2.2　三角形全等的判定第4课时.教学课件--青岛版（2024）数学八年级上册

(共24张PPT)
第4课时　用“HL”判定三角形全等
第2章　2.2　三角形全等的判定
青岛版（2024）数学八年级上册
1.探索并正确理解“HL”的判定方法.
2.会用“HL”判定方法证明两个直角三角形全等.(重点、难点)
学习目标
直角三角形是特殊三角形，判定两个直角三角形全等，又有哪些方法呢？
情境引入
一、用三个条件判定两个直角三角形全等
问题1　两个直角三角形，除直角外，增加哪两个条件，可以判定这两个直角三角形全等？
提示　以下三种情况均可：
①两直角边分别相等(SAS)；
②一直角边及其相邻或相对的锐角分别相等(ASA或AAS)；
③一锐角和斜边分别相等(AAS).
例1
　　如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AB∥CD.
求证：AE=DF.
证明　因为AE⊥BC，DF⊥BC，所以∠AEB=∠DFC=90°，
因为AB∥CD，所以∠B=∠C，
在△ABE和△DCF中，
所以△ABE≌△DCF(AAS)，
所以AE=DF.
　　　如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线).
(1)若以“SAS”为依据，则可添加条件　　　　；
(2)若以“ASA”为依据，则可添加条件　　　　；
(3)若以“AAS”为依据，则可添加条件　　　　.
跟踪训练1
BP=DP
∠A=∠C
∠B=∠D
二、用“HL”判定直角三角形全等
问题2　如果斜边和一直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
如图，将一张长方形硬纸片沿虚线剪开，可得到一张直角三角形纸片，其一条直角边长为6 cm，斜边长为8 cm.
提示　可以重合.
(1)将你的直角三角形纸片与同学的进行比较，它们能重合吗？
提示　改变直角边与斜边的长度，仍然重合.
(2)改变上述条件中直角边和斜边的长度，再试一试.
知识梳理
直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或者“ ”).
符号语言：
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中
所以Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).
HL
　　(课本P35例4)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AD=CB.求证：AB=CD.
例2
证明　如图，连接BD.
在Rt△ABD和Rt△CDB中，∠A=∠C=90°，
所以Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)，
所以AB=CD.
反思感悟
应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
　　 　如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，点F为垂足.求证：CF=DF.
跟踪训练2
证明　如图，连接AC，AD，
在△ABC和△AED中，
所以△ABC≌△AED(SAS).
所以AC=AD.
因为AF⊥CD，所以∠AFC=∠AFD=90°，
在Rt△ACF和Rt△ADF中
所以Rt△ACF≌Rt△ADF(HL)，所以CF=DF.
1.用三个条件判定两个直角三角形全等.
2.判定方法五
内容 应用格式 图形表示
斜边、直角边(“HL”) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成 “斜边、直角边”或“HL”) 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， 所以Rt△ABC≌ Rt△A'B'C'(HL).

1.下列选项错误的是
A.判定直角三角形全等的方法只有“HL”
B.有两边及第三边上的高分别相等的两个锐角三角形全等
C.有一条直角边及斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等
D.全等三角形对应边上的高相等
√
2.如图，在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，AC=DF，若要利用“HL”证明△ABC≌△DEF，则需要添加条件　　　　 　　　.
解析　因为∠ABC=∠DEF=90°，AC=DF，且要利用“HL”证明△ABC≌△DEF，
所以需要添加条件AB=DE.
AB=DE(答案不唯一)
3.如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，且CD=C'D'，求证：△ABC≌△A'B'C'.
证明　因为AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，
所以CB=2CD，C'B'=2C'D'，
因为CD=C'D'，所以CB=C'B'，
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
所以Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).
4.如图所示，已知∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD，E是AC上任意一点，求证：EB=ED.
证明　在Rt△ABC和Rt△ADC中，
所以Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
所以∠BCE=∠DCE，BC=DC.
在△BCE和△DCE中
所以△BCE≌△DCE(SAS)，
所以EB=ED.
10.如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F.若AD=BD=6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为
A.1 B. C.2 D.3
√
解析　因为AD，BE是△ABC的高线，
所以∠ADB=∠ADC=∠AEB=90°，
因为∠BFD=∠AFE，
所以∠DBF=∠CAD，
在△ACD和△BFD中，
所以△ACD≌△BFD(ASA)，
所以DF=DC，
因为△ACD的面积为12，
所以×CD×6=12，
所以CD=4，
所以DF=4，
所以AF=AD-DF=2.
6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D.
(1)求证：AE=CD；
证明　因为DB⊥BC，CF⊥AE，
所以∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°，
所以∠D=∠AEC.
在△DBC和△ECA中，
所以△DBC≌△ECA(AAS)，
所以AE=CD.
解　因为△CDB≌△AEC，
所以BD=CE，
因为AE是BC边上的中线，
所以BD=EC=BC=AC，且AC=12 cm.
所以BD=6 cm.
6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D.
(2)若AC=12 cm，求BD的长.
谢谢