第2课时教学课件--沪科版（2024）数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 15.4 等腰三角形第2课时教学课件--沪科版（2024）数学八年级上册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-23 00:00:00 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
沪科版（2024）数学八年级上册
第2课时 等腰三角形的性质定理2
第15章 15.4 等腰三角形
1.掌握等腰三角形的性质定理2，会用定理进行推理或计算.(重点)
2.能根据等腰三角形的性质证明“HL”，进一步提升逻辑推理能力.(难点)
学习目标
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗？
情境引入
一、等腰三角形的性质定理2及应用
问题1 观察猜想：折叠等腰三角形纸片△ABC，除了两腰相等和两底角相等外，还可以发现图形中相等的线段或角.
(1)BD= ，即AD为底边上的 ；
(2)∠ADB= =90°，即AD为底边上的 ；
(3)∠BAD= ，即AD为顶角 .
CD
中线
∠ADC
高
∠CAD
平分线
问题2 推理验证
(1)已知：△ABC中，AB=AC，BD=CD.
求证：∠ADB=∠ADC=90°且∠BAD=∠CAD.
证明：在△ABD与△ACD中，
所以△ABD≌ ( ).
所以∠ADB= ，∠BAD= ，
因为∠ADB+ ，
所以∠ADB= =90°.
△ACD
SSS
∠ADC
∠CAD
∠ADC=180°
∠ADC
(2)已知：△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD.
求证：∠ADB=∠ADC=90°且BD=CD.
证明：在△ABD与△ACD中，
所以△ABD≌ ( )，
所以∠ADB=∠ADC且BD=CD，
因为∠ADB+ ，
所以∠ADB= =90°.
△ACD
SAS
∠ADC=180°
∠ADC
(3)已知：△ABC中，AB=AC，∠ADB=∠ADC=90°.
求证：∠BAD=∠CAD且BD=CD.
证明：因为∠ADB= =90°，
所以△ABD与△ACD都是 三角形，
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
所以Rt△ABD≌Rt△ACD( )，
所以∠BAD= ，BD= .
∠ADC
直角
HL
∠CAD
CD
知识梳理
等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角 、底边上的 和底边上的 重合.简称“ ”.
平分线
中线
高
三线合一
例1
(1)(课本P147例2)已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点.求证：BE=CE.
证明 ∵AB=AC，AD是边BC上的中线，(已知)
∴AD是BC边上的高.(三线合一)
∴AD垂直平分线段BC.
(线段垂直平分线的定义)
∵点E是AD上一点，(已知)
∴BE=CE.(线段垂直平分线的性质)
(2)如图①，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC.
①若AD=AE，求证：BD=CE；
证明 如图，过A作AG⊥BC于G.
因为AB=AC，AD=AE，
所以BG=CG，DG=EG，
所以BG-DG=CG-EG，
所以BD=CE.
(2)如图①，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC.
②若BD=CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC.
证明 因为BD=CE，F为DE的中点，
所以BD+DF=CE+EF，
所以BF=CF.
因为AB=AC，所以AF⊥BC.
反思感悟
在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线，底边上的高，底边上的中线是常见的辅助线.
如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD.求证：∠DBC=∠DEC.
跟踪训练
证明 因为△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
所以∠ABC=∠ACB=60°.
∠DBC=30°(等腰三角形三线合一).
又因为CE=CD，
所以∠CDE=∠CED.
又因为∠BCD=∠CDE+∠CED，
所以∠CDE=∠CED=30°.
所以∠DBC=∠DEC.
二、利用等腰三角形的性质证明“HL”
(课本P147例3)求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.已知：如图，在Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：Rt△ABC≌ Rt△A'B'C'.
例2
证明 如图，在平面内移动Rt△ABC和Rt△A'B'C'，
使点A和A'、点C和C'重合，点B和B'在AC的两侧.
∵∠BCB'=90°+90°=180°，(等式性质)
∴B，C，B'三点在同一直线上.(平角的定义)
∵AB=AB'，(已知)
∴∠B=∠B'.(等边对等角)
(课本P147例3)求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.已知：如图，在Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：Rt△ABC≌ Rt△A'B'C'.
例2
证明 在Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中，
∵
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.(AAS)
1.(2025·广西桂林秀峰区期末)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BD=4，则BC长是
A.8 B.6
C.4 D.2
√
解析 因为AB=AC，AD⊥BC，
所以BC=2BD=8.
2.(2025·安徽合肥瑶海区期末)如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，∠BAC=66°，则∠BAD= .
33°
解析 因为AB=AC，点D是BC边上的中点，
所以AD平分∠BAC，
因为∠BAC=66°，
所以∠BAD=∠BAC=×66°=33°.
3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=BC.求证：AB平分∠EAD.
证明 因为AB=AC，AD是BC边上的中线，
所以BD=BC，AD⊥BC，
因为BE=BC，
所以BD=BE，
因为AE⊥BE，
所以AB平分∠EAD.
4.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：∠DEF=∠DFE.
证明 连接AD，如图，
因为D是BC的中点，
所以BD=CD，
又因为AB=AC，
所以AD是∠BAC的平分线，
又因为DE⊥AB，DF⊥AC，
所以DE=DF，
所以∠DEF=∠DFE.
5.如图，点E在△ABC 的AC 边的延长线上，点D 在AB 边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE.
求证：△ABC是等腰三角形.
证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示.
∵DG∥AC，∴∠GDF=∠E，∠DGB=∠ACB.
∴△GDF≌△CEF，(ASA)
∴GD=CE.
∵BD=CE，∴BD=GD，∴∠B=∠DGB，
∴∠B=∠ACB，则AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.
在△GDF 和△CEF中，
6.已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120°， DF∥BA，且DF平分∠CDE.
求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.
∴∠EDF=∠FDC=60°，
又∵DF∥BA，
∴∠FDC=∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形.
谢谢
沪科版（2024）数学八年级上册
第2课时 等腰三角形的性质定理2
第15章 15.4 等腰三角形
1.掌握等腰三角形的性质定理2，会用定理进行推理或计算.(重点)
2.能根据等腰三角形的性质证明“HL”，进一步提升逻辑推理能力.(难点)
学习目标
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗？
情境引入
一、等腰三角形的性质定理2及应用
问题1 观察猜想：折叠等腰三角形纸片△ABC，除了两腰相等和两底角相等外，还可以发现图形中相等的线段或角.
(1)BD= ，即AD为底边上的 ；
(2)∠ADB= =90°，即AD为底边上的 ；
(3)∠BAD= ，即AD为顶角 .
CD
中线
∠ADC
高
∠CAD
平分线
问题2 推理验证
(1)已知：△ABC中，AB=AC，BD=CD.
求证：∠ADB=∠ADC=90°且∠BAD=∠CAD.
证明：在△ABD与△ACD中，
所以△ABD≌ ( ).
所以∠ADB= ，∠BAD= ，
因为∠ADB+ ，
所以∠ADB= =90°.
△ACD
SSS
∠ADC
∠CAD
∠ADC=180°
∠ADC
(2)已知：△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD.
求证：∠ADB=∠ADC=90°且BD=CD.
证明：在△ABD与△ACD中，
所以△ABD≌ ( )，
所以∠ADB=∠ADC且BD=CD，
因为∠ADB+ ，
所以∠ADB= =90°.
△ACD
SAS
∠ADC=180°
∠ADC
(3)已知：△ABC中，AB=AC，∠ADB=∠ADC=90°.
求证：∠BAD=∠CAD且BD=CD.
证明：因为∠ADB= =90°，
所以△ABD与△ACD都是 三角形，
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
所以Rt△ABD≌Rt△ACD( )，
所以∠BAD= ，BD= .
∠ADC
直角
HL
∠CAD
CD
知识梳理
等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角 、底边上的 和底边上的 重合.简称“ ”.
平分线
中线
高
三线合一
例1
(1)(课本P147例2)已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点.求证：BE=CE.
证明 ∵AB=AC，AD是边BC上的中线，(已知)
∴AD是BC边上的高.(三线合一)
∴AD垂直平分线段BC.
(线段垂直平分线的定义)
∵点E是AD上一点，(已知)
∴BE=CE.(线段垂直平分线的性质)
(2)如图①，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC.
①若AD=AE，求证：BD=CE；
证明 如图，过A作AG⊥BC于G.
因为AB=AC，AD=AE，
所以BG=CG，DG=EG，
所以BG-DG=CG-EG，
所以BD=CE.
(2)如图①，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC.
②若BD=CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC.
证明 因为BD=CE，F为DE的中点，
所以BD+DF=CE+EF，
所以BF=CF.
因为AB=AC，所以AF⊥BC.
反思感悟
在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线，底边上的高，底边上的中线是常见的辅助线.
如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD.求证：∠DBC=∠DEC.
跟踪训练
证明 因为△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
所以∠ABC=∠ACB=60°.
∠DBC=30°(等腰三角形三线合一).
又因为CE=CD，
所以∠CDE=∠CED.
又因为∠BCD=∠CDE+∠CED，
所以∠CDE=∠CED=30°.
所以∠DBC=∠DEC.
二、利用等腰三角形的性质证明“HL”
(课本P147例3)求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.已知：如图，在Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：Rt△ABC≌ Rt△A'B'C'.
例2
证明 如图，在平面内移动Rt△ABC和Rt△A'B'C'，
使点A和A'、点C和C'重合，点B和B'在AC的两侧.
∵∠BCB'=90°+90°=180°，(等式性质)
∴B，C，B'三点在同一直线上.(平角的定义)
∵AB=AB'，(已知)
∴∠B=∠B'.(等边对等角)
(课本P147例3)求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.已知：如图，在Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：Rt△ABC≌ Rt△A'B'C'.
例2
证明 在Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中，
∵
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.(AAS)
1.(2025·广西桂林秀峰区期末)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BD=4，则BC长是
A.8 B.6
C.4 D.2
√
解析 因为AB=AC，AD⊥BC，
所以BC=2BD=8.
2.(2025·安徽合肥瑶海区期末)如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，∠BAC=66°，则∠BAD= .
33°
解析 因为AB=AC，点D是BC边上的中点，
所以AD平分∠BAC，
因为∠BAC=66°，
所以∠BAD=∠BAC=×66°=33°.
3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=BC.求证：AB平分∠EAD.
证明 因为AB=AC，AD是BC边上的中线，
所以BD=BC，AD⊥BC，
因为BE=BC，
所以BD=BE，
因为AE⊥BE，
所以AB平分∠EAD.
4.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：∠DEF=∠DFE.
证明 连接AD，如图，
因为D是BC的中点，
所以BD=CD，
又因为AB=AC，
所以AD是∠BAC的平分线，
又因为DE⊥AB，DF⊥AC，
所以DE=DF，
所以∠DEF=∠DFE.
5.如图，点E在△ABC 的AC 边的延长线上，点D 在AB 边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE.
求证：△ABC是等腰三角形.
证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示.
∵DG∥AC，∴∠GDF=∠E，∠DGB=∠ACB.
∴△GDF≌△CEF，(ASA)
∴GD=CE.
∵BD=CE，∴BD=GD，∴∠B=∠DGB，
∴∠B=∠ACB，则AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.
在△GDF 和△CEF中，
6.已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120°， DF∥BA，且DF平分∠CDE.
求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.
∴∠EDF=∠FDC=60°，
又∵DF∥BA，
∴∠FDC=∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形.
谢谢