第二章 一元二次方程单元评价（含答案）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第二章一元二次方程单元评价
一、选择题：本大题共10小题，共30分。
1.下列选项中，是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程配方后正确的是
A. B. C. D.
3.方程的根是
A. 9 B. 1 C. 9或1 D. 4或5
4.已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是
A. B. C. D.
5.关于x的一元二次方程没有实数根，则实数n的值可以为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6.已知m是方程的一个根，则代数式的值为
A. B. 0 C. D. 1
7.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
A. B. 且 C. D. 且
8.已知三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是
A. 11 B. 12 C. 11或12 D. 15
9.若是方程的一个根，则c的值是
A. 1 B. C. D.
10.为提高比赛热度，主办方发起了转发海报集赞得门票的活动，规则如下：参与者将宣传海报转发到自己的朋友圈，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，若经过2轮转发后，共有73人参与了转发活动，则可列方程为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
11.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是 .
12.方程的一般形式是 .
13.已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为倒数，则m的值为 .
14.白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有 个飞机场.
15.若矩形的长和宽是关于x的方程的两根，则矩形的周长为 .
三、计算题：本大题共10分。
16.用适当的方法解下列方程：
；
四、解答题：本大题共7小题，共65分。
17.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
18.已知关于x的一元二次方程
求证：无论m取何值，方程总有实数根
若 的两邻边AB，AD的长是该方程的两个实数根.当m取何值时， 是菱形？求出此时菱形的边长.
19.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
求k的取值范围
若此方程的两实数根，满足，求k的值.
20.根据以下素材，探索完成任务.
素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇.某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个.
素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个.
问题解决
任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率.
任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月获得的销售利润为10000元？
21.如图，有长为34m的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，园主在花圃的前端设计了两个宽1m的小门，设花圃的宽AB为
若围成的花圃面积为，求此时的宽.
能围成面积为的花圃吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由.
22.若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则称此一元二次方程为三等分根方程，如的两个根分别为，，其中，则是三等分根方程.
试判断是否为三等分根方程，并说明理由.
若点在函数的图象上，且关于x的一元二次方程是三等分根方程，求m的值.
23.启正中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为20cm的等腰直角三角形硬卡片如图1，图2中，，，要求学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为
方方同学很快完成了自己的设计如图，并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽.
圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图2大致画出草图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽.
答案和解析
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
【解析】【分析】利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可．
解：，
，
所以，
故选：
【点评】本题主要考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟知直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】16
12.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：
13.【答案】3
14.【答案】5
15.【答案】8
16.【答案】【小题1】
解：原方程可化为
，，，
，
【小题2】
解：原方程可化为，，

17.【答案】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑.
根据题意，得，整理，得，
解得，不符合题意，舍去
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑；3轮感染后，被感染的电脑会超过700台.

18.【答案】【小题1】
证明：，
无论m取何值，方程总有实数根.
【小题2】
当时， 是菱形，，
解得，此时方程为，解得，
此时菱形的边长为

19.【答案】【小题1】
解：根据题意，得解得
【小题2】
根据题意，得，
，，
即，整理，得，
解得，，

20.【答案】解：任务1：设平均增长率为
根据题意，得，
解得，不符合题意，舍去
答：平均增长率为
任务2：设零件的实际售价定为x元.
根据题意，得解得，
答：零件的实际售价定为50或80元时，每个月获得的销售利润为10000元.

21.【答案】【小题1】
解：花圃的宽AB为xm，花圃的长AD为
根据题意，得，解得，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意.
答：此时宽AB为
【小题2】
不能围成面积为的花圃.理由如下：
根据题意，得，整理，得
，该方程无实数根，
即不能围成面积为的花圃.

22.【答案】【小题1】
解：是三等分根方程，理由如下：
，，
，是三等分根方程.
【小题2】
点在函数的图象上，
关于x的一元二次方程是三等分根方程，
设方程的两根分别为t，
由根与系数的关系，得，，
整理，得，即，
解得，的值为或

23.【答案】【小题1】
解：，，
，
四边形DEFG是矩形，
和是等腰直角三角形
设长方形的DG为xcm，则GF为
由题意，得化简，得
解得，或
长方形卡片的长和宽分别为，或，
【小题2】
根据题意画图如下：
设长方形的长，则宽为
由题意，得化简，得
解得，经检验，，都符合题意.
长方形卡片的长和宽分别为15cm和

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