平行四边形的判定
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第20章 平行四边形的判定单元测试卷(3)
一、认认真真选，沉着应战！
1. 正方形具有菱形不一定具有的性质是 ( )
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
2. 如图1，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（ ）
A、 B、 C、 D、
(1) (2) (3)
3．在梯形中，∥，那么可以等于（ ）
（）4：5：6：3 （）6：5：4：3 （）6：4：5：3 （）3：4：5：6
4．如图2，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若的周长为48，DE＝5，DF＝10，则的面积等于( )
A.87.5 B.80 C.75 D.72.5
5． A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD; ②AB=CD; ③BC∥AD; ④BC=AD这四个条件
中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
6．如图3，、、分别是各边的中点，是高，如果，那么 的长为（ ）
（） （） （） （）不能确定
7. 如图：E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
8．如图，在梯形中，∥，，，平分，如果这个梯形的周长为30，则的长为 （ ）
（）4 （）5 （）6 （）7
9．右图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离为20cm，则∠1等于( )
A．90° Ｂ．60° Ｃ．45° Ｄ．30°
10．某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a、b， 都有a+b≥2成立．某同学在做一个面积为3 600cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述
规律，求得用来做对角线用的竹条至少需要准备xcm． 则x的值是（ ）
(A) 120 (B) 60 (C) 120 (D) 60
二、仔仔细细填，记录自信！
11．一个四边形四条边顺次是a、b、c、d，且HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Equation.DSMT4，则这个四边形是_______________．
12．在四边形中，对角线、交于点，从（1）；（2）；
（3）；（4）；（5）；（6）平分这六个条
件中，选取三个推出四边形是菱形．如（1）（2）（5）是菱形，再写
出符合要求的两个： 是菱形； 是菱
形．
13. 如图，已知直线把分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线所在位置需满足的条件是____________________.（只需填上一个你认为合适的条件）
(第13题) (第16题)
14. 梯形的上底长为，过上底的一顶点引一腰的平行线，与下底相交，所构成的三角形周长为，那么梯形的周长为_________。
15. 已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为 ( http: / / www.21cnjy.com / )3：4，则菱形的面积为________.
16．如图，在梯形中，，对角线，且cm，cm，则此梯形的高为 cm．
17. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B与∠C互余，AD=5,BC=13,M、N分别为AD、BC的中点，则MN的长为_________.
(第17题) (第18题) (第19题)
18. 如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 .
19. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，
P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 ．
20．如图，正方形是由k个相同的矩形组成，上下各有2个水平放置
的矩形，中间竖放若干个矩形，则k= .
三、平心静气做，展示智慧！
21．已知：如图，中，、分别是、上的点，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ，、 分别是、的中点。求证：四边形是平行四边形。
22．如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC， AB=CD，点E为梯形外一点，且AE=DE。求证：BE=CE．
23．如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。
24．如图，正方形的边在正方形的边上，连结、．
（1）观察猜想与之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
25．如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且，、分别是、的中点，分别交、于点、.你能说出与的大小关系并加以证明吗？
( http: / / www.21cnjy.com / )
26．如图，等腰梯形中，．
、分别是、的中点，、分别是、
的中点．
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 若四边形是正方形，请探索等腰梯形
的高和底边的数量关系并证明你的结论．
四、发散思维，游刃有余！
27．如图1、 2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。
⑴如图1，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；
③请证明你的上述两猜想。
⑵如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。
参考答案
一、1—5：CBABB 6—10：AACBA
二、 11．平行四边形
12．略
13．略
14．33
15．96
16． 4.8
17. 4
18．
19．
20．8
三、21．提示：先证四边形为平行四边形，再证
22．证明：在等腰梯形ABCD中，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA，∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠EAB=∠EDC．在△ABE和△DCE中，∵AB=DC，∠EAB=∠EDC，EA=ED，∴△ABE≌△DCE，∴EB=EC．
23．证△ABF≌△DEA
24．（1）．
证明：在△和△中，
四边形和四边形都是正方形，
，，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ，
△△，
．
（2）由（1）证明过程知，存在，是Rt△和Rt△． 将Rt△绕点顺时针旋转，可与Rt△完全重合．
25．相等。提示：取的中点，连结，易知HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4
则，又∥，∥，
所以，所以。
26．(1)证明：四边形为等腰梯形，．
为中点，．
．
、为、中点，，，为的中点，四边形是菱形．
（２）连结，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ，
是梯形的高．
又已知四边形是正方形，
为直角三角形．
又是的中点，．
四、27．⑴①DE=EF；②NE=BF。
③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，
∴DN=EB
∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF
∴△DNE≌△EBF
∴ DE=EF，NE=BF
⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）
此时，DE=EF
H
F
E
D
C
B
A
F
B
E
D
C
A
E
D
C
B
A
R
Q
P
D
C
B
A
A
B
C
D
N
M
D
C
B
A
A
D
C
B
……
N
M
F
E
D
C
B
A
A
B
E
C
D
A
E
F
G
C
B
D
A
B
E
M
N
F
C
D
图1
图2
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第20章 平行四边形的判定单元测试卷(3)
一、认认真真选，沉着应战！
1. 正方形具有菱形不一定具有的性质是 ( )
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
2. 如图1，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（ ）
A、 B、 C、 D、
(1) (2) (3)
3．在梯形中，∥，那么可以等于（ ）
（）4：5：6：3 （）6：5：4：3 （）6：4：5：3 （）3：4：5：6
4．如图2，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若的周长为48，DE＝5，DF＝10，则的面积等于( )
A.87.5 B.80 C.75 D.72.5
5． A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD; ②AB=CD; ③BC∥AD; ④BC=AD这四个条件
中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
6．如图3，、、分别是各边的中点，是高，如果，那么 的长为（ ）
（） （） （） （）不能确定
7. 如图：E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
8．如图，在梯形中，∥，，，平分，如果这个梯形的周长为30，则的长为 （ ）
（）4 （）5 （）6 （）7
9．右图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离为20cm，则∠1等于( )
A．90° Ｂ．60° Ｃ．45° Ｄ．30°
10．某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a、b， 都有a+b≥2成立．某同学在做一个面积为3 600cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述
规律，求得用来做对角线用的竹条至少需要准备xcm． 则x的值是（ ）
(A) 120 (B) 60 (C) 120 (D) 60
二、仔仔细细填，记录自信！
11．一个四边形四条边顺次是a、b、c、d，且HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Equation.DSMT4，则这个四边形是_______________．
12．在四边形中，对角线、交于点，从（1）；（2）；
（3）；（4）；（5）；（6）平分这六个条
件中，选取三个推出四边形是菱形．如（1）（2）（5）是菱形，再写
出符合要求的两个： 是菱形； 是菱
形．
13. 如图，已知直线把分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线所在位置需满足的条件是____________________.（只需填上一个你认为合适的条件）
(第13题) (第16题)
14. 梯形的上底长为，过上底的一顶点引一腰的平行线，与下底相交，所构成的三角形周长为，那么梯形的周长为_________。
15. 已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为 ( http: / / www.21cnjy.com / )3：4，则菱形的面积为________.
16．如图，在梯形中，，对角线，且cm，cm，则此梯形的高为 cm．
17. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B与∠C互余，AD=5,BC=13,M、N分别为AD、BC的中点，则MN的长为_________.
(第17题) (第18题) (第19题)
18. 如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 .
19. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，
P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 ．
20．如图，正方形是由k个相同的矩形组成，上下各有2个水平放置
的矩形，中间竖放若干个矩形，则k= .
三、平心静气做，展示智慧！
21．已知：如图，中，、分别是、上的点，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ，、 分别是、的中点。求证：四边形是平行四边形。
22．如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC， AB=CD，点E为梯形外一点，且AE=DE。求证：BE=CE．
23．如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。
24．如图，正方形的边在正方形的边上，连结、．
（1）观察猜想与之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
25．如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且，、分别是、的中点，分别交、于点、.你能说出与的大小关系并加以证明吗？
( http: / / www.21cnjy.com / )
26．如图，等腰梯形中，．
、分别是、的中点，、分别是、
的中点．
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 若四边形是正方形，请探索等腰梯形
的高和底边的数量关系并证明你的结论．
四、发散思维，游刃有余！
27．如图1、 2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。
⑴如图1，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；
③请证明你的上述两猜想。
⑵如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。
参考答案
一、1—5：CBABB 6—10：AACBA
二、 11．平行四边形
12．略
13．略
14．33
15．96
16． 4.8
17. 4
18．
19．
20．8
三、21．提示：先证四边形为平行四边形，再证
22．证明：在等腰梯形ABCD中，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA，∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠EAB=∠EDC．在△ABE和△DCE中，∵AB=DC，∠EAB=∠EDC，EA=ED，∴△ABE≌△DCE，∴EB=EC．
23．证△ABF≌△DEA
24．（1）．
证明：在△和△中，
四边形和四边形都是正方形，
，，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ，
△△，
．
（2）由（1）证明过程知，存在，是Rt△和Rt△． 将Rt△绕点顺时针旋转，可与Rt△完全重合．
25．相等。提示：取的中点，连结，易知HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4
则，又∥，∥，
所以，所以。
26．(1)证明：四边形为等腰梯形，．
为中点，．
．
、为、中点，，，为的中点，四边形是菱形．
（２）连结，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ，
是梯形的高．
又已知四边形是正方形，
为直角三角形．
又是的中点，．
四、27．⑴①DE=EF；②NE=BF。
③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，
∴DN=EB
∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF
∴△DNE≌△EBF
∴ DE=EF，NE=BF
⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）
此时，DE=EF
H
F
E
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C
B
A
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B
E
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……
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图2
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