3.4　分式方程第2课时教学课件--青岛版（2024）数学八年级上册

(共28张PPT)
第2课时　解分式方程
第3章　3.4　分式方程
青岛版（2024）数学八年级上册
1.了解分式方程增根的含义和产生增根的原因，并会检验分式方程的根.(难点)
2.掌握分式方程的一般步骤.(重点)
学习目标
(1)什么叫做分式方程？
(2)分式方程的主要特征是什么？
(3)你会解分式方程吗？
课堂引入
一、分式方程的增根
问题　(1)解方程：-=8.
提示　方程两边都乘(x-7)，得x-8+1=8(x-7)，
解方程，得x=7.
检验：当x=7时，分母x-7=0.
因此x=7不是原方程的解.
所以原方程没有解.
(2)第(1)题中的结果是如何得到的？
提示　x=7是变形过程中，整式方程的解，但不适合原分式方程，应当舍掉.
知识梳理
在分式方程变形的过程中得到的适合 ，但不适合原方程的解叫作分式方程的增根.
整式方程
例1
　　解方程-1=.
解　方程两边都乘(x-1)(x+2)，
得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3，
解得x=1，
检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0，
因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
反思感悟
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，因此解分式方程需检验根，将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解(即是原方程的增根).
　　　 解方程：
(1)=；
跟踪训练1
解　方程两边都乘(x+1)(x-1)，
得2(x+1)=4，解得x=1，
检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0，
因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
　　　 解方程：
(2)=-3.
跟踪训练1
解　方程两边都乘(x-2)，
得1=-(1-x)-3(x-2)，解得x=2，
检验：当x=2时，x-2=0，
因此x=2不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
二、含参数分式方程的无解问题
　　若关于x的分式方程=+1无解，求m的值.
例2
解　去分母，得mx=4+(x-2)，
移项、合并同类项，得(m-1)x=2，
当m-1=0，即m=1时，该方程无解；
当原方程有增根时，分母x-2=0，增根x=2，
将x=2代入整式方程(m-1)x=2，
得2(m-1)=2，
解得m=2，
即当m=2时，原分式方程有增根x=2，原方程也无解.
所以若原分式方程无解，则m=1或m=2.
反思感悟
分式方程无解问题，一是去分母后得到的整式方程无解；二是分式方程有增根.
　　　若关于x的方程+=无解，求m的值.
跟踪训练2
解　方程两边都乘(x-4)(x+4)，得x+4+m(x-4)=m+3，
整理，得(m+1)x=5m-1，
当m+1=0时，该分式方程无解，此时m=-1；
当m≠-1时，x=，
因为关于x的方程+=无解，所以=±4，
当=4时，解得m=5；
当=-4时，解得m=-.
综上，m的值为-1或5或-.
三、解分式方程的基本步骤
知识梳理
解分式方程的一般步骤
　　(课本P75例1)解方程-=1.
例3
解　方程两边都乘(x+2)(x-2)，
得(x-2)2-8=(x+2)(x-2).
整理，得-4x=0.
解方程，得x=0.
检验：当x=0时，(x+2)(x-2)≠0，
所以原方程的解是x=0.
反思感悟
解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程一定要验根.
　　　 阅读下列同学们作业中的一些片段.
解方程：+=1.
解法一：-=1， ①
3-x-1=1， ②
-x=-1， ③
x=1， ④
检验：当x=1时，x-4≠0， ⑤
所以x=1是原分式方程的解.
解法二：=1-， ①
=， ②
x-4=4-x， ③
x=4， ④
检验：当x=4时，x-4=0， ⑤
所以x=4是原分式方程的增根，原分式方程无解.
跟踪训练3
(1)分析上面的解法是否有错误？如有错误，请指出错误的地方，并说明错误原因；
解　解法一有错误，错在第②步，
错误原因是等号右边的1没有乘(x-4)；
解法二有错误，错在第③步，
错误原因是方程两边同时约去3-x时，必须保证3-x≠0，但这里3-x恰好能够等于0，所以这种变形是错误的.
(2)请你写出正确的解题过程.
解　正确的解法：原式=3-x-1=x-4，
-2x=-6，
x=3，
检验：当x=3时，x-4≠0，
所以，原分式方程的解为x=3.
解分式方程的一般解法
1.若分式方程=1的解是x=2，则a等于
A.-1 B.3 C.-3 D.1
解析　=1去分母，得x=a+1.
因为分式方程的解为x=2，所以a+1=2.所以a=1.
√
2.若分式方程+=有增根，则k的值为
A.±1 B.-2
C.-6 D.-2或-6
解析　去分母，得x+1+k=3(x-1)，
由分式方程有增根，得x-1=0或x+1=0，即x=1或x=-1，
把x=1代入整式方程，得k=-2；
把x=-1代入整式方程，得k=-6.
综上，若分式方程+=有增根，则k的值为-2或-6.
√
3.若关于x的方程=无解，则m的值为　　.
0或4
解析　=，去分母后整理，得(4-m)x=-2，
因为方程无解，所以可分为以下两种情况：
①整式成立，分式方程有增根时，x=0或x=-，
所以当x==0时，m无解，
当x==-时，m=0；
②整式不成立时，4-m=0，此时m=4.
综上，m=0或4.
4.解分式方程：
(1)+=3；
解　+=3，
方程两边同乘2x-1，
得x-2=3(2x-1)，解得x=，
当x=时，2x-1=-1=-≠0，
所以x=是分式方程的解.
4.解分式方程：
(2)=+2.
解　=+2，
两边同乘3(x-3)得，
2x+9=3(4x-7)+6(x-3)，
解得x=3，
当x=3时，3(x-3)=0，
所以x=3是增根，分式方程无解.
谢谢