15.4　等腰三角形第3课时教学课件--沪科版（2024）数学八年级上册

(共33张PPT)
沪科版（2024）数学八年级上册
第3课时　等腰三角形的判定定理及推论
第15章　15.4　等腰三角形
1.掌握等腰三角形的判定定理及它的两个推论，能运用定理和推论进行简单的推理和计算.(重点、难点)
2.掌握含30°角的直角三角形的性质，会运用其进行有关的证明和计算.(重点)
学习目标
如图，位于海上B，C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，测得∠B=∠C，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？
情境引入
一、等腰三角形的判定定理及应用
问题1　“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题吗？完成下列推理过程：
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
证明：过A作AD平分　　　　　交BC于点D，
在△ABD与△ACD中，
所以△ABD≌　　　　　　　(　　　　　)，
所以AB=AC.
∠BAC
△ACD
AAS
知识梳理
等腰三角形判定定理：有两个角 的三角形是等腰三角形.简称“____
_______”.
相等
等角
对等边
例1
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.
求证：△ABC是等腰三角形.
证明　因为AD∥BC，(已知)
所以∠1=∠B，(两直线平行，同位角相等)
∠2=∠C，(两直线平行，内错角相等)
因为∠1=∠2，(已知)
所以∠B=∠C，
所以AB=AC.(等角对等边)
即△ABC是等腰三角形.
反思感悟
“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立.
如图，已知AB=DC，BD= CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.
跟踪训练1
证明　因为AB=DC，BD=CA，AD=DA，
所以△ABD≌△DCA(SSS)，
所以∠ADB=∠DAC，
所以AE=DE，
所以△AED是等腰三角形.
二、等边三角形的判定方法及应用
问题2　完成下列推理过程.
已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.
求证：△ABC是等边三角形.
证明：因为在△ABC中，∠A=∠B=∠C，(已知)
所以AB=　　　　=　　　　，(　　　 　)
所以△ABC是　　　　三角形.
BC
AC
等角对等边
等边
问题3　完成下列推理过程：
如图，已知AB=AC.
①如果∠B=60°，
那么∠C=　　　　=60°，
所以∠A=180°-(∠B+　　　)=180°-(60°+　　　)=60°，
于是∠A=　　　　=　　　　，所以△ABC是等边三角形.
∠B
∠C
60°
∠B
∠C
②如果∠A=60°，
由∠A+∠B+　　　　=180°和∠B=　　　　，
得∠B=×(180°-　　　)=×(180°-　　　)=　　.
于是∠B=　　　=　　　，所以△ABC是等边三角形.
∠C
∠A
60°
60°
∠C
∠A
∠C
知识梳理
推论1：三个角都 的三角形是等边三角形.
推论2：有一个角是 的 三角形是等边三角形.
相等
等腰
60°
如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，DE与边AB，AC分别相交于D，E，求证：△ADE是等边三角形.
例2
证明　因为△ABC是等边三角形，
所以∠A=∠B=∠C，
因为DE∥BC，
所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
所以∠A=∠ADE=∠AED，
所以△ADE是等边三角形.
反思感悟
判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
如图，等边△ABC中，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF.
求证：△DEF是等边三角形.
跟踪训练2
证明　因为△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，
所以AF=BD=CE，
又因为∠A=∠B=∠C=60°，
所以△ADF≌△BED≌△CFE(SAS)，
所以DF=ED=FE，
所以△DEF是等边三角形.
三、含30°角的直角三角形的性质及应用
问题4　完成下列推理过程：
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.
求证：BC=AB.
证明：在BA上截取BE=BC，连接EC.
因为∠B=　　　　　，BE=BC.
所以△BCE是　　　　　三角形，
所以∠BEC=　　　　　，BE=　　　　.
因为∠A=30°，
所以∠ECA=∠BEC-　　　=60°-　　　=　　　　，
60°
等边
60°
EC
∠A
30°
30°
所以AE=　　　　　，
所以AE=BE=　　　　　，
所以AB=AE+　　　　　　=2BC，
所以BC=AB.
EC
BC
BE
知识梳理
含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 .
一半
(课本P150例4)一艘船上午8：00从A处出发，以10 n mile/h的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30 °方向上，这艘船上午10：00到达B处，并测得礁石C在北偏西60 °方向上.
(1)画出礁石C的位置；
例3
解　如图，以A为顶点，向北偏西30 °作射线AD，在点A的正北方向上取一点B，以B为顶点，向北偏西60°作射线BE，AD与BE交于点C，则点C为礁石所在地.
(课本P150例4)一艘船上午8：00从A处出发，以10 n mile/h的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30 °方向上，这艘船上午10：00到达B处，并测得礁石C在北偏西60 °方向上.
(2)求从B处到礁石C的距离；
例3
解　如图，由题意得∠ACB=60°-30°=30°.
∵∠BAC=30°，∴∠BCA=∠BAC.
∴BC=BA.
∵BA=10×(10-8)=20(n mile)，
∴BC=20(n mile).
∴从B处到礁石C的距离是20 n mile.
(课本P150例4)一艘船上午8：00从A处出发，以10 n mile/h的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30 °方向上，这艘船上午10：00到达B处，并测得礁石C在北偏西60 °方向上.
(3)这艘船继续向正北方向航行多少海里与礁石C的距离最小？
例3
解　如图，过点C作CF⊥AB，垂足为点F.
∵∠CBF=60°，∠CFB=90°.
∴∠BCF=30°.
∴BF=BC=10(n mile).
∴这艘船继续向正北方向航行10 n mile与礁石C的距离最小.
反思感悟
运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形；必要时需要作辅助线，构造含30°角的直角三角形.
如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=8 m，∠A=30°，立柱BC，DE要多长？
跟踪训练3
解　因为DE⊥AC，BC⊥AC，AB=8 m，∠A=30°，
所以BC=AB=4(m)，DE=AD，
因为D是斜梁AB的中点，
所以AD=AB=4(m)，
所以DE=AD=2(m).
即立柱BC的长是4 m，DE的长是2 m.
1.下列能断定△ABC为等腰三角形的是
A.∠A=30°，∠B=60°
B.∠A=50°，∠B=80°
C.∠A=2∠B=70°
D.AB=4，BC=5，周长为15
√
解析　A项，∠C=180°-30°-60°=90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，选项错误；
B项，因为∠C=180°-∠A-∠B=50°，所以∠A=∠C，所以△ABC为等腰三角形，选项正确；
C项，因为∠A=2∠B=70°，所以∠B=35°，所以∠C=75°，没有相等的角，则不是等腰三角形，选项错误；
D项，AC=15-4-5=6，没有相等的边，则不是等腰三角形，选项错误.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12 cm，则AB=　　　　 .
8 cm
解析　设BC=x cm，
因为∠C=90°，∠A=30°，
所以AB=2BC=2x cm，
因为AB+BC=12 cm，
所以2x+x=12，
所以x=4，
所以AB=8 cm.
3.(2025·广西桂林雁山区期中)已知：如图，在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，∠ABD=30°，求证：△ABC为等边三角形.
证明　因为AB=BC，BD⊥AC于点D，
所以∠ABC=2∠ABD，
因为∠ABD=30°，
所以∠ABC=60°，
又AB=BC，
所以△ABC为等边三角形.
4.(2025·安徽宿州泗县期中)如图，BE是△ABC的角平分线，DE∥BC.求证：△BDE是等腰三角形.
证明　因为BE平分∠ABC，
所以∠ABE=∠EBC，
因为DE∥BC，
所以∠DEB=∠EBC，
所以∠ABE=∠DEB，
所以DB=DE，
所以△BDE是等腰三角形.
谢谢