高考（或高三模拟）试题中函数大题的类型与解法

高考（或高三模拟）试题中函数大题的类型与解法
函数问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个函数问题的大题。从题型上看属于分数较高的大题，难度为中，高档，一般的考生得分率都不是很理想。纵观近几年高考（或高三模拟）试卷，归结起来函数大题问题主要包括：①运用函数导函数证明不等式；②运用函数导函数求方程的根（或确定函数的零点）；③运用函数导函数探导函数的性质并求函数的极值（或最值）；④运用函数导函数，求函数满足某一条件时，解析式中参数的值（或取值范围）；⑤运用函数导函数求解与函数相关的应用问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=ln（1+x）-x+-k，其中0（1）证明：函数f(x)在区间（0，+）存在唯一的极值点和唯一的零点；
（2）设，分别为函数f(x)在区间（0，+）的极值点和零点。
①设函数g(t)=f(+t)-f(-t)，证明：函数g(t)在区间（0，）单调递减；
②比较2与的大小，并证明你的结论。
2、已知函数f(x)=a+（a-2）x-lnx。（成都市高2022级高三三诊）
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)有两个零点，（x）为函数f(x)的导函数。
①求实数a的取值范围；
②记函数f(x)较小的一个零点为，证明：（）>-2.
3、已知函数f(x)=。
（1）求函数f(x)的极值；
（2）若f(x)≤2kx+k恒成立，求实数k的取值范围；
（3）证明：<（n）。（成都市高2023级高三零诊）
4、已知函数f(x)= （1-ax）ln(1+x)-x。（2024全国高考甲卷）
（1）当a=-2时，求函数f(x) 的极值；
（2）当x0时，若f(x) 0恒成立，求a的取值范围。
5、已知函数f(x)=ln +ax+b 。
（1）若b=-0，且(x) 0，求a的最小值；
（2）证明：曲线y= f(x)是中心对称图形；
（3）若f(x)＞-2，当且仅当1＜x＜2时恒成立，求b的取值范围（2024全国高考新高考I）
6、已知函数f(x)=2-ax，aR。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a=e时，求证：f(x)>e（1-cosx）。（成都市高2021级高三一诊）
7、已知函数f(x)= 2a-。
（1）当a=时，判断函数f(x)的零点个数并说明理由；
（2）若存在b（0，+），使得当x（b，b+2024）时，f(x)>-aln（x+1）+2a-1恒成立，求实数a的取值范围。（成都市高2021级高三二诊）
8、已知函数f(x)= lnx+a，其中aR。
（1）当a=-2时，求函数f(x) 的单调区间；
（2）当x>1时，若f(x)<恒成立，求整数a的最大值。（成都市高2021级高三零诊）
9、已知f(x)= ax--，x（0，）。
（1）若a=8，讨论函数f(x) 的单调性；
（2）若f(x)10、已知函数f(x）=a（+a）-x。
讨论函数f(x）的单调性；
证明：当a>0时，f(x）>2lna+（2023全国高考新高考I）
『思考问题1』
（1）【典例1】是运用函数导函数证明不等式的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义和性质，掌握运用函数导函数证明不等式的基本方法；
（2）运用函数导函数证明不等式的基本方法是：①构造一个新函数（一般是所证明的不等式两边之差）；②运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别证明函数的最大值（或最小值）小于或等于零（或大于或等于零）在某区间上恒成立；③由②判断不等式在某区间上是否恒成立；④综合得出证明的结论。
[练习1]解答下列问题：
1、已知函数f(x)=ln(ax)，a>0。
（1）当a=1时，若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=kx+b，证明：f(x)≤kx+b；
（2）若f(x)≤（x-1）,求a的取值范围。（成都市高2020级高三一诊）
2、已知函数f(x)=x-。
（1）当a=1时，讨论函数f(x)的单调性；
（2）当x>0时，f(x)<-1，求实数a的取值范围；
（3）设n，证明：++------+>ln(n+1)（2022全国高考新高考
II卷）
3、已知函数f(x)= 2ax-lnx，其中aR。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a>0时，若，（0<<）满足f()=f()，证明f(2a)+f(2a)>4（
+）（成都市2019级高三零诊）
4、已知函数f(x)=sinx- 2ax，aR。
（1）当a时，求函数f(x)在区间[0，]上的最值；
（2）若关于x的不等式不等式f(x) axcosx在区间（0，+）上恒成立，求a的取值范围。（成都市2019级高三一诊）
5、已知函数f(x)=2+3a-12x，其中aR（成都市2019级高三三珍）
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数g(x)= 2--（12-1）x+2sinx-2，当a>0，x>0时，证明：g(x)< f(x)。
6、设函数f(x)=ln(a-x)，已知x=0是函数y=x f(x)的极值点。
（1）求a；
（2）设函数g(x)= ，证明：g(x)<1。（2021全国高考乙卷）。
7、已知函数f(x)=x(1-lnx)（2021全国高考新高考I卷）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<+8、已知函数f(x)= x+ax，aR。
（1）设f(x)的导函数为(x)，试讨论(x)的零点个数；
（2）设g(x)=alnx+alnx+(a-1)x，当x（1，+）时，若f(x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围。（2021成都市高三零诊）。
9、已知函数f(x)=（x-2）- +ax，aR（2021成都市高三一诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，求实数a的取值范围。
10、已知函数f(x)=（a-1）lnx+x+，aR，(x)为函数f(x)的导函数。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a<-1时，证明：x（1，+），f(x)>-a- 。（2020成都市高三一诊）
11、已知函数f(x)=a ，其中a，mR。
（1）当a=m=1时，设g(x)= f(x)-lnx，求函数g(x)的单调区间；
（2）当a=4，m=2时，证明：f(x)>x(1+lnx)。（2020成都市高三三诊）。
12、已知函数f(x)=sin xsin2x。（2020全国高考新课标II）
（1）讨论函数f(x)在区间（0，）的单调性；
（2）证明：| f(x)| ；
（3）设n，证明：sin x sin 2x sin 4x------ sin x。
【典例2】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=alnx+-x。
设a=1，b=-2，求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程；
（2）若x=1是上f(x)的极小值点，求b的取值范围。（成都市高2022级高三一珍）
2、已知函数f(x)= -ax-。
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；
（2）若函数f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围（2024全国高考新高考II）
3、已知函数f(x)= ，其中x>0，aR。（成都市高2020级高三二诊）
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）当a>0时，函数g(x)=alnx+-2x+1恰有两个零点，求a的取值范围。
4、已知f(x)= -lnx+x-a。
（1）若f(x) 0，求实数a的取值范围；
（2）若函数f(x)有两个不同的零点，，求证：<1。（2022全国高考甲卷）
5、已知函数f(x)=ln(1+x)+ax。（2022全国高考乙卷）
（1）当a=1时，求曲线f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；
（2）若f(x)在区间（-1，0），（0，+）各恰好有一个零点，求a的取值范围。
6、已知函数f(x)= -ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值。
（1）求a；
（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列（2022全国高考新高考I卷）
7、已知a>0，且a1，函数f(x)= （x>0）。
（1）当a=2时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围。
的位置关系，并说明理由。（2021全国高考甲卷）。
8、已知函数f(x)=（x-1）-a+b。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）从下面两个条件中任选一个，证明：函数f(x)有一个零点。
①2a；②0『思考问题2』
（1）【典例2】是运用导函数探导方程的根（或函数的零点）的问题，解答这类问题需要理解方程的根（或函数的零点）的定义，掌握求方程的根(或函数零点)的基本方法，注意函数图像与x轴的交点与方程的根（或函数的零点）之间的内在联系；
（2）求解方程的根（或函数的零点）的基本方法是：①运用函数导函数判断函数的单调性并求出函数的极值（或最值）；②借助函数图像，根据方程的根（或函数的零点）与函数图像与X轴交点之间的关系建立含参数的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）得出结果。
[练习2]解答下列问题：
1、已知函数f(x)=x+ -(a-1)lnx-2，其中aR。
（1）若函数f(x)存在唯一极值点，且极值为0，求a的值；
（2）讨论函数f(x)在区间[1，]上零点的个数。（2021成都市高三二诊）。
2、已知函数f(x)= -2a-2ax，其中a>0。
（1）当a=1时，求曲线y= f(x)在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f(x)有唯一零点，求a的值。（2020成都市高三零诊）
3、设函数f(x)= +bx+c，曲线y= f(x)在点（，f（））处的切线与Y轴垂直。
（1）求b；
（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1。
（2019成都市高三一诊）。
4、设函数f(x)=axlnx-x+ ，a 0（2019成都市高三零诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a＞0时，函数f(x)恰有两个零点，（＜），证明7+＞7a。
【典例3】解答下列问题：
1、设函数f(x)=5cosx-cos5x。（2025全国高考新高考I）
（1）求函数f(x)在[0，]上的最大值；
（2）给定（0，），设a为实数，证明：存在y（a-，a+），使得cosy（3）若存在使得对任意的x，都有5cosx-cos(5x+)≤b，求b的最小值。
2、记函数f(x）的导函数为(x)，已知f(x)=+ax+10，(2)=0。
（1）求实数a的值；
（2）求函数f(x)在[-3，4]的值域（成都市高2021级高三零诊）
3、已知函数f(x)=（+a）ln(x+1)。
当a=-1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；
是否存在a，b，使得曲线y=f()关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由；
若函数f(x)在（0，+）存在极值，求a的取值范围。（2023全国高考乙卷）
4、（1）证明：当0（2）已知函数f(x)=cosax-ln(1-)，若x=0是f(x)的极大值点，求a的取值范围（2023全国高考新高考II）
5、已知函数f(x)=-asinx，其中aR。
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（，）处的切线方程；
（2）若x=0是函数f(x)的极小值点，求a的取值范围。（成都市高2020级高三三珍）
6、设函数f(x)= -++（a-1）x-1，其中aR，若函数f(x)的图像在x=0处的切线与x
轴平行。
（1）求a的值；
（2）求函数f(x)的单调区间（成都市2020级高三零诊）
7、已知函数f(x)= +cosx。
（1）证明：f(x) 1；
（2）设函数g(x)=（sinx+cosx-2x-2），F（x）=a f(x)+ g(x)，其中aR，若函数F（x）存在非负的极小值，求a的取值范围。（成都市2020级高三零诊）
8、已知函数f(x)= +-2x+，其中aR，若函数f(x)的图像在点（1，f(1)）处的切线与直线2x+y-1=0平行。
（1）求a的值；
（2）求函数f(x)的极值（成都市2019级高三零诊）
9、已知函数f(x)= -a-2ax，其中aR。
（1）若函数f(x)在[0，+）上单调递增，求a的取值范围；
（2）若函数f(x)存在两个极值点，（<），当+ [3ln2-4，]时，求的取值范围。（成都市2019高三二诊）
『思考问题3』
（1）【典例3】是运用导函数探导函数的性质，并求函数的极值（或最值）问题，解答这类问题需要理解函数的单调性，函数的极值，函数的最值的定义，掌握运用函数导函数求函数单调区间（或判断函数单调性），函数极值，函数最值的基本方法；
（2）判断函数的单调性（或求函数的单调区间），可将问题转化为求解不等式（x）0（或（x）0）或证明（x）0（或（x）0）在区间上恒成立的问题；
（3）解答含参数的函数极值或函数最值问题关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，需要注意结合导函数图像的性质进行分析。
[练习3]解答下列问题：
1、已知函数f(x)=cosx-a,其中aR，x[-，]。
（1）当a=-时，求函数f(x)的值域；
（2）若函数f(x)在[-，]上恰有两个极小值点，，求a的取值范围，并判断是否存在实数a，使得f(-)=1+成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。（2021成都市高三三诊）。
2、已知函数f(x)=a+ -2x，其导函数为（x），且（-1）=0。
（1）求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)在［-1,1］上的最大值和最小值（2019成都市高三零诊）
3、已知函数f(x)=2-a+b。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）是否存在a，b，使得f(x)在区间［0，1］的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由。（2019全国高考新课标III）
4、设函数f(x)=（x-a）（x-b）（x-c），a，b，cR，（x）为f(x)的导函数。
（1）若a=b=c，f(4)=8，求a的值；
（2）若a b，b=c，且（x）和f(x)的零点均在集合{-3，1，3}中，求f(x)的极小值；
（3）若a=0，0【典例4】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= +m+nx+3，其导函数（x）的图像关于Y轴对称，f(1)=- ，
（1）求实数m，n的值；
（2）若函数y= f(x)- 的图像与X轴有三个不同的交点，求实数的取值范围（2020成都市高三零诊）
2、已知函数f(x)= +2x-mln(x+1)，其中mR。（2020成都市高三二诊）
（1）当m>0时，求函数f(x)的单调区间；
（2）设g(x)= f(x)+ ，若g(x)> 在（0，+）上恒成立，求实数m的最大值。
『思考问题4』
（1）【典例4】是运用函数导函数求不等式在某个区间恒成立时，不等式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题的基本思路是构造一个新函数，其解析式是不等式两边的差，把问题转化为运用函数导函数求函数最值的基本方法和参数分类讨论的原则与基本方法分别求函数最值的问题，从而求出参数的值（或取值范围）；
（2）求解运用函数导函数求不等式在某个区间恒成立时，不等式中参数的值（或取值范围）问题的基本方法是：①构造一个新函数（函数解析式为不等式两边的差）；②运用函数导函数求函数最值的基本方法和参数分类讨论的原则与基本方法求出新函数在区间上的最值；③由②判断不等式在区间上是否恒成立；④综合得出参数的值（或取值范围）。
[练习4]解答下列问题：
1、已知函数f(x)=a-lnx+lna。
（1）当a=e时，求曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f(x) 1，求a的取值范围（2020全国高考新高考I）
【典例5】解答下列问题：
1、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱的包装盒，E，F在AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与
底面边长的比值（2020全国高考江苏）
『思考问题5』
（1）【典例5】是运用函数导函数解答函数实际应用问题的类型，解答这类问题的关键是建立适当的函数模型；
（2）运用函数导函数解决函数实际应用问题的基本方法是：①认真读题，理解题意；②根据问题的条件选择适当的函数模型，列出相应函数的解析式； ③运用该函数导函数求出函数的最值；④得出函数实际应用问题的结果。
[练习5]解答下列问题：
1、某农场有一块农田如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成，已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米，现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚II内的地块形状为CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上，设OC与MN所成的角为。
（1）用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的取值范围；
（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚II内种植乙种蔬菜，且甲，乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3，求当为何值时，能使甲，乙两种蔬菜的年产值最大（2019全国高考江苏卷）
高考（或高三模拟）试题中函数大题的类型与解法
函数问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个函数问题的大题。从题型上看属于分数较高的大题，难度为中，高档，一般的考生得分率都不是很理想。纵观近几年高考（或高三模拟）试卷，归结起来函数大题问题主要包括：①运用函数导函数证明不等式；②运用函数导函数求方程的根（或确定函数的零点）；③运用函数导函数探导函数的性质并求函数的极值（或最值）；④运用函数导函数，求函数满足某一条件时，解析式中参数的值（或取值范围）；⑤运用函数导函数求解与函数相关的应用问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=ln（1+x）-x+-k，其中0（1）证明：函数f(x)在区间（0，+）存在唯一的极值点和唯一的零点；
（2）设，分别为函数f(x)在区间（0，+）的极值点和零点。
①设函数g(t)=f(+t)-f(-t)，证明：函数g(t)在区间（0，）单调递减；
②比较2与的大小，并证明你的结论。
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数极值点定义与性质；③函数零点定义与性质；
④函数单调性定义与性质；⑤求函数导函数的公式，法则与基本方法；⑥运用函数导函数确定函数极值点的基本方法；⑦运用函数导函数确定函数零点的基本方法；⑧运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；⑨比较实数大小的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数导函数，函数极值点和函数零点的性质，运用求函数导函数的公式，法则与基本方法，运用函数导函数确定函数极值点的基本方法和运用函数导函数确定函数零点的基本方法，结合问题条件就可证明函数f(x)在区间（0，+）存在唯一的极值点和唯一的零点；（2）①根据函数导函数，函数极值点和函数零点的性质，运用求函数导函数的公式，法则与基本方法和运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，结合问题条件就可证明函数g(t)在区间（0，）单调递减；②根据函数导函数，函数极值点和函数零点的性质，运用求函数导函数的公式，法则与基本方法和比较实数大小的基本方法，结合问题条件，就可得出2与的大小关系，并证明其结论。
【详细解答】（1）证明：（x）=-1+x-3k=
=，当x>0时，令（x）=0解之得：x=-1>0，x（0，-1）时，
（x）>0，x（-1，+）时，（x）<0， 函数f(x)在（0，-1）上单调递增，
在（-1，+）上单调递减， x=-1是函数f(x)在区间（0，+）存在唯一的极大值点；f(-1)>f(0)=ln1-0+0-0=0， 函数f(x)在（-1，+）上单调递减，存在（-1，
+），使f(,)=0，是函数f(x)在区间（0，+）存在的唯一零点；（2）①证明：
(t)=(+t)-(-t)=+=3kt[+]=，当t（0，）时，<0，>0，（t）=<0， 函数g(t)在（0，）上单调递减；
②由①知函数g(t)在（0，）上单调递减，g()是函数f(x)的零点，f()=0，f(2)，2>，函数f(x)在（，+）上单调递减，2>。
2、已知函数f(x)=a+（a-2）x-lnx。（成都市高2022级高三三诊）
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)有两个零点，（x）为函数f(x)的导函数。
①求实数a的取值范围；
②记函数f(x)较小的一个零点为，证明：（）>-2.
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数单调性定义与性质；③函数零点定义与性质；
④求函数导函数的公式，法则与基本方法；⑤运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；⑥参数分类讨论的法则与基本方法；⑦运用函数导函数确定函数零点的基本方法；⑧证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数导函数和函数单调性的性质，运用求函数导函数的公式，法则与基本方法，参数分类讨论的法则与基本方法和运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，结合问题条件就能得出函数f(x)的单调性；（2）根据函数导函数和函数零点的性质，运用函数导函数确定函数零点的基本方法和证明不等式的基本方法，结合问题条件就可求出实数a的取值范围，并证明（）>-2.
【详细解答】（1）函数f(x)的定义域为（0，+），（x）=2ax+（a-2）-==，当a≤0时，（x）<0在（0，+）上恒成立，函数f(x)在（0，+）上单调递减；当a>0时，x（0，），（x）<0，x（，+），（x）>0，函数f(x)在（0，）上单调递减，在（，+）单调递增，综上所述，当a≤0时，函数f(x)在（0，+）上单调递减；当a>0时，函数f(x)在（0，）上单调递减，在（，+）单调递增；（2）①由（1）可知，当a>0时，函数f(x)在（0，）上单调递减，在（，+）单调递增，函数f(x)的最小值为f()=+1-+lna
=1-+lna，函数f(x)有两个零点，1-+lna<0，设函数g(a)=1-+lna，函数g(a)在（0，+）单调递增，g(1)=1-1+ln1=0，g(a)<0在（0，1）上恒成立，若函数f(x)有两个零点，则实数a的取值范围是（0，1）；②证明：函数f(x)=a+（a-2）x-lnx=a（+x）-2x-lnx，f(1)=2a-2<0，函数f(x)较小的一个零点为，0<<1，（）
==（a-1）（2+1），（）>-2，（a-1）（2+1）>-2，
2a+（a-2）+1>0在（0，1）上恒成立，设函数h（x）=2a+（a-2）x+1，（x）
=4ax+a-2，令（x）=4ax+a-2=0，解之得：x=-,x（0，-），（x）<0，x（-，1），（x）>0，函数h(x)在（0，-）上单调递减，在（-，1）单调递增，函数h（x）在（0，1）上的最小值为h（-）=2a+（a-2）（-）+1=-++--++1=--+，当≤a<1时，显然--+>0成立，
当00在（0，）上恒成立，函数m（a）在（0，）上单调递增，m（a）=--+>0在（0，）上恒成立，综上所述，若函数f(x)较小的一个零点为，则（）>-2.
3、已知函数f(x)=。
（1）求函数f(x)的极值；
（2）若f(x)≤2kx+k恒成立，求实数k的取值范围；
（3）证明：<（n）。（成都市高2023级高三零诊）
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数极值定义与性质；③函数最值定义与性质；④对数函数定义与性质；⑤函数求导公式，法则与基本方法；⑥运用函数导函数求函数极值的基本方法；⑦运用函数导函数求函数最值的基本方法；⑧对数运算的法则与基本方法。
【解题思路】（1）根据函数导函数和函数极值的性质，运用函数求导公式，法则与基本方法和函数导函数求函数极值的基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)的极值；（2）根据函数导函数和函数最值的性质，运用函数求导公式，法则与基本方法和函数导函数求函数最值的基本方法，结合问题条件就可求出实数k的取值范围；（3）根据对数的性质，运用对数运算的法则与基本方法，结合问题条件就可证明<（i）。
【详细解答】（1）（x）==，令（x）=0解之得：x=1，x（-，1）时，（x）>0，x（1，+）时，（x）<0，函数f(x)在（-，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，函数f(x)存在极大值f(1)=，无极小值；（2）f(x)≤2kx+k恒成立，f(x)≤（2x+1）k恒成立，当x<-时，f(x)≤（2x+1）k恒成立，k≤恒成立；当x=-时，f(x)≤（2x+1）k恒成立，0≥f(x)恒成立，显然成立；当x>-时，f(x)≤（2x+1）k恒成立，k≥恒成立；设函数g(x)=,(x)
==，令(x)=0解之得：x=-1，或x=，x（-，-1），x（，+）时，（x）<0，x（-1，-），（-，）时，（x）>0，函数g(x)在（-1，-），（-，）上单调递增，在（-，-1），（，+）上单调递减，函数g(x)存在最大值g()=，最小值g(-1)=e，当x-时，k的取值范围是[，e]，综上所述，若f(x)≤2kx+k恒成立，则实数k的取值范围是[，e]；（3）由（2）可知e（2x+1)≥f(x)，（2x+1）≥x（xR），设x=ln（i），（2x+1）≥x（xR），（2ln+1）≥ln（i），（2ln-1）≥ln-1（i），ln≥（i），（i+3)ln≥1（i），=[(i+3)ln(i+2)-(i+2)ln(i+1)]≥[1+ln(i+1)]（i≥2，i），
(i+2)ln(i+1)-3ln2≥（i-1)+ln(i!)（i≥2，i），ln≥ln(i!)（i≥2，n）,≥(i!)（i≥2，i）,≤（i）,
≤=（1-）<=（n）。
4、已知函数f(x)= （1-ax）ln(1+x)-x。
（1）当a=-2时，求函数f(x) 的极值；
（2）当x0时，若f(x) 0恒成立，求a的取值范围。（2024全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数单调性定义与性质；③函数极值定义与性质；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；运用函数导函数求函数极值的基本方法；⑤参数分类讨论原则和基本方法；⑥运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出当a=-2时，函数f(x)的导函数(x)，运用函数导函数求函数极值的性基本方法就可求出函数f(x) 的极值；（2）根据函数求导公式，法则和基本方法，函数f(x)的导函数(x)，运用参数分类讨论的原则与基本方法和运用函数导函数证明不等式的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式就可求出a的取值范围。
【详细解答】（1）当a=-2时，函数f(x)的定义域为（-1，+），(x)=2ln(1+x)+
-1，(0)=0+1-1=0，函数(x)在（-1，+）上单调递增，当x（-1，0）时，
(x)<0，当x（0，+）时，(x)>0，函数f(x) 在（-1，0）上单调递减，在（0，
+）上单调递增，=f(0)=0-0=0，无极大值；（2）f(0)=0-0=0，当x[0，
+）时，f(x) 0恒成立，(x)=-aln(1+x)+-1≥0在[0，+）上恒成立，设函数g(x)=-aln(1+x)+-1，(x)=+=，由(x)=0解得：x=-2-，①当-2-≤0，即a≤-，或a>0时，函数g(x)在[0，+）上单调递增（a≤-），或函数g(x)在[0，+）上单调递减（a>0），(0)=g(0)=0+1-1=0，若a≤-，(x)≥0，在[0，+）上恒成立，符合题意；若a>0，(x)≤0在[0，+）上恒成立，不符合题意；②当-2->0，即-0，函数g(x) 在（0，-2-）上单调递减，在（-2-，+）上单调递增，(0)=g(0)=0+1-1=0，x（0，-2-）时，g(x)=(x)<0，函数f(x) 在（0，-2-）上单调递减，f(0)=0-0=0，
f(x)<0 在（0，-2-）上恒成立，与题意不符，综上所述，当x0时，若f(x) 0恒成立，则a的取值范围是（-，-]。
5、已知函数f(x)=ln +ax+b 。
（1）若b=-0，且(x) 0，求a的最小值；
（2）证明：曲线y= f(x)是中心对称图形；
（3）若f(x)＞-2，当且仅当1＜x＜2时恒成立，求b的取值范围（2024全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；③中心对称图形定义于性质；④判断中心对称图形的基本方法；⑤运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数(x)，结合问题条件得到a大于或等于关于x的表示式，构造函数g(x）为关于x的表示式，求出函数g(x）在（0，2）上的最大值，就可求出a的最小值；（2）根据中心对称图形的性质，运用判断中心对称图形的基本方法，结合问题条件就可证明曲线y= f(x)是中心对称图形；（3）根据x（1，2）时，f(x)＞-2恒成立，x（1，2）时，f(x)+2＞0恒成立，构造函数g(x）= f(x)+2，运用函数导函数证明不等式的基本方法，只需证明函数g(x)z在（1，2）的最小值大于0，从而得到关于b的不等式，求解不等式就可求出b的取值范围。
【详细解答】（1）当b=-0时， f(x)=ln +ax， （x）=++a0，a
-=，设函数g(x)= （0＜x＜2），＜0，
= g(1)=-2， a-2，若b=-0，且(x) 0，则a的最小值为-2；（2）证明： f(2-x)
=ln+a(2-x)+b=-［ln +ax+b ］+2a=- f(x)+2a， f(2-x)+ f(x)=2a，
函数f(x)的图像是以（1，a）为对称中心的中心对称图形；（3） x（1，2）时，f(x)＞-2恒成立，x（1，2）时，f(x)+2＞0恒成立，构造函数g(x）= f(x)+2，g(1）=a+20,
a-2， x（1，2）时，g(x)=f(x)+2＞0恒成立，g(1）=a+20，（x）=++a+3b
，（1）=2+a0，（x）=-++6b(x-1)，（1）=-1+1+0=0，（x）
=-+6b，（1）=2+2+6b=4+6b0，b-，若f(x)＞-2，当且仅当1＜x＜2时恒成立的必要条件是b-；若b-， （x）=++a+3b＞--2-2，令t=, t（0，1），（t）=-2-2t=2［-（1+t）］
==＞0在（0，1）上恒成立，函数g(x）在（1，2）上单调递增，＞g(1）=a+2＞0，综上所述，若f(x)＞-2，当且仅当1＜x＜2时恒成立，则b的取值范围是［-，+）。
6、已知函数f(x)=2-ax，aR。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a=e时，求证：f(x)>e（1-cosx）。（成都市高2021级高三一诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②参数分类讨论的原则和基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数（x），
运用参数分类讨论的原则与基本方法和运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，就可得
出函数f(x)的单调性；（2）根据不等式f(x) axcosx在区间（0，+）上恒成立， sinx- 2ax- axcosx0在区间（0，+）上恒成立，- ax0在区间（0，+）上恒成立，设函数g(x)= - ax，运用函数导函数求函数最值的基本方法求出函数g(x)= - ax在区间（0，+）上的最大值就可得出实数a的取值范围。
【详细解答】（1）（x）=2-a，①当a≤0时， （x）>0在R上恒成立，函数
f(x)在R上单调递增；②当a>0时，令（x）=0解得：x=ln，x（-，ln）时，（x）<0，x（ln，+）时，（x）>0，函数f(x)在（-，ln）上单调递减，在（ln，+）上单调递增，综上所述，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递增；当a>0时，函数f(x)在（-，ln）上单调递减，在（ln，+）上单调递增；（2）证明：当a=e时不等式f(x) >e（1-cosx）, 2-ex>e（1-cosx）,2>x-cosx+1,①当x（-，0]时，2>0，g(x)≤0恒成立，2>x-cosx+1成立；②x（0，+）时，2>x
-cosx+1,2-x+cosx-1>0,设g(x) =2-x+cosx-1，（x）=2-1-sinx≥0恒成立，函数g(x)在（0，+）上单调递 >g(0)=-0+1-1=>0，g(x)>0在（0，+）上恒成立，2>x-cosx+1成立，综上所述，2>x-cosx+1在R上恒成立，即当a=e时，f(x)>e（1-cosx）。
7、已知函数f(x)= 2a-。
（1）当a=时，判断函数f(x)的零点个数并说明理由；
（2）若存在b（0，+），使得当x（b，b+2024）时，f(x)>-aln（x+1）+2a-1恒成立，求实数a的取值范围。（成都市高2021级高三二诊）
【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②函数求导公式，法则与基本方法；③运用函数导函数确定函数零点的基本方法；④参数分类讨论的原则与基本方法；⑤运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数零点的性质，运用函数求导公式，法则与基本方法和利用函数导函数确定函数零点的基本方法，结合问题条件就可判断函数f(x)的零点个数；（2）根据参数分类讨论的原则和基本方法，运用函数导函数证明不等式的基本方法，结合问题条件就可求出若存在b（0，+），使得当x（b，b+2024）时，f(x)>-aln（x+1）+2a-1恒成立，实数a的取值范围。
【详细解答】（1）当a=时，f(x)= -，(x）= -，(x）= +>0在[0，+）上恒成立，函数(x）在[0，+）上单调递增，(）= -1<0，(,1）= e->0，存在（，1），使(）=0，x（0，）时，(x）<0，x（,，+）时，(x）>0，函数f(x)在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，f()= -,>0，f(1)=e-1<0， 函数f(x)在( ，1）上和（1，+）上各有一个零点，当a=时，函数f(x)有两个不同的零点；（2）存在b（0，+），使得当x（b，b+2024）时，f(x)>-aln（x+1）+2a-1恒成立，存在b（0，+），使得当x（b，b+2024）时，（2a-1）(-1)+aln（x+1）->0恒成立，设函数g(x)=（2a-1）(-1)+aln（x+1）-，①当a>时，令函数h(x)=-x-1，x（0，+）(x)=-1在（0，+）上单调递增，(0)=1-1=0，(x）>0在（0，+）上恒成立，函数h(x)在（0，+）上单调递增，h(0)=1-0-1=0，h(x）>0在（0，+）上恒成立，g(x)=（2a-1）(-1)+aln（x+1）->（2a-1）x-，当x≥时，
g(x)>0，取b=，当x（b，b+2024）时，g(x)>0恒成立；②当a≤时，令函数
u(x)=2+ln（x+1）-2，(x)=2+>0在（0，+）上恒成立， 函数u(x)在（0，+）上单调递增，u(0)=2+0-2=0，u(x）>0在（0，+）上恒成立，g(x)=（2a-1）(-1)+aln（x+1）-≤+ln（x+1）-1--+1=ln（x+1）-，令m(x)=ln（x+1）-， (x)=-==<0在（0，+）上恒成立， 函数m(x)在（0，+）上单调递减， m(0) =0-0=0， m（x）<0在（0，+）上恒成立，g(x)<0在（0，+）上恒成立与题意不符，综上所述，若存在b（0，+），使得当x（b，b+2024）时，f(x)>-aln（x+1）+2a-1恒成立，则实数a的取值范围是（，+）。
8、已知函数f(x)= lnx+a，其中aR。（成都市高2021级高三零诊）
（1）当a=-2时，求函数f(x) 的单调区间；
（2）当x>1时，若f(x)<恒成立，求整数a的最大值。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数单调性定义与性质；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数单调性的性质和由函数导函数判断函数单调性的基本方法就可求出函数的单调性；（2）由f(x)<，a<，构造函数g(x)=，根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数g(x)的导函数(x)，运用函数导函数求函数最值的基本方法，求出函数g(x)的最小值就可求出整数a的最大值。
【详细解答】（1）当a=-2时，函数f(x)的定义域为（0，+），(x)= - 4x=，令(x)=0解得：x=，当x（0，）时，(x)>0，当x（，+）时，(x)<0，函数f(x)在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减；（2） f(x)<，a<，设函数g(x)=（x>1），(x)== ，
设函数h(x)=2lnx+(x-2)-1（x>1）， (x)=+(x-1)>0（1，+）上恒成立，函
数h(x)在（1，+）上单调递增，h()=2ln--1<0，h(2)=2ln2-1>0，存在 （，2），使函数h()=2ln+(-2)-1=0，-ln=(-1)-，当x （1，）时， (x)<0，当x （，+）时， (x)>0，函数g(x)在（1，）上单调递减，在（，+）上单调递增， = g（）===，设函数F（x）=（0在（，2）上恒成立，函数F(x)在（，2）上单调递增，当x（，2）时，F（）=1时，若f(x)<恒成立，则整数a的最大值为1。
9、已知f(x)= ax--，x（0，）。（2023全国高考甲卷）
（1）若a=8，讨论函数f(x) 的单调性；
（2）若f(x)【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；③参数分类讨论原则和基本方法；④运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可得出函数的单调性；（2）由f(x)【详细解答】（1）当a=8时， （x）=8-=8-
=8-，设t=，t（0，1），（x）=g(t)=8-=
=，令（x）=g(t)=0解得t=，当t（0，），即x（，）时，（x）=g(t）<0，当t（，1），即x（0，）时，（x）=g(t）>0，函数f(x)在（，）上单调递减，在（0，）上单调递增；（2）f(x)0在（0，1）上恒成立，函数u(t)在（0，1）上单调递增，u(t)0，存在（0，1）使u()=0，即存在（0，），使得（）=0，当t（，1）时，（t）=u（t）>0，即当x（0，）时，（x）>0，函数g(x)在（0，）上单调递增，g(x)>g(0)=0-0-0=0，与题意不符， 综上所述，若f(x)10、已知函数f(x）=a（+a）-x。
讨论函数f(x）的单调性；
证明：当a>0时，f(x）>2lna+（2023全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；③参数分类讨论原则和基本方法；④运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法和参数分类讨论原则与基本方法就可得出函数的单调性；（2）由f(x)=f(x)-sin2x=ax---sin2x，根据参数分类讨论原则和基本方法，运用函数导函数证明不等式的基本方法，结合问题条件就可求出实数a的取值范围。（文）（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可得出函数的单调性；（2）由f(x)+sinx<0， ax--+sinx<0，构造函数g(x）=ax--+sinx，根据参数分类讨论原则和基本方法，运用函数导函数证明不等式的基本方法，就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（1） （x）=a-1，①当a≤0时， （x）=a-1<0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递减；②当a>0时，令（x）=a-1=0解得：x=-lna，x（-，-lna）时，（x）<0，x（-lna，+）时，（x）>0，函数f(x)在（-，-lna）上单调递减，在（-lna，+）上单调递增，综上所述，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递减，当a>0时，函数f(x)在（-，-lna）上单调递减，在（-lna，+）上单调递增；（2）f(x）>2lna+，a（+a）-x-2lna->0，设函数g(x)=a（+a）-x-2lna-，（x）=（x）=a
-1，由（1）知，当a>0时，函数g(x)在（-，-lna）上单调递减，在（-lna，+）上单调递增，=g(-lna)=a(+a)+lna-2lna-=-lna-，设h(x)=-lnx-x（0，+），
（x）=2x-=，令（x）=0解得：x=，x（0，）时，（x）<0，x（，+）时，（x）>0，函数h(x)在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，=h()=-ln-=ln>0，=h(x)>0在（0，+）上恒成立，即当a>0时，f(x）>2lna+当a>0时，f(x）>2lna+。
『思考问题1』
（1）【典例1】是运用函数导函数证明不等式的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义和性质，掌握运用函数导函数证明不等式的基本方法；
（2）运用函数导函数证明不等式的基本方法是：①构造一个新函数（一般是所证明的不等式两边之差）；②运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别证明函数的最大值（或最小值）小于或等于零（或大于或等于零）在某区间上恒成立；③由②判断不等式在某区间上是否恒成立；④综合得出证明的结论。
[练习1]解答下列问题：
1、已知函数f(x)=ln(ax)，a>0。
（1）当a=1时，若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=kx+b，证明：f(x)≤kx+b；
（2）若f(x)≤（x-1）,求a的取值范围。（成都市高2020级高三一诊）
（答案：（1）提示：构造函数g(x)=lnx-x+a-1,证明函数g(x)的最大值为0；（2）a的取值范围是（0，1]。）
2、已知函数f(x)=x-。
（1）当a=1时，讨论函数f(x)的单调性；
（2）当x>0时，f(x)<-1，求实数a的取值范围；
（3）设n，证明：++------+>ln(n+1)（2022全国高考新高考
II卷）（答案：（1）函数f(x)在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增；（2）实数a的取值范围是（-，]；（3）提示：先证明x->2lnx在[1，+）上恒成立，设x=，就可证明结论。）
3、已知函数f(x)= 2ax-lnx，其中aR。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a>0时，若，（0<<）满足f()=f()，证明f(2a)+f(2a)>4（
+）（成都市2019级高三零诊）
（答案：（1）当a0时，函数f(x)在（0，+）上单调递减，当a>0时，函数f(x)在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；（2）提示：根据问题条件得到2a关于，的表示式，从而原不等式转化为2ln+->0，设=t，由 0<<，得 t(0，1)，f(2a)+f(2a)>4（+），2lnt+-t >0在(0，1)上恒成立，运用函数导函数证明不等式的基本方法就看证明结论。）
4、已知函数f(x)=sinx- 2ax，aR。（成都市2019级高三一诊）
（1）当a时，求函数f(x)在区间[0，]上的最值；
（2）若关于x的不等式不等式f(x) axcosx在区间（0，+）上恒成立，求a的取值范围。（答案：（1）当a时，函数f(x)在区间[0，]上，= f(0)=0，= f()=-2a；（2）提示：构造函数g(x)= sinx- 2ax-axcosx，问题转化为证明函数g(x) 在区间（0，+）上的最大值为0.）
5、已知函数f(x)=2+3a-12x，其中aR（成都市2019级高三三珍）
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数g(x)= 2--（12-1）x+2sinx-2，当a>0，x>0时，证明：g(x)< f(x)。
（答案：（1）当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为（-，-2a），（a，+），单调递减区间为（-2a，a）；当a=0时，函数f(x)的单调递增区间为（-， +）；当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为（-，a），（-2a，+），单调递减区间为（a，-2a）；（2）提示：构造函数h(x)= g(x)- f(x)。 问题转化为证明函数h(x) 在区间（0，+）上的最大值小于0.）
6、设函数f(x)=ln(a-x)，已知x=0是函数y=x f(x)的极值点。
（1）求a；
（2）设函数g(x)= ，证明：g(x)<1。（2021全国高考乙卷）。
(答案：（1）a=1；（2）构造函数G（x）= x+ ln(1-x)- x ln(1-x)，问题转化为证明函数G（x）在x（-，0）（0，1）上的最大值小于0。)
7、已知函数f(x)=x(1-lnx)（2021全国高考新高考I卷）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<+（答案：（1）函数f(x) 在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减；（2）提示：构造函数g(x)=f(x)-f(2-x)，x（0，1），证明函数f(x)在（0，1）上单调递增。）
8、已知函数f(x)= x+ax，aR。
（1）设f(x)的导函数为(x)，试讨论(x)的零点个数；
（2）设g(x)=alnx+alnx+(a-1)x，当x（1，+）时，若f(x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围。（2021成都市高三零诊）。
（答案：（1）当a0或a=时，函数(x)只有一个零点，当09、已知函数f(x)=（x-2）- +ax，aR（2021成都市高三一诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，求实数a的取值范围。
（答案：（1）当a0时，函数f(x) 在（-，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；
当0e时，函数f(x) 在（1,lna）上单调递减，在（-，1），（lna，+）上单调递增；（2）若当x<1时，不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，则实数a的取值范围是（1，+）。）
10、已知函数f(x)=（a-1）lnx+x+，aR，(x)为函数f(x)的导函数。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a<-1时，证明：x（1，+），f(x)>-a- 。（2020成都市高三一诊）
（答案：（1）当a0时，函数f(x) 在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；当-111、已知函数f(x)=a ，其中a，mR。
（1）当a=m=1时，设g(x)= f(x)-lnx，求函数g(x)的单调区间；
（2）当a=4，m=2时，证明：f(x)>x(1+lnx)。（2020成都市高三三诊）。
（答案：（1）函数g(x) 在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；（2）提示：构造函数g(x)= a -x(1+lnx),证明函数g(x)在（0，+）上的最小值大于0.）
12、已知函数f(x)=sin xsin2x。（2020全国高考新课标II）
（1）讨论函数f(x)在区间（0，）的单调性；
（2）证明：| f(x)| ；
（3）设n，证明：sin x sin 2x sin 4x------ sin x。
（答案：（1）函数f(x)在(0，)， (，)上单调递增，在(，)上单调递减；（2）提示：证明（x）；（3）提示：根据（2）的结论就可证明sin x sin 2x sin 4x------ sin x。）
【典例2】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=alnx+-x。
设a=1，b=-2，求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程；
（2）若x=1是上f(x)的极小值点，求b的取值范围。（成都市高2022级高三一珍）
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②曲线切线方程定义与性质；③函数极值定义与性质；④求曲线切线方程的基本方法；⑤求函数导函数的公式，法则和基本方法；⑥判断函数极值点的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数导函数和曲线切线方程的性质，运用求曲线切线方程的基本方法和求函数导函数的公式，法则与基本方法，结合问题条件就可求出曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程；（2）根据函数导函数和函数极值的性质，运用求函数导函数的公式，法则与
基本方法和判断函数极值点的基本方法，结合问题条件就可求出b的取值范围。
【详细解答】（1）设曲线y=f(x)切线的切点为（，），当a=1，b=-2时，f(x)=lnx--x，()=+-1==2，解之得：=1，=ln1-2-1=-3，曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程为y+3=2(x-1)，即2x-y-5=0；（2）函数f(x)的定义域为（0，+），(x)
=--1=，x=1是函数f(x)的极小值点，(1)=-1+a-b=0，a=1+b，
(x)=，当b≤0时，x（0，1）时，(x)>0，x（1，+）时，(x)<0，函数f(x)在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，x=1是函数f(x)的极大值点，不符合题意；当00，x（0，b）（1，+）时，(x)<0，函数f(x)在（b，1）上单调递增，在（0，b），（1，+）上单调递减，x=1是函数f(x)的极大值点，不符合题意；当b=1时，(x)==<0在（0，
+）上恒成立，函数f(x)在（0，+）上单调递减，此时函数f(x)无极值；当b>1时，x（1，b）时，(x)>0，x（0，1）（b，+）时，(x)<0，函数f(x)在（1，b）上单调递增，在（0，1），（b，+）上单调递减，x=1是函数f(x)的极小值点，综上所述，若x=1是函数f(x)的极小值点，则b的取值范围是（1，+）。
2、已知函数f(x)= -ax-。
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；
（2）若函数f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围（2024全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则与基本方法；③求曲线在某点处切线方程的基本方法；④函数极值定义与性质；⑤参数分类讨论的原则与基本方法；⑥运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则与基本方法求出当a=1时，函数f(x)在x=1处的导函数值，利用求曲线在某点处切线方程的基本方法，结合问题条件就可求出曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；（2）根据函数导函数和函数极值的性质，运用函数求导公式，法则与基本方法，参数分类讨论的原则与基本方法和运用函数导函数求函数极值的基本方法，求出函数f(x)的导函数(x)，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式就可求出a的取值范围。
【详细解答】（1）当a=1时，(x)= -1，(1)=e -1，f(1)= e-1-1=e-2，曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程为y-e+2=(e-1)(x-1)，即(e-1)x-y-1=0；（2）(x)= -a，①当a≤0时，(x)>0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增，此时函数f(x)没有极值，显然与题意不符；②当a>0时，由(x)=-a=0解得：x=lna，x（-，lna)时，
(x)<0，x（lna，+）时，(x)>0，函数f(x)在（-，lna)上单调递减，在（lna，+）上单调递增，=f(lna)=a-alna-=a(1-lna-)<0，1-lna-<0在（0，+）上恒成立，设函数g(x)=--lnx+1，x（0，+），（x）=-2x-=<0
在（0，+）上恒成立，函数g(x)在（0，+）上单调递减，g(1)=-1-0+1=0，g(x)<0在（1，+）上恒成立，综上所述，若函数f(x)有极小值，且极小值小于0，则a的取值范围是（1，+）。
3、已知函数f(x)=xlnx-a+a(aR)。
（1）当a=2时，求f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围。（成都市高2021级高三三珍）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；③函数零点定义与性质；④运用函数导函数确定函数零点的基本方法；⑤参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)导函数（x），运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，结合问题条件就可求出求f(x)的单调区间；（2）根据函数零点的性质，运用参数分类讨论的原则与基本方法和用函数导函数确定函数零点的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式组，求解不等式组就可求出a的取值范围。
【详细解答】（理）（1）当a=2时，f(x)=xlnx-2+2，（x）=lnx+1-，（x）=+=>0在（0，+）上恒成立，函数（x）在（0，+）上单调递增，（1）=ln1+1-1=0+1-1=0，x（0，1）时，（x）<0，x（1，+）时，（x）>0，函数f(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，函数f(x)的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+）；（2）设t=，t（0，+），函数f(x)=xlnx-a+a，
f(t)=2lnt-at+a，f(1)=2ln1-a+a=0-a+a=0，函数f(x)有两个零点，函数f(t)有两个零点，
①当a≤0时，f(t)=2lnt-at+a=2lnt-a（t-1）>0在（1，+）上恒成立，f(t)=2lnt-at+a
=2lnt-a（t-1）<0在（0，1）上恒成立，函数f(t)在（0，+）上只有一个零点，显然与题意不符；②当a>0时，（t）=4tlnt+2t-a，（t）=4lnt+4+2=4lnt+6，令（t）=0解得：t=，t（0，）时，（t）<0，t（，+）时，（t）>0，函数（t）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，函数（t）的最小值为（）=（-）+-a=--a<0，当t→时，（t）→-a<0，当t→+时，（t）→+，存在（，+），使（）=0，t（0，）时，（t）<0，t（，+）时，（t）>0，函数f（t）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，当t→时，f（t）→a>0，当t→+时，f（t）→+，f(1)=0，若=1，显然函数f（t）只有一个零点，与题意不符，0，函数f（t）的最小值为f（）4、已知函数f(x)= ，其中x>0，aR。（成都市高2020级高三二诊）
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）当a>0时，函数g(x)=alnx+-2x+1恰有两个零点，求a的取值范围。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②运用函数导函数判定函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④函数零点定义与性质；⑤运用函数导函数确定函数零点的基本方法；⑥运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法和参数分类讨论原则与基本方法，就可求出函数f(x)的单调区间；（2）由函数g(x)有两个零点，方程=2x-alnx-1有两个不同的实数根，根据x>0，a>0时，=2x-alnx-1=ln-ln-lne=ln，设t=>0，则=lnt，构造函数h(t)=lnt-，运用函数导函数确定函数零点的基本方法，得到函数h(t)有唯一零点t=e，从而得到方程=2x-alnx-1有两个不同的实数根，方程e=有两个不同的实根，方程alnx=2x-2有两个不同的实数根，构造函数u(x)=alnx-2x+2，u()=a（lna-ln2)-a+2>0，构造函数m（x）=x（lnx-ln2)-x+2 （x（0，+）），利用函数导函数证明不等式的基本方法，就可求出a的取值范围。
【详细解答】（1）(x）==，①当a≤0时，(x)>0 在（0，+）上恒成立，函数f(x)在（0，+）上单调递增；②当a>0时，令(x）=0解得x=，x( 0，）时，(x）<0，x（，+）时，(x）>0， 函数f(x)在( 0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，综上所述，当a≤0时，函数f(x)在（0，+）上单调递增；当a>0时，函数f(x)在( 0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；（2）函数g(x)有两个零点，方程=2x-alnx-1有两个不同的实数根，
x>0，a>0时，=2x-alnx-1=ln-ln-lne=ln，设t=>0，则=lnt，令函数h(t)=lnt-，(t)=-，由(t)=0解得t=e，t( 0，e）时，(t）>0，x（e，+）时，(t）<0， 函数h(t)在( 0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减，h(e)=1-1=0，方程=lnt有唯一的根t=e，方程=2x-alnx-1有两个不同的实数根，方程e
=有两个不同的实根，方程alnx=2x-2有两个不同的实数根，构造函数u(x)=alnx-2x
+2， (x)=-2，a>0，令 (x)=0解得x=，x( 0，）时，(x）>0，x（，+）时，(x）<0， 函数u(x)在( 0，）上单调递增，在（，+）上单调递减， 当x → 0时，u(x) → -，当x → +时，u(x) → -， 方程alnx=2x-2有两个不同的实数根，u()=a（lna-ln2)-a+2>0，构造函数m（x）=x（lnx-ln2)-x+2 （x（0，+））， (x)=lnx+1-ln2-1=lnx-ln2，令 (x)=0解得x=2，x( 0，2）时，(x）<0，x（2，+）时，(x）>0， 函数m(x)在( 0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，=m(2)=0-2+2=0，02，即当a>0时，若函数g(x)=alnx+-2x+1恰有两个零点，则a的取值范围是（0，2）（2，+）。
5、已知f(x)= -lnx+x-a。
（1）若f(x) 0，求实数a的取值范围；
（2）若函数f(x)有两个不同的零点，，求证：<1。（2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数求函数最值的基本方法；③函数零点的定义与性质；④运用函数导函数确定函数零点的基本方法；⑤函数在某点导函数的几何意义及运用，⑥求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数求函数最值的基本方法求出函数f(x)的最小值，得到关于a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围；（2）根据函数零点的性质，运用函数导函数确定函数零点的基本方法，确定出，的取值范围就可证明<1。
【详细解答】（1） （x）=-+1==，令（x）=0解得x=1，x（0，1）时，（x）<0，x（1，+ ）时，（x）>0，函数f(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+ ）上单调递增，= f(1)=e-0+1-a=e+1-a， f(x) 0， e+1-a,0，ae+1，若f(x) 0，则实数a的取值范围是（- ，e+1]；（2）函数f(x)有两个不同的零点，，由（1）知， = f(1)=e-0+1-a=e+1-a<0，a>e+1，设0<<1，>1，<1 1<<， f()< f()， f()<
f()，设函数g(x)= f(x)-f()，x（0，1），（x）=（x）+（）.
=，>ex，x在（0，1）上单调递减，+x>ex+x=(e+1)x，-x-1<-e-1，+x-x-10在（0，1）上恒成立，函数g(x)在（0，1）上单调递增， g(1)= f(1)-f(1)=0， 对任意的x（0，1），g(x)<0， f(x)6、已知函数f(x)=ln(1+x)+ax。（2022全国高考乙卷）
（1）当a=1时，求曲线f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；
（2）若f(x)在区间（-1，0），（0，+）各恰好有一个零点，求a的取值范围。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数的几何意义及运用；③求曲线在某点处切线方程的基本方法；④函数零点定义与性质；⑤运用函数导函数确定函数零点的基本方法；⑥参数分类讨论的原则和基本方法；⑦运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）当a=1时，根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数在某点导数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法，就可求出求曲线f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；（2）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数（x），①当a>0时，（x）>0在（-1，0）上恒成立，得到函数f(x) 在（-1，0）上单调递增，从而得到f(x)<0在（-1，0）上恒成立，函数f(x) 在（-1，0）上没有零点；②当-1a0时，由（x）0在（0，+）上恒成立，函数f(x) 在（0，+）上单调递增，从而得到f(x)>0在（0，+）上恒成立，函数f(x) 在（0，+）上没有零点；③当a<-1时，根据函数零点的性质，运用确定函数零点的基本方法，得到函数f(x)在（-1，0）和（0，+）上各有唯一一个零点，从而求出若函数 f(x) 在区间（-1，0），（0，+）各恰有一个零点，实数a的取值范围。
【详细解答】（1）当a=1时，函数f(x)= ln(1+x)+x，（x）=+-x=
+(1-x) ，（0）=1+1=2， f(0)=0+0=0，曲线f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程为y=2x；（2）（x）=+a-ax=，设函数g(x)= +a(1-)，
①当a>0时， x（-1，0）时，g(x)= （x）>0在（-1，0）上恒成立，函数f(x) 在（-1，0）上单调递增， 当x（-1，0）时，f(x)< f(0)=0+0=0，f(x)<0在（-1，0）上恒成立，函数f(x) 在（-1，0）上没有零点，与题意不符；②当-1a0时，（x）=-2ax>0在（0，+）上恒成立，函数g(x) 在（0，+）上单调递增， 当x（0，+）时，g(x)> g(0)=1+a 0， g(x)= （x）0在（0，+）上恒成立，函数f(x) 在（0，+）上单调递增，当x（0，+）时，f(x)> f(0)=0+0=0，f(x)>0在（0，+）上恒成立，函数f(x) 在（0，+）上没有零点，与题意不符；③当a<-1时，若x（0，+）（x）=-2ax>0在（0，+）上恒成立，函数g(x) 在（0，+）上单调递增， g(0)=1+a<0，g(1)=e+0=e>0，存在（0，1），使g()= （）=0，x（0，）
时，（x）<0，x（，+）时，（x）>0，函数f(x)在（0，）上单调递减，
在（，+）上单调递增，当 x（0，）时，f(x)< f(0)=0+0=0，当x→ +时，f(x) →+，函数f(x)在（0，+）上有唯一一个零点；若x（-1，0），设h(x)= （x）=-2ax，（x）=-2a>0在（-1，0）上恒成立，函数h(x) = （x）在（-1，0）上单调递增，（-1）=+2a<0，（0）=1-0=1>0，存在（-1，0），使h()= （）=0， x（-1，）时，（）<0，x（，0）时，（）>0，函数g(x)在（-1，）上单调递减，在（，0）上单调递增，当x（，0）时，g(x) < g(0) =1+a<0， g(-1)=+0=>0，存在（-1，0），使g()=（）=0，x（-1，）时，（x）>0，x（，0）时，（x）<0，函数f(x)在（-1，）上单调递增，在（，0）上单调递减， 当x -时，f(x) -，f(0)=0+0=0， 当x（，0）时，f(x)> f(0)=0+0=0，函数f(x)在（-1，）有唯一零点，即函数f(x)在（-1，0）有唯一零点，综上所述，若f(x)在区间（-1，0），（0，+）各恰好有一个零点，实数a的取值范围是（-，-1）。
7、已知函数f(x)= -ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值。
（1）求a；
（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列（2022全国高考新高考I卷）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②参数分类讨论的原则与基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法；⑤等差中项定义与性质；⑥证明三项成等差数列的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法分别求出函数f(x)和g(x)的导函数(x)和（x），运用函数导函数求函数最值的基本方法，分别求出函数f(x)和g(x)的最小值，从而得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）由（1）得到函数f(x)和g(x)的解析式，根据函数零点的性质，参数分类讨论的原则与基本方法和确定函数零点的基本方法，结合问题条件，①当b<1时，直线y=b，与两条曲线y=f(x)和y=g(x)没有交点；②当b=1时，直线y=b，与两条曲线y=f(x)和y=g(x)有且仅有两个交点；③当b>1时，直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，，，利用等差中项的性质和证明三项成等差数列的基本方法，证明，，成等差数列就可证明结论。
【详细解答】（1）(x)= -a，（x）=a-=，①当 a0时，(x)>0在R上恒成立，（x）<0在（0，+）上恒成立，函数f(x)在R上单调递增，函数g(x)在（0，+）上得到递减，此时函数f(x)和g(x)都没有最小值；②当a>0时，令(x)=0，（x）=0分别解得：x=lna，x=， x（-，lna）时，（x）<0，x（lna，+）时，（x）>0，函数f(x)在（-，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，
= f(lna)=a-alna， x（0，）时，（x）<0，x（，+）时，（x）>0，
函数g(x)在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，= g()=1+lna，
函数f(x)和g(x)有相同的最小值， a-alna=1+lna，lna=，设函数h(x)=lnx-
(x>0)，（x）=-=>0在（0，+）上恒成立，函数h(x)在（0，+）上单调递增， h(1)=0-0=0= h(a)，且a>0，a=1；（2）证明：由（1）知数f(x)= -x和g(x)=x-lnx，(x)= -1，（x）=1-=，令(x)=0，（x）=0分别解得：x=0，x=1，当x（-，0）时，（x）<0，x（0，+）时，（x）>0，函数f(x)在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，= f(0)=1-0=1，当x（0，1）时，（x）<0，x（1，+）时，（x）>0，函数g(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，= g(1)=1-0=1，①当b<1时，显然此时直线y=b，与两条曲线y=f(x)和y=g(x)没有交点；②当b=1时，直线y=b，与两条曲线y=f(x)和y=g(x)有且仅有两个交点，且交点的横坐标分别为=0，=1,；③当b>1时，设函数u(x)= f(x)-b，
（x）=-1，令（x）=0解得：x=0，当x（-，0）时，（x）<0，x（0，+）时，（x）>0，函数u(x)在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，= u(0)=1-0-b=1-b<0， u(-b)= +b-b= >0，u(b)= -b-b= -2b，设函数r(x)= -2x（x>1），（x）=-2>0在（1，+）上恒成立，函数r(x) 在（1，+）上单调递增，当x（1，+）时，r(x)> r(1)=e-2>0，u(b)= -b-b= -2b>0，函数u(x)在（-b，0）有一个零点，在（0，b）上有一个零点，设函数m（x）= x-lnx-b，
（x）=1-=，令（x）=0解得x=1，当x（0，1）时，（x）<0，x（1，+）时，（x）>0，函数m(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，= m(1)=1-0-b=1-b<0， m()= +b-b= >0，m(2b)=2b-ln2b-b=b-ln2b，设函数n(x)=x
-ln2x（x>1），(x)=1-=，令 (x)=0，解得x=1，当x（0，1）时，（x）<0，x（1，+）时，（x）>0，函数n(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+）上
单调递增，= n(1)=1-ln2>0，函数m(x)在(，1)上有一个零点，在（1，2b）上有一个零点， u()=--b=m()=-ln-b=0，b=-=-ln，若
=，-2+ln=0，设函数d(x)= -2x+lnx（0=>0（0，1）上恒成立，函数d(x)在（0，1）上单调递增， d()=
- -3<0，d(1)=e-2+0=e-2>0，存在（0，1），使d（）=-2+ln=0，
=，直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，，， u()
= u()=u()=0，m()=m()=m()=0， u()= u()=u(ln)，函数u(x)在（-，0）上单调递减，<0，0<<1，ln<0，= ln，=， u() =m()=m()，
函数m(x) 在（1，+）上单调递增，0<<1，>1，>1，=，-2+ln=0，
+= ln+2-ln=2，，，成等差数列，存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。
8、已知a>0，且a1，函数f(x)= （x>0）。
（1）当a=2时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围。
的位置关系，并说明理由。（2021全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；③函数零点的定义与性质；④运用函数导函数确定函数零点的基本方法。
【解题思路】（1）当a=2时，根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可求出函数f(x)的单调区间；（2）由曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，函数g(x)= f(x)-1有且仅有两个零点，运用函数导函数确定函数零点的基本方法，就可求出a的取值范围。
【详细解答】（1）当a=2时，函数f(x)= （x>0），（x）=
=，令（x）=0解得x=0或x=，x（0，）时，（x）>0，
x（，+ ）时，（x）<0，函数f(x)在（0，）上单调递增，在（，+ ）上单调递减；（2）曲线y=f(x)与直线y=1在（0，+ ）上有且仅有两个交点，方程=在（0，+ ）上有且仅有两个根，方程alnx=xlna在（0，+ ）上有且仅有两个根，方程=在（0，+ ）上有且仅有两个根，设函数g(x)= ，（x）=，令（x）=0解得x=e，当x（0，e）时，（x）>0，x（e，+ ）时，（x）<0，函数g(x)在（0，e）上单调递增，在（e，+ ）上单调递减，
= g(e)= ， g(x)=- ，g(1)=0， g(x)==0，0<<，a>1且ae，
若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，则实数a的取值范围是（1，e）（e，+ ）。
9、已知函数f(x)=（x-1）-a+b。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）从下面两个条件中任选一个，证明：函数f(x)有一个零点。
①2a；②0【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②参数分类讨论的原则与基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④函数零点的定义与性质；⑤运用函数导函数确定函数零点的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数(x)，运用参数分类讨论的原则与基本方法和函数导函数判断函数单调性的基本方法，分别考虑①a0，②0时，函数f(x)的单调性；（2）根据函数零点的性质和确定函数零点的基本方法，结合问题条件就可证明函数f(x)有一个零点。
【详细解答】（1）(x)= +（x-1）-2ax= x-2ax=x（-2a），①a0时，（-2a）>0在R上恒成立，x（-，0）时，(x)<0，x（0，+）时，(x)>0，函数f(x)在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增；②00，x（ln2a，0）时，(x)<0，x（0，+）时，(x)>0，函数f(x)在（ln2a，0）上单调递减，在（-，ln2a），（0，+）上单调递增；③a=时，(x) 0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增；④a>时，x（-，0）时，(x)>0，x（0，
ln2a）时，(x)<0，x（ln2a，+）时，(x)>0，函数f(x)在（0，ln2a）上单调递减，
在（-，0），（ln2a，+）上单调递增，综上所述，当a0时，函数f(x)在（-，0）
上单调递减，在（0，+）上单调递增；当0时，
函数f(x)在（0，ln2a）上单调递减，在（-，0），（ln2a，+）上单调递增；（2）若选择
①2a的条件，证明：2a，1<2a，b>1，由（1）知，
函数f(x)在（0，ln2a）上单调递减，在（-，0），（ln2a，+）上单调递增，f(-b)=(-b-1) -a-b<0，f(0)=（0-1）1-0+b=b-1>0，函数f(x)在（-b，0）上有一个零点， f(ln2a)
=2a（ln2a-1）-a(ln2a) +b>2a（ln2a-1）-a(ln2a) +2a=2aln2a- a(ln2a) = aln2a（2-ln2a）0，函数f(x)在（0，+）上没有零点，综上所述，函数f(x)有一个零点。若选择②00，函数f(x)在（0，2）上有一个零点，②当b<0时，设函数g（x）=-x-1，（x）=-1，x（-，0）时， (x)<0，x（0，+）时， (x)>0，函数g（x）在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，
= g（0）=1-0-1=0， g（x）0在R上恒成立，x+1，f(x)=（x-1）-a+b
（x-1）（x+1）-a+b=（1-a）+b-1，当x>时，（1-a）+b-1>0，取=1+
，显然f()>0，f(0)=（0-1）1-0+b=-1+b<0，函数f(x)在（0，1+）上有一个零点， f(ln2a)=2a（ln2a-1）-a(ln2a) +b2a（ln2a-1）-a(ln2a) +2a=2aln2a- a(ln2a) = aln2a（2-ln2a）<0， 函数f(x)在（-，0）上没有零点，综上所述，函数f(x)有一个零点。
『思考问题2』
【典例2】是运用导函数探导方程的根（或函数的零点）的问题，解答这类问题需要理解方程的根（或函数的零点）的定义，掌握求方程的根(或函数零点)的基本方法，注意函数图像与x轴的交点与方程的根（或函数的零点）之间的内在联系；
（2）求解方程的根（或函数的零点）的基本方法是：①运用函数导函数判断函数的单调性
并求出函数的极值（或最值）；②借助函数图像，根据方程的根（或函数的零点）与函数图像与X轴交点之间的关系建立含参数的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）得出结果。
[练习2]解答下列问题：
1、已知函数f(x)=x+ -(a-1)lnx-2，其中aR。
（1）若函数f(x)存在唯一极值点，且极值为0，求a的值；
（2）讨论函数f(x)在区间[1，]上零点的个数。（2021成都市高三二诊）。
（答案：（1）a=1或a=e；（2）当12、已知函数f(x)= -2a-2ax，其中a>0。
（1）当a=1时，求曲线y= f(x)在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f(x)有唯一零点，求a的值。（2020成都市高三零诊）
（答案：（1）曲线y= f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程为 2x+y+1=0；（2）当函数f(x)有唯一零点时，实数a=。）
3、设函数f(x)= +bx+c，曲线y= f(x)在点（，f（））处的切线与Y轴垂直。
（1）求b；
（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1。（2020全国高考新课标III）
（答案：（1）b=-；（2）若函数f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则函数f(x)所有零点的绝对值都不大于1。）
4、设函数f(x)=axlnx-x+ ，a 0（2019成都市高三零诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a＞0时，函数f(x)恰有两个零点，（＜），证明7+＞7a。
（答案：（1）当a>0时，函数f(x) 在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；当a<0时，函数f(x) 在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减；
提示：令t=(0成立。
【典例3】解答下列问题：
1、设函数f(x)=5cosx-cos5x。（2025全国高考新高考I）
（1）求函数f(x)在[0，]上的最大值；
（2）给定（0，），设a为实数，证明：存在y（a-，a+），使得cosy（3）若存在使得对任意的x，都有5cosx-cos(5x+)≤b，求b的最小值。
【解析】
【考点】①余弦三角函数定义与性质；②函数导函数定义与性质；③三角函数最值定义与性质；④函数求导公式，法则和基本方法；⑤三角函数和角公式及运用；⑥三角函数差角公式及运用；⑦求三角函数最值的基本方法；⑧运用函数导函数求函数最值的基本方法，
【解题思路】（1）根据余弦三角函数和函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则与基本方法，三角函数和角，差角公式和运用函数导函数求函数最值的基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)在[0，]上的最大值；（2）根据余弦三角函数和三角函数最值的性质，运用三角函数和角，差角公式和求三角函数最值的基本方法，结合问题条件就可证明存在y（a-，a+），使得cosy【详细解答】（1）（x）=-5sinx+5sin5x=5（sin5x-sinx）=5[sin（3x+2x）-sin(3x-2x）]
=10cos3xsin2x，令（x）=0解之得：x=，x（0，）时，（x）>0，x（，）时，（x）<0，函数f(x)在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，函数f(x)在[0，]上的最大值为f()=5-（-）=3；（2）证明：当（0，）时，Cosy的最大值≤=cosacos≤cos；当（，）时，不妨设a[0，2]，若x（a-，a+），Cosy的最大值≤-1≤cos，若a+≤x，（，），cos（a+）=10cos（3x+）sin（2x+），令（x）=0解之得：x=-或x=+（kZ），g(x+)=-g(x)，当k=0，1，2时，得到函数g(x)的极值分别为：4sin，4cos，6sin，6cos（-），6cos（+），函数g(x)的最小值为{4sin，4cos，6cos（-），6cos（+）}的最大值≥在6cos（-）≥3，当且仅当=0时等号成立，综上所述，g(x)≥3，若存在使得对任意的x，都有5cosx-cos(5x+)≤b，则b的最小值为3。
2、记函数f(x）的导函数为(x)，已知f(x)=+ax+10，(2)=0。
（1）求实数a的值；
（2）求函数f(x)在[-3，4]的值域（成都市高2021级高三零诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数的几何意义；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，由(2)=0得到关于a的方程，求解方程就可求出实数a的值；（2）由（1）得到函数f(x)的解析式，根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数求函数在闭区间是最值的基本方法求出函数f(x)在[-3，4]上的最值，从而就可求出数f(x)在[-3，4]上的值域。
【详细解答】（1）(x)= 3+a，(2)=12+a=0，a= -12，即实数a的值为-12；（2）由（1）知f(x)=-12x+10，(x)= 3-12=3（x+2)（x-2），令(x)=0解得：x=-2或x=2，自变量x，函数(x)， x -3 （-3，-2）-2 （-2，2） 2 （2，4） 4
函数f(x)的变化情况如表所 (x) + + 0 - 0 + +
示f(x) 在（-3，-2），（2， f(x)
4）上单调递增，在（-2，2）
上单调递减，f(-3)=-27+36+10=19，=f(-2)=-8+24+10=26，=f(2)=8
24+10=-6，f(4)=64-48+10=26，-6<19<26，函数f(x)在[-3，4]的值域为[-6，26]。
3、已知函数f(x)=（+a）ln(x+1)。（2023全国高考乙卷）
（1）当a=-1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；
（2）是否存在a，b，使得曲线y=f()关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由；
（3）若函数f(x)在（0，+）存在极值，求a的取值范围。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导函数的几何意义及运用；③求曲线在某点出切线方程的基本方法；④参数分类讨论原则和基本方法；⑤运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；⑥求解探索性问题的基本方法；⑦运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)在点x=1的导函数值，运用函数在某点导函数的几何意义和求曲线在某点出切线方程的基本方法就可求出当a=-1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；（2）设存在a，b，使得曲线y=f()关于直线x=b对称，根据解探索性问题的基本方法得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值；（3）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数求函数极值的基本方法，得到关于a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（1）当a=-1时， （x）=-ln(x+1)+（-1），（1）
=-ln2+0=-ln2，f(1)=（1-1）ln(1+1)=0，曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程为：
y=-xln2+ln2；（2）设存在a，b，使得曲线y=f()关于直线x=b对称，函数f()=（x+a）ln(+1)，定义域为（-，-1）（0，+）关于直线x=-对称，b=-，f(-+m)
=f(--m)（m>），当m=时，f(1)=f(-2)，（1+a）ln(1+1)=（-2+a）ln(-+1)，（1+a）ln2=-（-2+a）ln2，a=，即存在a=，b=-，使得曲线y=f()关于直线x=b对称；（3）
（x）=-ln(x+1)+（+a），函数f(x)在（0，+）存在极值，函数（x）在在（0，+）存在变号的零点，（x）=-ln(x+1)+（+a）=0，-（x+1）
Ln(x+1)+(x+a)=0，设g(x)=a+x-(x+1)ln(x+1)，g(x)=a+x-(x+1)ln(x+1)>g(x)=a
+x-(x+1）[(x+1)-]=（a-）+，由（a-）+=0解得：x=，
g()>（a-）+=0，04、已知函数f(x)=ln +ax+b 。
（1）证明：当0（2）已知函数f(x)=cosax-ln(1-)，若x=0是f(x)的极大值点，求a的取值范围（2023全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数证明不等式的基本方法；③函数极值定义与性质；④参数分类讨论原则和基本方法；⑤运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）分别构造函数g(x)=-x+sinx，h(x)=x-sinx，根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件分别求出函数g(x)，h(x)的导函数（x），（x），运用函数导函数证明不等式的基本方法，分别证明g(x)>0，h(x)>0在（0，1）上恒成立，就可证明结论；（2）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数求函数极值的基本方法和函数极值的性质，得到关于a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（1）构造函数g(x)=-x+sinx，h(x)=x-sinx，对函数g(x)， （x）=2x-1+cosx，（x）=2-sinx>0在（0，1）上恒成立，函数（x）在（0，1）上单调递增，（x）>（0）=0-1+1=0在（0，1）上恒成立，函数g(x)在（0，1）上单调递增，g(x)>g(0)=0-0+0=0在（0，1）上恒成立，当00在（0，1）上恒成立，函数h(x)在（0，1）上单调递增，h(x)>h(0)=0-0=0在（0，1）上恒成立，当0=-cosax+，（0）=-+2，（x）=sinax
+=sinax+，①当-+2>0，
即-0，令t=min(1，），x（0，t）时，（x）>0，(x)在（0，t）上单调递增，(x)>(0)=-+2>0，函数（x）在（0，t）上
单调递增，（x）>（0）=0在（0，t）上恒成立，（x）<（0）=0在（-t，0）上恒成立，x=0是f(x)的极大值点；；②当-+2<0，即a<-或a>时，（0）=-+2<0，对a>，令t=min(1，），x（0，t）时，（x）>0，(x)在（0，t）上单调递增，(x)>=（-cosax+)=+，存在（0，t），使（）=0，x（0，）时，(x)<0，函数（x）在（0，）上单调递减，（x）<（0）=0在（0，）上恒成立，函数f(x)在（0，）上单调递减，函数（x）是奇函数，x（-，0）时，（x）>（0）=0在（-，0）上恒成立，函数f(x)在（-，0）上单调递增，x=0不是f(x)的极大值点；f(-x)=cos(-ax)-ln(1-)=cosax-ln
)=f(x)，函数f(x)是偶函数，同理可得，当a<-时，x=0不是f(x)的极大值点，③
当-+2=0，即a=-或a=时，（0）=-+2=0，对a=，（x）=-sin>x
+，x（0，1）时，（x）>-2x+=2x（-1）>0在（0，1）上恒成立，函数f(x)在（0，1）上单调递增，x=0不是f(x)的极大值点，由函数f(x)是偶函数，同理可得，当a=-时，x=0不是f(x)的极大值点，综上所述，若x=0是f(x)的极大值点，则a的取值范围是（-，）。
5、已知函数f(x)=-asinx，其中aR。
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（，）处的切线方程；
（2）若x=0是函数f(x)的极小值点，求a的取值范围。（成都市高2020级高三三珍）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②曲线y=f(x)在某点处的切线方程的基本方法；③函数极值定义与性质；④运用函数导函数求函数极值的基本方法；⑤参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)导函数（x），运求曲线y=f(x)在某点处的切线方程的基本方法，就可求出曲线y=f(x)在点（，）处的切线方程；（2）函数f(x)=-asinx=（x-asinx），设函数g(x)=x-asinx，根据求导公式，法则与基本方法求出函数g(x)导函数（x），运用参数分类讨论的原则和函数导函数求函数极值的基本方法，就可求出a的取值范围。
【详细解答】（1）当a=1时，f(x)=-sinx，（x）=4-3sinx-cosx，f()=-0=，点（，）在曲线y=f(x)上，（）=4-0+=5，曲
线y=f(x)在点（，）处的切线方程为y-=5（x-），即y=5x-4；（2）
f(x)=-asinx=（x-asinx），设函数g(x)=x-asinx，（x）=1-acosx，①当a≤1时，对任意的x（-，），cosx（0，1），（x）>0在（-，）上恒成立，函数g(x)在（-，）上单调递增，g(0)=0-0=0，x（-，0）时，g(x)<0，x（0，）时，g(x)>0，f(x)=g(x)，（x）=3g(x)+（x），x（-，0）时，（x）<0，x（0，）时，（x）>0，函数f(x)在（-，0）上单调递减，在（0，）上单调递增，x=0是函数f(x)的极小值点；②当a>1时，设x（0，），存在（0，），使（）=0，x（0，）时，（）<0，函数g（x）在（0，）上单调递减，g（x）<0在（0，）上恒成立，x（0，）时，（x）=3g(x)+（x）<0，函数f（x）在在（0，）上单调递减，x=0不是函数f(x)的极小值点， 综上所述，若x=0是函数f(x)的极小值点，则实数a的取值范围是（-，1]。
6、设函数f(x)= -++（a-1）x-1，其中aR，若函数f(x)的图像在x=0处的切线与x轴平行。
（1）求a的值；
（2）求函数f(x)的单调区间（成都市2020级高三零诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数的几何意义；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数在某点导数的几何意义，得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）由（1）得到函数f(x)的解析式，根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，就可求出函数f(x)的单调区间。
【详细解答】（1）(x)= -+2x+a-1，函数f(x)的图像在x=0处的切线与X轴平行，(0)= -0+0+a-1= a-1=0，a=1；（2）由（1）知f(x)= -+-1，(x)= -+2x=x（-x+22），令(x)=0解得：x=0或x=2，自 x （-，0） 0 （0，2） 2 （2，+）
变量x，函数(x)，f(x)的变化情况如表所 (x) - 0 + 0 -
示，函数f(x) 在（-，0），（2，+） f(x)
上单调递减，在（0，2）上单调递增。
7、已知函数f(x)= +cosx。
（1）证明：f(x) 1；
（2）设函数g(x)=（sinx+cosx-2x-2），F（x）=a f(x)+ g(x)，其中aR，若函数F（x）存在非负的极小值，求a的取值范围。（成都市2020级高三零诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数单调性定义与性质；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数单调性的性质和由函数导函数判断函数单调性的基本方法就可得出函数的单调性；（2）根据运用函数导函数证明不等式的基本方法，就可证明f(2a)+f(2a
)>4（+）。
【详细解答】（1）(x)=x - sixx，设函数u（x）= x - sixx， (x)=1-cosx0在R上恒成立， 函数u(x)在R上单调递增， u(0)=0，当x （-，0）时，函数u（x）=(x)<0，当x（0，+）时，函数u（x）=(x)>0，函数f(x)在（-，0）上单调递减,，在（0，+）上单调递增，= f(0)=0+1=1， f(x) 1；（2）③当a<0时， F（x）=a f(x)+ g(x