h第一部分 甘肃培优专题强训
培优专题一 平面直角坐标系中的面积问题
[省卷： 5年6考；兰州：4年3考][“★”表示试题有解析，见P55]
类型1一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算(省卷：5年6考；兰州：4年3考)
当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，可直接使用三角形的面积公式S＝AB·h，其中AB是△ABC在坐标轴上或平行于坐标轴的边，h为AB边上的高
S△ABC＝(xB－xA)·｜yC｜ S△ABC＝(yA－yB)·｜xC｜ S△ABC＝(xB－xA)·(yC－yA) S△ABC＝yA·(xC－xA)
1.如图，直线AB交反比例函数y＝(x＞0)的图象于A，B两点，交x轴于点C，B为线段AC的中点，则△AOC的面积为( )
第1题图
A.6 B.8
C.12 D.18
2.[2025武威凉州区三模]如图，正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝(k≠0)的图象相交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，若△ABC的面积为3，则k的值为( )
第2题图
A.－ B.－2
C.－3 D.－6
3.★如图，一次函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点A，AB⊥x轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且∠ACB＝∠OAB，△OAB的面积为4，则点C的坐标为( )
第3题图
A.(－8，0) B.(－6，0)
C.(－，0) D.(－，0)
4.★如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为(3，0)，顶点B在y轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上，若抛物线y＝－x2－5x＋c经过点B，C，则菱形ABCD的面积为( )
第4题图
A.15 B.20
C.25 D.30
5.★如图，直线l1：y＝kx＋1交y轴于点A，交反比例函数y＝(x＜0)的图象于点B.将直线l1向下平移4个单位长度得直线l2，直线l2交反比例函数y＝(x＜0)的图象于点C，连接AC，BC，若△ABC的面积为8，则k的值为( )
第5题图
A.－2 B.－1
C.－ D.－
6.★如图，直线y＝m交抛物线y＝a(x－h)2＋k(a＜0)于A，B两点，P为抛物线的顶点，若△PAB为直角三角形，且面积为，则a的值为( )
第6题图
A.－ B.－
C.－ D.－
类型2三边都不在坐标轴上或都不平行于坐标轴的三角形面积的计算
当三角形的三边都不在坐标轴上或都不平行于坐标轴时，可将所求面积通过作辅助线拆分成一边与坐标轴平行或重合的三角形或四边形，再进行计算即可
分割法 补形法 铅垂法
S△ABC＝S△ABD ＋S△BCD S△ABC＝S△ABD ＋S△BDC S△ABC＝S△AFC－ S△BEC－S四边形ABEF S△ABC＝S△AEC－ S△ABE－S△BEC S△ABC＝ah，即三角形面积＝(铅垂高度×水平宽度)÷2
7.[2025兰州城关区一模改编]如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x＋b的图象交于点A(1，4)，B(－4，n)，则△OAB的面积为( )
第7题图
A.2 B.3
C.6 D.
8.★如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝(x＞0)的图象交于点A(，2)，B是反比例函数图象上一点，连接OB，AB，若△AOB的面积为2，则点B的坐标为( )
第8题图
A.(3，2) B.(2，2)
C.(1，2) D.(2，3)
9.★[2025绥化]如图，反比例函数y＝经过A，C两点，过点A作AB⊥y轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OA，OC，AC.若S△ACO＝4，CD∶OB＝1∶3，则k的值是( )
第9题图
A.－12 B.－9
C.－6 D.－3
培优专题二 遇到中点如何添加辅助线
[省卷：5年4考；兰州：2022.28][“★”表示试题有解析，见P55－57]
一题多解 ★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为( )
例题图
A. B.
C. D.
题干①：∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4 AB＝5
题干②：CD⊥AB，AC＝3，BC＝4，AB＝5 CD＝(等面积法) AD＝，BD＝
例题解图
题干③：E为BC的中点 CE＝BE
E为BC的中点 构造中位线
作法：如解图，取CD的中点M，连接EM，则可得DM的长为
由中位线定理 EM∥BD，EM＝BD＝
由EM∥BD △EMF∽△ADF ＝ DF的长
更多解法
解法一： 中位线＋相似 解法二： 倍长中线＋相似 解法三： 锐角三角函数 解法四： 建立平面直角坐标系
如解图，取BD的中点M，连接EM 如解图，延长AE至点M，使ME＝AE，连接CM，BM 如解图，作FM⊥AC于点M 如解图，以点C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴建立平面直角坐标系
1.★[2025武威凉州区一模]如图，AB为☉O的直径，弦CD交OA于点M，且∠DMB＝45°，E为CD的中点，若MC＝2，ME＝1，则☉O的半径为( )
第1题图
A.3 B.
C.3 D.4
2.★[2025平凉崆峒区三模]如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为( )
第2题图
A.18 B.9
C.9 D.6
3.★如图，已知正方形ABCD边长为4，E为AD的中点，连接CE，取CE的中点F，过点F作CE的垂线，交AB于点G，则AG的长为( )
第3题图
A.3 B.2
C. D.2
4.★[2025凉山州]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，若AC＝12，BD＝16，则FG的长为 .
第4题图
5.★[2025兰州城关区二模]如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝2BE，BF＝2CF，连接EC，FD，M，N分别是EC，FD的中点，连接MN，若AB＝6，BC＝9，则MN的长为 .
第5题图
6.如图，△ABC为等边三角形，D为AB延长线上一点，连接CD，过点A作AE∥CD交CB的延长线于点E，在AC左侧作∠CAF＝∠D，AF交BC于点G.若F为CD的中点，连接EF，用等式写出线段BE，BD，AC之间的关系，并说明理由.
第6题图
培优专题三 遇到角平分线如何添加辅助线
[省卷：2023.25][“★”表示试题有解析，见P57－58]
一题多解 ★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，BD⊥AD，若AB＝5，AC＝3，则AD的长为( )
例题图
A. B.
C. D.2
题干①：∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3 BC＝4
题干②：AD平分∠CAB ∠CAE＝∠BAE
题干③：∠CAE＝∠BAE，∠ACB＝90°，BD⊥AD △AEC∽△ABD
例题解图
∠ACB＝90°，AD平分∠CAB 向∠BAC另一边作垂线(角平分线的性质)
作法：如解图，过点E作EF⊥AB于点F
向∠BAC另一边作垂线 Rt△ACE≌Rt△AFE AF，BF的长
设 CE＝x则EF＝x，BE＝4－x 在Rt△EFB中，根据勾股定理求x AE的长
由△AEF∽△ABD ＝ AD的长
更多解法
解法一： 全等＋等面积 解法二： 射影定理 解法三： 倍半角＋三角函数 解法四： 四点共圆
如解图，延长AC，BD交于点F 如解图，作DH⊥AB，垂足为H，交BC于点F 如解图，延长CA，截取AM＝AB，连接BM 如解图，由∠ACB＝∠ADB＝90°，知A，C，D，B四点共圆，取AB中点O，连接OD，交BC于点H
1.★如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，BD于点M，N.若AM＝2，则线段BN的长为( )
第1题图
A. B.
C.1 D.
2.★如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别是8，10，14，已知点O是△ABC的内心，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝( )
第2题图
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.4∶5∶7 D.2∶3∶4
3.一题多解★如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D.若AB＝3，BC＝6，则的值为( )
第3题图
A.1 B.2
C.3 D.4
4.★如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则cos∠CBD的值为 .
第4题图
5.一题多解★如图，四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，AB＝9，AD＝4，若∠ACB＝2∠B＝2∠ACD，则BC的长为 .
第5题图
6.如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，∠BAC的平分线交☉O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD.
(1)求证：DE是☉O的切线；(2)若AB＝9，BD＝3，求AC的长.
第6题图
培优专题四 遇到特殊角、特殊线段如何添加辅助线
[省卷：5年3考；兰州：4年2考][“★”表示试题有解析，见P58－59]
一题多解 ★如图，在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，F为BD上一点，将线段BF绕点B逆时针旋转60°得到线段BG，连接FG.当GF的延长线过点C时，连接DG，则DG的长为( )
例题图
A. B.
C.2 D.
题干①：△ABC是等边三角形，AB＝6，BD⊥AC ∠DBC＝∠DBA＝30°，CD＝AD＝3，∠BDC＝∠BDA＝90°
题干②：线段BF绕点B逆时针旋转60°得到线段BG BG＝BF，∠FBG＝60° △BGF是等边三角形 ∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF ∠ACF＝∠BCF＝30°＝∠DBC BF＝CF，GF＝CF
∠ACF＝30°，BD⊥AC 作垂线构造直角三角形
例题解图
作法：如解图，过点D作DH⊥GC于点H
作垂线构造直角三角形 DH，CH，FH，GH的长
DG的长(勾股定理)
更多解法
解法一：直角三角形 解法二：垂直平分线 解法三：轴对称全等转化 解法四：四点共圆
如解图，作GH⊥BD于点H 如解图，连接AG，记AB与CG交于点O 如解图，取BC的中点H，连接GH 如解图，连接AG，由 ∠BGC＝∠BAC＝60°， 知点B，C，A，G四点共圆
1.★如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝4，则BC的长为 .
第1题图
2.★如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＝75°，AC＝8，则△ABC的面积为 .
第2题图
3.★如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，∠B＝90°，D为BC边上一点，连接AD.若∠BAD＝15°，AC＝2，则BD的长为 .
第3题图
4.★如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，BE＝BH，∠EBH＝90°，连接CF，CH.若BE＝3，则CF的长为 .
第4题图
5.如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的一点(不与A，D重合)，连接CE，点B关于直线CE的对称点是点F，连接CF，DF，CE与FD的延长线交于点P，连接BF，与直线CE交于点Q.
(1)求∠CPF的度数；(2)求证：PF＋PD＝PC.
第5题图
培优专题五 全等、相似三角形中的常考模型
[省卷：5年4考；兰州：4年3考][“★”表示试题有解析，见P60－62]
模型1一线三等角模型(省卷：5年2考)
类型 同侧一线三等角 异侧一线三等角
条件 点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3 点P在线段AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3
图示 锐角一线 一线三垂直 钝角 三等角 一线三等角 锐角一线 一线三 钝角 三等角 垂直 一线三等 角
结论 △APC∽△BDP(若AP＝BD或AC＝BP或CP＝PD，则△APC≌△BDP)
构造 条件：直角顶点在直线上 辅助线：作垂线 结论：得全等或相似三角形
口诀 找角，定线，构全等、相似
一题多解 ★如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，BD＝2，CD＝3，则AD的长为( )
例1题图
A.2 B.3
C.5 D.6
题干①：AD⊥BC ∠ADB＝∠ADC＝90°
题干②：∠BAC＝45° 可以构造等腰直角三角形
题干③：BD＝2，CD＝3 BC＝5
例1题解图
辅助线①：∠BAC＝45° 构造等腰直角三角形ABE
辅助线②：找角：∠ADC＝90°，∠ABE＝90°；定线：BC 符合“一线三等角”模型，构造全等三角形
(思考作辅助线缺什么：根据条件发现存在两个相等的直角及一条定边，因此想到构造“一线三等角”，但是还缺一个角，所以想到构造一个垂直于定边的角)
作法：如解图，过点B作BE⊥AB交AC的延长线于点E，过点E作BC的垂线交BC的延长线于点F
构造等腰直角三角形ABE AB＝BE
构造三角形全等(△ABD≌△BEF) EF＝BD；EF⊥BC，AD⊥CD △ACD∽△ECF
设AD＝x，则BF＝x，CF＝x－5 AD的长(相似比)
更多解法
解法一：等腰直角三角形＋相似一线三等角 解法二：等腰直角三角形＋相似一线三等角 解法三：矩形＋全等一线三等角 解法四：等腰直角三角形＋等面积
如解图，分别在DA上 截取DE＝DB＝2，DF＝DC＝3 如解图，过点B作BE⊥BC，延长BC至点F，连接AE，AF，过点A作AH⊥EB于点H 如解图，将线段AB 绕点A逆时针旋转90°至AF，连接CF，过点F分别作AD，BC的垂线，垂足为G，E 如解图，过点B作BF⊥AC，垂足为F，交AD于点E
1.★如图，在边长为4的等边△ABC中，点D是AB边上一个动点，沿过点D的直线折叠∠A，使点A落在BC边上的点F处，折痕交AC于点E，当BF＝1，AE＝时，则AD的长是 .
第1题图
2.★如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G，则的值为 .
第2题图
模型2手拉手模型(省卷：5年2考；兰州：4年3考)
类型 全等型 相似型
条件 △OAB和△OCD是顶角相等的等腰三角形，将△OCD绕点O旋转一定角度后，连接AC，BD △ABC和△ADE是顶角相等的三角形，且＝，将△ADE绕点A旋转一定角度后，连接BD，CE
图示
结论 △AOC≌△BOD，AC＝BD △ADB∽△AEC
构造 条件：共顶点，等顶角，等线段 辅助线：左手拉左手，右手拉右手 结论：得全等三角形 条件：共顶点，等顶角，成比例 辅助线：左手拉左手，右手拉右手 结论：得相似三角形
口诀 双等腰，共顶角，绕共顶点旋转得全等 非等腰，共顶角，绕共顶点旋转得相似
【温馨提示】基础图形不一定是三角形，也可以是四边形
一题多解 ★如图，E是正方形ABCD边BC上一点，在△AEF中，AE＝EF，∠AEF＝90°，AF交CD于点G，则∠GCF的度数为( )
例2题图
A.15° B.20°
C.45° D.60°
例2题解图
题干①：正方形ABCD 四个直角，四条边相等
题干②：在△AEF中，AE＝EF，∠AEF＝90° △AEF是等腰直角三角形
辅助线①：正方形ABCD 连接对角线AC
辅助线②：共顶点：点E；等线段：AE＝EF 符合“手拉手”模型，构造全等三角形
(思考作辅助线缺什么：根据条件发现存在共顶点：点E；等线段：AE＝EF，因此想到构造“手拉手”模型，但是还缺等顶角，所以想到构造等腰直角三角形)
作法：如解图，连接AC，过点E作BC的垂线，交AC于点M
连接对角线AC，过点E作BC的垂线，交AC于点M ∠ACB＝45°，△MEC是等腰直角三角形
构造全等三角形(△AEM≌△FEC) ∠ECF＝∠EMA ∠GCF的度数
更多解法
解法一： 一线三垂直(最优) 解法二： 截长法 解法三： 手拉手相似模型 解法四： 定弦定角
如解图，过点F作BC的延长线的垂线FM 如解图，在AB上截取AM＝EC，连接EM 如解图，连接AC 如解图，连接AC，点A，E，C，F四点共圆
3.★如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，若AD＝5，BD＝12，则DE的长为 .
第3题图
4.★如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则的值为 .
第4题图
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.DE＝5，AD＝9，则BE的长为( )
第1题图
A.6 B.5
C.4.5 D.4
2.如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠DEC＝30°，连接AD，BE，若AD＝4，则线段BE的长是( )
第2题图
A. B.3
C.4 D.5
3.★如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为 .
第3题图
4.★如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为BC上一点，CE＝2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则DF的长为 .
第4题图
5.[2022兰州28题]综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点.试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明.
【思考尝试】(1)同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题.请在图1中补全图形，解答老师提出的问题；
【实践探究】(2)希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】(3)突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP.知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值.当AB＝4时，请你求出△ADP周长的最小值.
图1 图2 图3
第5题图
培优专题六 四边形中的常考模型
[省卷：2021.27][“★”表示试题有解析，见P62－65]
模型1十字模型(省卷：2021.27)
类型 两边过顶点型 一边过顶点型(构造) 不过顶点型(构造)
条件 四边形ABCD，AE⊥BF 四边形ABCD，EF⊥BG 四边形ABCD，EG⊥FH
图示
结论 正方形：①△ABF≌△DAE ②BF＝AE 矩形：①△ABF∽△DAE ②＝ 正方形：①△CBG≌△HEF ②BG＝EF 矩形：①△CBG∽△HEF ②＝ 正方形：①△IEG≌△KFH ②EG＝FH 矩形：①△IEG∽△KHF ②＝
拓展 (结论：△BCD∽△CAG)
【温馨提示】正方形内“十字”模型，垂直一定相等，相等不一定垂直
一题多解 ★如图，在正方形ABCD中，E是AB边上的中点，连接CE，过点B作BF⊥CE交AD于点F，交CE于点G，连接DG，若AB＝2，则DG的长为( )
例1题图
A.1 B.2
C. D.
题干①：正方形ABCD 四个直角，四条边相等
例1题解图
题干②：E是AB边上的中点，AB＝2 AE＝BE＝1
题干③：BF⊥CE BF＝CE
辅助线：BF⊥CE 符合“十字”模型，构造全等三角形
作法：如解图，过点D作DM⊥CG，垂足为M，延长DM交BC于点N，连接GN
“十字”模型 △DCN≌△CBE
DM⊥CG，N是BC的中点 DG＝DC DG的长
更多解法
解法一： 全等＋三角函数 解法二： 平行＋中点 解法三： 四点共圆 解法四： 建立平面直角坐标系
如解图，过点D作DM⊥CG，垂足为M 如解图，延长CD，BF交于点M 如解图，∠FDC＝∠FGC＝90°，则点D，F，G，C四点在以FC为直径的圆上 如解图，以点A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系
1.★如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点P，Q分别是边AD，BC上的点，将顶点A沿PQ折叠至DC边上的点E，若DE＝5，则折痕PQ的长为( )
第1题图
A. B.13
C.14 D.16
2.★如图，在Rt△ACB中，AC＝4，BC＝3，点D为AC中点，连接BD，作CE⊥BD交AB于点E，垂足为F，则CE的长为( )
第2题图
A. B.
C. D.
模型2对角互补模型
类型 90°角的对角互补 60°，120°角的对角互补
条件 ∠ABC＝∠ADC＝90° ∠ABC＝120°，∠ADC＝60°
图示
构造 方法一 作垂线： 作DE⊥BC， DF⊥BA 方法二 作等角： 作∠CDE＝∠ADB 方法一 作垂线： 作 DE⊥BC，DF⊥BA 方法二 作等角： 作∠CDE＝∠ADB
结论 △DAF∽△DCE (若AD＝CD或BD平分∠ABC，则△DAF≌△DCE，AB＋BC＝BD) △DAB∽△DCE (若AD＝CD或BD平分∠ABC，则△DAB≌△DCE，AB＋BC＝BD) △DAF∽△DCE (若AD＝CD或BD平分∠ABC，则△DAF≌△DCE，AB＋BC＝BD) △DAB∽△DCE (若AD＝CD或BD平分∠ABC，则△DAB≌△DCE，AB＋BC＝BD)
口诀 对角互补，角平分线，见了作垂线或等角，得相似或全等
一题多解 ★一副三角板按如图所示方式摆放，其中∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝CB，∠CAD＝60°，连接BD交AC于点O，若AC＝6，则BD的长为 .
例2题图
题干①：∠ABC＝90°，AB＝CB △ABC是等腰直角三角形
例2题解图
题干②：∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，AC＝6 △ADC是直角三角形，AD，CD的长
辅助线：∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝CB 符合“对角互补”模型，构造全等三角形
作法：如解图，过点B作 BE⊥DA交DA的延长线于点 E，过点B作BF⊥DC于点F
“对角互补”模型 △ABE≌△CBF 线段关系
△ABC是等腰直角三角形，△ADC是直角三角形 BD的长
更多解法
解法一：对角互补模型 解法二：四点共圆 解法三：四点共圆
如解图，作∠CBE＝∠ABD 如解图，过点A作AH⊥BD于点H，点A，B，C，D四点共圆 如解图，过点C作CG⊥BD于点G，点A，B，C，D四点共圆
3.★如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积是64，则AC的长为 .
第3题图
4.★如图，在等边△ABC中，点D为BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，且∠EDF＝120°.若∠BDE＝45°，DF＝6，则BE的长为 .
第4题图
模型3半角模型
类型 顶角120°的等腰三角形含半角 等腰直角三角形含半角 正方形含半角
条件 ∠BDC＝120° ∠BAC＝90° 四边形ABCD是正方形
图示
构造 条件：共端点的等线段，共顶点的倍半角 辅助线：将半角两边的三角形中的一个旋转到另一边，使相等的边重合 结论：得全等三角形，线段关系
结论 △DEF≌△DGF， EF＝FC＋BE △AEF≌△AED， EF＝ED，FC⊥BC △AGE≌△AFE， EF＝DF＋BE
口诀 共顶角，等邻边，见了半角作旋转
【温馨提示】当作辅助线时出现旋转，证明过程中需要说明三点共线
一题多解 ★如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系为 .
例3题图
题干①：四边形ABCD是正方形 四个直角，四条边相等
题干②：∠EAF＝45° ∠BAE＋∠DAF＝45°
例3题解图
辅助线：∠BAD＝90°，∠EAF＝45° 符合“半角”模型，构造全等三角形
(思考作辅助线缺什么：根据条件发现共端点的等线段AB，AD；共顶点的倍半角：∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，因此想到构造“半角”模型，所以可以将半角两边的三角形中的一个旋转到另一边，使等边重合)
作法：如解图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG
“半角”模型 △AGE≌△AFE 线段数量关系
更多解法
解法一：十字模型 解法二：手拉手模型 解法三：对称
如解图，作FG⊥AE交AB于点G，FH⊥AB于点H 如解图，连接AC，BD，BD分别交AE和AF于点G和H 如解图，作点B关于AE的对称点G，连接AG
5.★如图，△ABC是边长为a的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点E，交AC于点F，连接EF，则△AEF的周长为 .
第5题图
6.★如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E都在BC上，∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝5，则DE的长为 .
第6题图
1.★如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，BD⊥EF，交点为O，交AD于点E，交BC于点F，则EF的长为( )
第1题图
A. B.
C. D.
2.★如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是边CD上一点，连接OE，过点O作OF⊥OE，交AD于点F.若四边形EOFD的面积是1，则AB的长为( )
第2题图
A. B.
C.2 D.4
3.★如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝45°，分别连接EF，BD，BD与AF，AE分别相交于点M，N，则BN，MN，DM之间的数量关系为 .
第3题图
4.★两个等腰直角三角板按如图所示放置，点E在AC上，G，H分别为边AB，BC上的点，若GE＝2EH，则的值为 .
第4题图
5.小智和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，若EG⊥FH，则＝1.”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
方案一：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；
方案二：过点H作HM⊥BC交BC于点M，过点E作EN⊥CD交CD于点N.
(1)对小智遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明(如图1)；
(2)如果把条件中的“正方形”改为“矩形”，(如图2)，并设AB＝3，BC＝5，求的值.
图1 图2
第5题图
6.(1)如图1，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.若∠A＝90°，用等式写出线段BE，CF，EF之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，用等式写出线段BE，CF，EF之间的数量关系，并说明理由.
图1 图2
第6题图
培优专题七 圆中最值及隐形圆问题
[省卷：2025.27][“★”表示试题有解析，见P65－67]
类型1点圆最值(省卷：2025.27)
条件 ☉O上一动点P，☉O的半径为r，定点A，求AP的最值
类型 点A在☉O内 点A在☉O上 点A在☉O外
图示
结论 连接 AO，直线 AO与☉O交于点P1，P2，当A，O，P三点共线时，AP取得最值，最小值为AP1＝r－OA，最大值为AP2＝r＋OA 当点P与点A重合时，AP取得最小值，最小值为0；当AP为☉O的直径时，AP取得最大值，最大值为AP2＝2r 连接AO并延长，与☉O交于点P1，P2，当A，O，P三点共线时，AP取得最值，最小值为AP1＝OA－r，最大值为AP2＝OA＋r
★如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，以BE为直径作☉O，点P为☉O上一动点，连接DP，则DP的最大值为( )
例1题图
A.4 B.8
C.2 D.2＋2
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：圆外一定点D 特征2：圆上一动点P 特征3：求圆外一点到圆上点距离的最大值 连接DO并延长交☉O于点P'，DP的最大值为线段DP'的长
1.★如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° ，AC＝6，BC＝2，半径为1的☉O在Rt△ABC内平移(☉O可以与该三角形的边相切)，则点A到☉O上的点的距离的最大值为( )
第1题图
A.2 B.2－1
C.2＋1 D.1
2.★如图，在平面直角坐标系中，A(0，5)，B(5，0)，以点B为圆心，3为半径的☉B上有一动点P，连接AP，若C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为 .
第2题图
类型2线圆最值
条件 ☉O上一动点P，☉O的半径为r，直线l，求点P到直线l的距离的最值
类型 直线l与☉O相离 直线l与☉O相切 直线l与☉O相交
图示
结论 过点O作直线l的垂线，交☉O于点P1，P2，垂足为D，点P到直线l的距离的最小值为P2D＝OD－r，最大值为P1D＝OD＋r 过点O作直线l的垂线，交☉O于点P1，P2，垂足为D，当点D与点P重合时，点P到直线l的距离取得最小值，最小值为0； 当PD为直径时，点P到直线l的距离取得最大值，最大值为P1D＝2r 过点O作直线l的垂线，交☉O于点P1，P2，垂足为D，点P到直线l的距离的最小值为P2D＝r－OD，最大值为P1D＝r＋OD
★如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，E是边AB的中点，以点A为圆心，AE长为半径作☉A，P是☉A上一动点，连接BP，CP.若 ABCD的面积为10，则△BPC面积的最小值为 .
例2题图
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：定线段：BC，圆上动点：点 P 特征2：间接求动点到定线段距离的最小值 过点A作AF⊥BC交☉A于点G，交BC于点F，动点P到定线段BC距离的最小值为线段GF的长
3.★如图，点O为矩形ABCD的中心，AB＝8，BC＝6，☉B的半径为2，P是☉B上一个动点，则△AOP面积的最小值为
.
第3题图
4.★如图，AB是☉O的弦，C是☉O上的一个动点，连接AC，BC，∠C＝60°，☉O的半径为2，则△ABC面积的最大值是 .
第4题图
类型3定点定长作隐形圆
类型 一点作圆 三点作圆
条件 平面内，O为定点，A为动点，且OA长度固定 OA＝OB＝OC
图示
结论 点A的运动轨迹是以点O为圆心，OA长为半径的圆 点A，B，C均在☉O上
作图 原理 圆的定义
拓展：定点定长作圆在图形变化中的应用
类型 翻折生圆 旋转生圆
条件 在矩形ABCD中，E是AB边上的定点，F是BC边上一点，将△BEF沿EF折叠得到△B'EF 将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB'C'
图示
结论 点B'的运动轨迹是以点E为圆心，BE长为半径的一段圆弧(如图中的虚线圆弧) 点B(C)的运动轨迹是以点A为圆心，AB(AC)长为半径的一段圆弧(如图中的虚线圆弧)
★如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°之后得到△A'BC'.若BC＝6，则点C运动的路径长为 .
例3题图
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：存在一定点和一动点(定点：点B，动点：点C) 特征2：存在定长(BC＝6 ) 以点B为圆心，BC长为半径作圆，点C的运动路径为
★已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，则∠BDC的度数为 .
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：存在三条线段相等(AB＝AC＝AD) 特征2：相等的线段共用一个顶点(点A) 以一种情况为例： 以点A为圆心，AB (或AC或AD )长为半径作圆，点B，C，D在☉A上
5.★[2025自贡]如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED，∠E＝90°，点F在DE上，连接BF.若2BE＝3DF，则BF的最小值为( )
第5题图
A.6 B.6－
C.3 D.4－2
6.★如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为CD边上靠近点C的三等分点，F为BC上一动点，将△ECF沿EF折叠，点C的对应点为C'，连接BC'，则BC'＋EC'的最小值为( )
第6题图
A. B.2
C.3 D.4
类型4定弦定角作隐形圆(省卷：2025.27)
条件 在△ABC中，AB为定长，∠C为定角
类型 ∠C＜90° ∠C＝90° ∠C＞90°
图示
结论 ①∠C1＝∠C2＝∠AOB ②点C的运动轨迹为优弧(不与点A，B重合) ①AB为☉O的直径 ②点C的运动轨迹为☉O(不与点A，B重合) ①∠C1＋∠AOB＝∠C2＋ ∠AOB＝180° ②点C的运动轨迹为劣 弧(不与点A，B重合)
解题关键 考题常以30°，45°，60°，90°，120°来考，关键是画出等腰三角形
推论 构成等腰三角形(AC＝BC)，即C为所在弧的中点时，点C到AB的距离最大，且此时△ABC的面积最大
作图原理 圆周角定理及其推论
★如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部一点，且AE⊥BE，连接CE，则CE的最小值为 .
例5题图
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：存在定边(线段AB) 特征2：存在定边所对的角为定角(∠AEB＝90°) 以AB为直径作☉O，点A，B，E在☉O上
★如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为△ABC内的一个动点，且∠PBC＝∠PCA，则△PBC面积的最大值为( )
例6题图
A. B.
C.3 D.
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：存在定边(线段BC) 特征2：存在定边所对的角为定角(∠BPC) 点B，C，P在☉O上
7.★如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为( )
第7题图
A. B.
C.＋1 D.－1
8.★[2025长春节选]如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.点E在线段OA上，连接BE，作CF⊥BE于点F，交OB于点P，则点A与点F之间的距离的最小值为 .
第8题图
类型5四点共圆
类型 对角互补型 同侧等角型
条件 在四边形ABCD中，∠D＋∠B＝180° 点C，D在AB的同侧，且∠C＝∠D
图示
结论 利用圆内接四边形的对角互补，可得A，B，C，D四点共圆 利用同弧所对的圆周角相等，可得A，B，C，D四点共圆
★如图，正方形ABCD的边长为6，对角线AC，BD交于点O，E是正方形外一点，且BE⊥CE，连接OE.若CE＝BC，则OE的长为( )
例7题图
A.4＋ B.3
C.4－2 D.
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：正方形ABCD中，∠BOC＝90°，∠BEC＝90° 特征2：∠BOC＋∠BEC＝180° 以BC为直径作圆，则B，O，C，E四点共圆
9.★如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC的中点，∠CAD＝∠CBE，则AE的长为( )
第9题图
A.4 B.3
C.2 D.
10.★如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，点P是BA延长线上的一个动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值为( )
第10题图
A. B.
C.3 D.
培优专题八 最值问题
[省卷：必考；兰州：4年2考][“★”表示试题有解析，见P67－71]
类型1两点之间线段最短(含将军饮马)(省卷：2024.27；兰州：2022.28)
一、“两定一动”(“两点一线”)模型(兰州：2022.28)
问题 在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小；｜PA－PB｜最大
方法 直接连两定点 先作其中一点的对称点再连线
线段和最小 (PA＋PB 最小)
线段差最大 (｜PA－PB｜ 最大)
【模型巧记】“两定一动”模型简记为：线段和最小，异侧直接连，同侧找对称；线段差最大，同侧直接连，异侧找对称
★如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝30°，AC＝，点D在边BC上且BD＝BC，点P是斜边AB上的一个动点，连接PC，PD，则PC＋PD的最小值为( )
例1题图
A. B.
C. D.2
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：存在两个定点(点C和点D) 特征2：动点在定线段上(定线段AB；动点P) 特征3：求两定点和动点连线的最值(PC＋PD的最小值) 作点D关于线段AB的对称点D'，连接CD'，交线段AB于点P'，连接P'D，DD'，PD'. 当C，P，D'三点共线时，即点P与点P'重合时，PC＋PD的值最小，最小值为CD'的长
★如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，BD＝6，点E为边AB的中点，点P为对角线BD上一点，则｜PC－PE｜的最大值为( )
例2题图
A. B.
C.2 D.13
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：存在两个定点(点C和点E) 特征2：动点在定线段上(定线段BD；动点P) 特征3：求两定点和动点连线的最值(｜PC－PE｜的最大值) 作点C关于BD的对称点C'，与点A重合，连接C'P. 当C'，E，P三点共线时，｜PC－PE｜取得最大值，最大值为AE的长
1.★[2025绥化]如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD＝4，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM，CM，则PM＋CM的最小值是 .
第1题图
2.★如图，在等边△ABC中，AB＝4，AD是中线，点E是AD的中点，点P是AC上一动点，则BP－EP的最大值为 .
第2题图
二、“一定两动”(“一点两线”)模型
问题 如图，P是∠AOB内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小
方法
【模型巧记】在用“一定两动”模型确定最值时，OP长为定值
★如图，在边长为6的菱形ABCD中，AC是其对角线，∠B＝60°，点P在CD上，CP＝2，点M在AD上，点N在AC上，则△PMN周长的最小值为 .
例3题图
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：∠CAD内部一定点P 特征2：定线段AD上一点M，定线段AC上一点N 特征3：求△PMN周长的最小值 分别作点P关于AC和AD的对称点P1，P2，连接PP1，PP2，P1N，P2M，P1P2.当P1，N，M，P2四点共线时，△PMN的周长最小，最小值为P1P2的长
3.★如图，抛物线y＝－x2＋4x＋5与直线y＝－x＋5交于B，C两点，已知点D的坐标为(0，3).点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则△DMN周长的最小值是( )
第3题图
A.4 B.8
C.2 D.3
三、“两定两动”(“两点两线”)模型
问题 点P，Q是∠AOB内部的两个定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得四边形PQNM周长最小
方法
【模型巧记】(1)“两定两动”模型作对称时，作出两定点分别关于就近定直线的对称点，如点P靠近OA，则作点P关于OA的对称点P'；(2)“两定两动”模型确定最值时，OP和OQ的长为定值
★如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E，F分别在边AD，AB上，且AE＝2，AF＝1.点G，H分别是边BC，CD上的动点，连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH周长的最小值为 .
例4题图
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：定角内存在两定点(定角：∠DCB；两定点：点E和点F) 特征2：动点在定线段上(点G和点H分别在边BC和CD上) 特征3：求最值(四边形EFGH周长的最小值) 作点E关于CD的对称点E'，作点F关于BC的对称点F'，连接E'F'，EE'，FF'，E'H，GF'，其中E'F'交BC于点G'，交CD于点H'. 当E'，H，G，F'四点共线时，四边形EFGH的周长最小，最小值为EF＋E'F'的长
4.★如图，在△ABC中，∠A＝20°，点D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE＝4，点M，N分别是边AC，AB上的动点，在点M，N运动的过程中，DM＋MN＋NE的最小值是 .
第4题图
四、“两定点一定长”模型(含造桥选址)
问题 点A，B为河岸两侧两定点，m∥n，m，n之间的距离为d，在直线m，n上分别找点P，Q，使PQ⊥m，且AP＋PQ＋QB的值最小 点A，B为直线l同侧两定点，在直线l上找P，Q两点，使PQ＝d，且AP＋PQ＋QB的值最小
类型 点在定线段异侧 点在定线段同侧
方法
【模型巧记】求三条线段和的最小值时，要建立“转化”和“数形结合”思想，先将所求线段进行平移，转化到同一直线或折线上，再根据化折为直、两点之间线段最短等进行求解
★如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E，F在对角线AC上(点E在点F的左侧)，且EF＝1，则DE＋BF的最小值为 .
例5题图
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：存在两定点(点D和点B) 特征2：动点在定线段上的距离固定(定线段：线段AC；动点：点E，点F；距离： EF＝1) 特征3：求最值(DE＋BF的最小值) 将DE沿AC方向平移1个单位长度至FG，连接DG，BG，BG与AC交于点F'，则DE＋BF＝GF＋BF，当G，F，B三点共线时取最小值，最小值为BG的长
★如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点E在边CD上，且CE＝2，在边BC上取两点F，G(点F在点G左侧)，且FG＝2，则四边形AFGE周长的最小值是 .
例6题图
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：存在两定点(点A和点E) 特征2：两个动点在定线段上的距离固定(定线段：线段BC；动点：点F，点G；距离：FG＝2) 特征3：求最值(四边形AFGE周长的最小值) 将AF向右平移2个单位长度至HG，作点H关于BC的对称点H'，连接AH，HH'，H'G，EH'，当H'，G，E三点共线时，四边形AFGE的周长取最小值，最小值为AE＋FG＋EH'的值
5.★如图，正方形ABCD的边长为8，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F，则EM＋AF的最小值是 .
第5题图
6.★如图，抛物线y＝x2－4x＋6与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点D下方)，且CD＝3.当AD＋BC的值最小时，点C的坐标为 .
第6题图
类型2垂线段最短(省卷：2025.27)
一、“一定一动”或“一定两动”模型(省卷：2025.27)
基础模型
问题 点A是直线l外一定点，点B是l上一动点，求AB的最小值
方法 当AB⊥l时，AB的值最小
拓展模型
问题 如图，点M是平面内一定点，点P，N分别是AC，AB上一动点，求MP＋PN的最小值
方法 作点M关于AC的对称点M'，过点M'作AB的垂线，分别交AC，AB于点P，N，则MP＋PN的最小值即为M'N的长
【模型巧记】求线段和最值实质上是将两条线段转化到同一条直线上，结合垂线段最短解决问题
★如图，已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴正半轴交于点C，点P是直线BC上的动点，点Q是线段OC上的动点，则AQ＋QP的最小值为 .
例7题图
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：A是平面内一定点 特征2：点P是直线BC上的动点，点Q是线段OC上的动点 特征3：求AQ＋QP的最小值 作点A关于OC的对称点A'，作A'P⊥BC于点P，A'P交OC于点Q，则AQ＋QP的最小值为A'P的长
7.★如图，在等边△ABC中，BC＝4，P是AC边上的高BD上的一动点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°到CN，连接DN，则线段DN的最小值为( )
第7题图
A. B.1
C. D.2
8.★如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120° ，D是边AC的中点，P，Q分别是AB，BC上的动点，若CD＝2，则DQ＋PQ的最小值为( )
第8题图
A. B.2
C.2 D.2
二、“胡不归”模型
问题 已知A为直线l上一定点，B为直线l外一定点，P为直线l上一动点，求kPA＋PB(0＜k＜1)的最小值
方法 构造射线AC，使得sin∠CAP＝k，过点P作PG⊥AC于点G，则PG＝PA·sin∠CAP＝kPA，∴kPA＋PB＝PG＋PB.过点B作BH⊥AC于点H，则kPA＋PB＝PG＋PB≥BH，∴kPA＋PB的最小值为线段BH的长(此时，B，P，G三点共线)
★如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，P是对角线BD上的一个动点，则BP＋PC 的最小值是 .
例8题图
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：直线上存在一定点和一动点(定点：点B，动点：点P) 特征2：直线外存在一定点(点C) 特征3：求一动点和两定点构成线段和的最小值， 且一条线段带系数(BP＋PC的最小值) 过点P作PE⊥AB于点E，则PE＝BP，过点C作CF⊥AB于点F，则PE＋PC≥CF，即BP＋PC的最小值为线段CF的长
9.★如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD是边AC上的高，P是BD上的一点，则BP＋CP的最小值是 .
第9题图
类型3逆等线模型(省卷：5年2考；兰州：2024.27)
概念 一般情况下：(1)题目中有双动点；(2)有两个没有首尾相连的等线段.一般通过平移或作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题
问题 已知：在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的动点，且AD＝CE，求BE＋CD的最小值
方法 将△ADC拼接到△CEF，连接BF，∴△ADC≌△CEF，∴CD＝EF，∴BE＋CD＝BE＋EF≥BF，∴BE＋CD的最小值为线段BF的长
总结 动点运动过程中有两条线段始终保持相等，我们可以在等线段处构造全等三角形，一般利用一边一角构造全等，且全等条件都是SAS，将两定两动转化为两定一动，从而将要求的两条线段拼接到一起，根据两点之间线段最短求解
【模型巧记】过定点，作定角，截定长，构全等，得最值
★如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，D，E分别是边AB，AC上的动点，且AD＝CE，则CD＋BE的最小值是( )
例9题图
A. B.
C.2 D.3
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：有双动点(动点：点D，E) 特征2：有两个没有首尾相连的等线段(等线段：AD＝CE) 特征3：求两动点和两定点构成线段和的最小值 (CD＋BE的最小值) 作CK∥AB，使得CK＝CA，连接KE，作BG⊥KC交KC的延长线于点G，连接BK，∴△CKE≌△ACD(SAS)，∴CD＝KE，∴CD＋BE＝KE＋BE≥BK，∴CD＋BE的最小值为BK的长
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，求DE＋CF的最小值.
第10题图
11.如图，抛物线y＝x2＋bx与x轴交于O，A两点，与直线y＝－x交于O，B(5，－5)两点，过点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止，同时点Q从点O出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接BQ，CP，求CP＋BQ的最小值.
第11题图
1.★[2025广安]如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为 .
第1题图
2.★[2025武威凉州区模拟]如图，正方形ABCD的边长是8，M在DC上，且DM＝2，N是AC边上的一动点，则DN＋MN的最小值是 .
第2题图
3.★如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE＋CF的最小值是 .
第3题图
4.★[2025内江]如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝2，点D，E，F分别是边BC，AB，AC上的动点，则△DEF周长的最小值是 .
第4题图
5.★如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，AE＝4，AF＝2，G，H分别是边BC，CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为 .
第5题图
6.★如图，抛物线y＝x2－2x－3交x轴于A，B两点(A在B的右侧)，交y轴于点C，点D是线段AC的中点，点P是线段AB上一个动点，△APD沿DP折叠得△A'PD，则线段A'B的最小值是 .
第6题图
7.[2024兰州27题]综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题.如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点(不含端点)，且AN＝BM.
【初步尝试】(1)如图1，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN＝DB，请思考并证明；
【类比探究】(2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB.试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由；
【拓展延伸】(3)孙老师提出新的探究方向：如图3，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，连接BN，CM，请直接写出BN＋CM的最小值.
图1 图 2 图3
第7题图第一部分 甘肃培优专题强训
培优专题一 平面直角坐标系中的面积问题
[省卷： 5年6考；兰州：4年3考][“★”表示试题有解析，见P55]
类型1一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算(省卷：5年6考；兰州：4年3考)
当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，可直接使用三角形的面积公式S＝AB·h，其中AB是△ABC在坐标轴上或平行于坐标轴的边，h为AB边上的高
S△ABC＝(xB－xA)·｜yC｜ S△ABC＝(yA－yB)·｜xC｜ S△ABC＝(xB－xA)·(yC－yA) S△ABC＝yA·(xC－xA)
1.如图，直线AB交反比例函数y＝(x＞0)的图象于A，B两点，交x轴于点C，B为线段AC的中点，则△AOC的面积为( D )
第1题图
A.6 B.8
C.12 D.18
2.[2025武威凉州区三模]如图，正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝(k≠0)的图象相交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，若△ABC的面积为3，则k的值为( C )
第2题图
A.－ B.－2
C.－3 D.－6
3.★如图，一次函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点A，AB⊥x轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且∠ACB＝∠OAB，△OAB的面积为4，则点C的坐标为( B )
第3题图
A.(－8，0) B.(－6，0)
C.(－，0) D.(－，0)
4.★如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为(3，0)，顶点B在y轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上，若抛物线y＝－x2－5x＋c经过点B，C，则菱形ABCD的面积为( B )
第4题图
A.15 B.20
C.25 D.30
5.★如图，直线l1：y＝kx＋1交y轴于点A，交反比例函数y＝(x＜0)的图象于点B.将直线l1向下平移4个单位长度得直线l2，直线l2交反比例函数y＝(x＜0)的图象于点C，连接AC，BC，若△ABC的面积为8，则k的值为( D )
第5题图
A.－2 B.－1
C.－ D.－
6.★如图，直线y＝m交抛物线y＝a(x－h)2＋k(a＜0)于A，B两点，P为抛物线的顶点，若△PAB为直角三角形，且面积为，则a的值为( B )
第6题图
A.－ B.－
C.－ D.－
类型2三边都不在坐标轴上或都不平行于坐标轴的三角形面积的计算
当三角形的三边都不在坐标轴上或都不平行于坐标轴时，可将所求面积通过作辅助线拆分成一边与坐标轴平行或重合的三角形或四边形，再进行计算即可
分割法 补形法 铅垂法
S△ABC＝S△ABD ＋S△BCD S△ABC＝S△ABD ＋S△BDC S△ABC＝S△AFC－ S△BEC－S四边形ABEF S△ABC＝S△AEC－ S△ABE－S△BEC S△ABC＝ah，即三角形面积＝(铅垂高度×水平宽度)÷2
7.[2025兰州城关区一模改编]如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x＋b的图象交于点A(1，4)，B(－4，n)，则△OAB的面积为( D )
第7题图
A.2 B.3
C.6 D.
8.★如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝(x＞0)的图象交于点A(，2)，B是反比例函数图象上一点，连接OB，AB，若△AOB的面积为2，则点B的坐标为( A )
第8题图
A.(3，2) B.(2，2)
C.(1，2) D.(2，3)
9.★[2025绥化]如图，反比例函数y＝经过A，C两点，过点A作AB⊥y轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OA，OC，AC.若S△ACO＝4，CD∶OB＝1∶3，则k的值是( D )
第9题图
A.－12 B.－9
C.－6 D.－3
培优专题二 遇到中点如何添加辅助线
[省卷：5年4考；兰州：2022.28][“★”表示试题有解析，见P55－57]
一题多解 ★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为( B )
例题图
A. B.
C. D.
题干①：∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4 AB＝5
题干②：CD⊥AB，AC＝3，BC＝4，AB＝5 CD＝(等面积法) AD＝，BD＝
例题解图
题干③：E为BC的中点 CE＝BE
E为BC的中点 构造中位线
作法：如解图，取CD的中点M，连接EM，则可得DM的长为
由中位线定理 EM∥BD，EM＝BD＝
由EM∥BD △EMF∽△ADF ＝ DF的长
更多解法
解法一： 中位线＋相似 解法二： 倍长中线＋相似 解法三： 锐角三角函数 解法四： 建立平面直角坐标系
如解图，取BD的中点M，连接EM 如解图，延长AE至点M，使ME＝AE，连接CM，BM 如解图，作FM⊥AC于点M 如解图，以点C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴建立平面直角坐标系
1.★[2025武威凉州区一模]如图，AB为☉O的直径，弦CD交OA于点M，且∠DMB＝45°，E为CD的中点，若MC＝2，ME＝1，则☉O的半径为( B )
第1题图
A.3 B.
C.3 D.4
2.★[2025平凉崆峒区三模]如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为( C )
第2题图
A.18 B.9
C.9 D.6
3.★如图，已知正方形ABCD边长为4，E为AD的中点，连接CE，取CE的中点F，过点F作CE的垂线，交AB于点G，则AG的长为( C )
第3题图
A.3 B.2
C. D.2
4.★[2025凉山州]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，若AC＝12，BD＝16，则FG的长为 5 .
第4题图
5.★[2025兰州城关区二模]如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝2BE，BF＝2CF，连接EC，FD，M，N分别是EC，FD的中点，连接MN，若AB＝6，BC＝9，则MN的长为 .
第5题图
6.如图，△ABC为等边三角形，D为AB延长线上一点，连接CD，过点A作AE∥CD交CB的延长线于点E，在AC左侧作∠CAF＝∠D，AF交BC于点G.若F为CD的中点，连接EF，用等式写出线段BE，BD，AC之间的关系，并说明理由.
第6题图
解：BE＝BD＋AC.理由如下：如图，延长AF至点P，使FP＝AF，连接DP，CP.
∵FP＝AF，DF＝CF，
∴四边形ACPD是平行四边形，∴DP＝AC＝AB，∠CAF＝∠APD，∠ADP＝180°－∠CAB＝120°.∵AE∥CD，∴∠EAB＝∠ADC＝∠CAF，
∴∠EAB＝∠APD.∵∠ABE＝180°－∠ABC＝120°，∴∠ABE＝∠PDA.
在△ABE和△PDA中，，
∴△ABE≌△PDA(ASA)，
∴BE＝AD＝BD＋AB＝BD＋AC.
培优专题三 遇到角平分线如何添加辅助线
[省卷：2023.25][“★”表示试题有解析，见P57－58]
一题多解 ★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，BD⊥AD，若AB＝5，AC＝3，则AD的长为( D )
例题图
A. B.
C. D.2
题干①：∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3 BC＝4
题干②：AD平分∠CAB ∠CAE＝∠BAE
题干③：∠CAE＝∠BAE，∠ACB＝90°，BD⊥AD △AEC∽△ABD
例题解图
∠ACB＝90°，AD平分∠CAB 向∠BAC另一边作垂线(角平分线的性质)
作法：如解图，过点E作EF⊥AB于点F
向∠BAC另一边作垂线 Rt△ACE≌Rt△AFE AF，BF的长
设 CE＝x则EF＝x，BE＝4－x 在Rt△EFB中，根据勾股定理求x AE的长
由△AEF∽△ABD ＝ AD的长
更多解法
解法一： 全等＋等面积 解法二： 射影定理 解法三： 倍半角＋三角函数 解法四： 四点共圆
如解图，延长AC，BD交于点F 如解图，作DH⊥AB，垂足为H，交BC于点F 如解图，延长CA，截取AM＝AB，连接BM 如解图，由∠ACB＝∠ADB＝90°，知A，C，D，B四点共圆，取AB中点O，连接OD，交BC于点H
1.★如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，BD于点M，N.若AM＝2，则线段BN的长为( D )
第1题图
A. B.
C.1 D.
2.★如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别是8，10，14，已知点O是△ABC的内心，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝( C )
第2题图
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.4∶5∶7 D.2∶3∶4
3.一题多解★如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D.若AB＝3，BC＝6，则的值为( B )
第3题图
A.1 B.2
C.3 D.4
4.★如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则cos∠CBD的值为 .
第4题图
5.一题多解★如图，四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，AB＝9，AD＝4，若∠ACB＝2∠B＝2∠ACD，则BC的长为 .
第5题图
6.如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，∠BAC的平分线交☉O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD.
(1)求证：DE是☉O的切线；(2)若AB＝9，BD＝3，求AC的长.
第6题图
(1)证明：如图，连接OD.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD.
∵OD是☉O的半径，∴DE是☉O的切线.
(2)解：AC＝7.
培优专题四 遇到特殊角、特殊线段如何添加辅助线
[省卷：5年3考；兰州：4年2考][“★”表示试题有解析，见P58－59]
一题多解 ★如图，在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，F为BD上一点，将线段BF绕点B逆时针旋转60°得到线段BG，连接FG.当GF的延长线过点C时，连接DG，则DG的长为( D )
例题图
A. B.
C.2 D.
题干①：△ABC是等边三角形，AB＝6，BD⊥AC ∠DBC＝∠DBA＝30°，CD＝AD＝3，∠BDC＝∠BDA＝90°
题干②：线段BF绕点B逆时针旋转60°得到线段BG BG＝BF，∠FBG＝60° △BGF是等边三角形 ∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF ∠ACF＝∠BCF＝30°＝∠DBC BF＝CF，GF＝CF
∠ACF＝30°，BD⊥AC 作垂线构造直角三角形
例题解图
作法：如解图，过点D作DH⊥GC于点H
作垂线构造直角三角形 DH，CH，FH，GH的长
DG的长(勾股定理)
更多解法
解法一：直角三角形 解法二：垂直平分线 解法三：轴对称全等转化 解法四：四点共圆
如解图，作GH⊥BD于点H 如解图，连接AG，记AB与CG交于点O 如解图，取BC的中点H，连接GH 如解图，连接AG，由 ∠BGC＝∠BAC＝60°， 知点B，C，A，G四点共圆
1.★如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝4，则BC的长为 6＋2 .
第1题图
2.★如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＝75°，AC＝8，则△ABC的面积为 24＋8 .
第2题图
3.★如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，∠B＝90°，D为BC边上一点，连接AD.若∠BAD＝15°，AC＝2，则BD的长为 2－ .
第3题图
4.★如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，BE＝BH，∠EBH＝90°，连接CF，CH.若BE＝3，则CF的长为 3 .
第4题图
5.如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的一点(不与A，D重合)，连接CE，点B关于直线CE的对称点是点F，连接CF，DF，CE与FD的延长线交于点P，连接BF，与直线CE交于点Q.
(1)求∠CPF的度数；(2)求证：PF＋PD＝PC.
第5题图
(1)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°.
∵点B，F关于直线CP对称，
∴∠CBF＝∠CFB，CP⊥BF，BC＝CF.
∴∠BCQ＋∠QBC＝∠BCQ＋∠PCD＝90°.
∴∠QBC＝∠PCD.
∵BC＝CF＝CD，∴∠CFD＝∠CDF.
∵∠CFD＝∠CFQ＋∠QFD＝∠CDF＝∠PCD＋∠CPD，∴∠QFD＝∠CPD，
∴∠CPD＝45°，即∠CPF＝45°.
(2)证明：如图，过点C作CH⊥PC交PF的延长线于点H.∴∠PCH＝90°.
∵∠CPF＝45°，∴∠H＝∠CPF＝45°，
∴PC＝CH.∵CD＝CF，
∴∠CDF＝∠CFD，∴∠CDP＝∠CFH，
∴△CPD≌△CHF(AAS)，∴PD＝HF.
在Rt△PCH中，PH＝PC，
∴PF＋PD＝PF＋HF＝PH＝PC.
培优专题五 全等、相似三角形中的常考模型
[省卷：5年4考；兰州：4年3考][“★”表示试题有解析，见P60－62]
模型1一线三等角模型(省卷：5年2考)
类型 同侧一线三等角 异侧一线三等角
条件 点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3 点P在线段AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3
图示 锐角一线 一线三垂直 钝角 三等角 一线三等角 锐角一线 一线三 钝角 三等角 垂直 一线三等 角
结论 △APC∽△BDP(若AP＝BD或AC＝BP或CP＝PD，则△APC≌△BDP)
构造 条件：直角顶点在直线上 辅助线：作垂线 结论：得全等或相似三角形
口诀 找角，定线，构全等、相似
一题多解 ★如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，BD＝2，CD＝3，则AD的长为( D )
例1题图
A.2 B.3
C.5 D.6
题干①：AD⊥BC ∠ADB＝∠ADC＝90°
题干②：∠BAC＝45° 可以构造等腰直角三角形
题干③：BD＝2，CD＝3 BC＝5
例1题解图
辅助线①：∠BAC＝45° 构造等腰直角三角形ABE
辅助线②：找角：∠ADC＝90°，∠ABE＝90°；定线：BC 符合“一线三等角”模型，构造全等三角形
(思考作辅助线缺什么：根据条件发现存在两个相等的直角及一条定边，因此想到构造“一线三等角”，但是还缺一个角，所以想到构造一个垂直于定边的角)
作法：如解图，过点B作BE⊥AB交AC的延长线于点E，过点E作BC的垂线交BC的延长线于点F
构造等腰直角三角形ABE AB＝BE
构造三角形全等(△ABD≌△BEF) EF＝BD；EF⊥BC，AD⊥CD △ACD∽△ECF
设AD＝x，则BF＝x，CF＝x－5 AD的长(相似比)
更多解法
解法一：等腰直角三角形＋相似一线三等角 解法二：等腰直角三角形＋相似一线三等角 解法三：矩形＋全等一线三等角 解法四：等腰直角三角形＋等面积
如解图，分别在DA上 截取DE＝DB＝2，DF＝DC＝3 如解图，过点B作BE⊥BC，延长BC至点F，连接AE，AF，过点A作AH⊥EB于点H 如解图，将线段AB 绕点A逆时针旋转90°至AF，连接CF，过点F分别作AD，BC的垂线，垂足为G，E 如解图，过点B作BF⊥AC，垂足为F，交AD于点E
1.★如图，在边长为4的等边△ABC中，点D是AB边上一个动点，沿过点D的直线折叠∠A，使点A落在BC边上的点F处，折痕交AC于点E，当BF＝1，AE＝时，则AD的长是 .
第1题图
2.★如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G，则的值为 .
第2题图
模型2手拉手模型(省卷：5年2考；兰州：4年3考)
类型 全等型 相似型
条件 △OAB和△OCD是顶角相等的等腰三角形，将△OCD绕点O旋转一定角度后，连接AC，BD △ABC和△ADE是顶角相等的三角形，且＝，将△ADE绕点A旋转一定角度后，连接BD，CE
图示
结论 △AOC≌△BOD，AC＝BD △ADB∽△AEC
构造 条件：共顶点，等顶角，等线段 辅助线：左手拉左手，右手拉右手 结论：得全等三角形 条件：共顶点，等顶角，成比例 辅助线：左手拉左手，右手拉右手 结论：得相似三角形
口诀 双等腰，共顶角，绕共顶点旋转得全等 非等腰，共顶角，绕共顶点旋转得相似
【温馨提示】基础图形不一定是三角形，也可以是四边形
一题多解 ★如图，E是正方形ABCD边BC上一点，在△AEF中，AE＝EF，∠AEF＝90°，AF交CD于点G，则∠GCF的度数为( C )
例2题图
A.15° B.20°
C.45° D.60°
例2题解图
题干①：正方形ABCD 四个直角，四条边相等
题干②：在△AEF中，AE＝EF，∠AEF＝90° △AEF是等腰直角三角形
辅助线①：正方形ABCD 连接对角线AC
辅助线②：共顶点：点E；等线段：AE＝EF 符合“手拉手”模型，构造全等三角形
(思考作辅助线缺什么：根据条件发现存在共顶点：点E；等线段：AE＝EF，因此想到构造“手拉手”模型，但是还缺等顶角，所以想到构造等腰直角三角形)
作法：如解图，连接AC，过点E作BC的垂线，交AC于点M
连接对角线AC，过点E作BC的垂线，交AC于点M ∠ACB＝45°，△MEC是等腰直角三角形
构造全等三角形(△AEM≌△FEC) ∠ECF＝∠EMA ∠GCF的度数
更多解法
解法一： 一线三垂直(最优) 解法二： 截长法 解法三： 手拉手相似模型 解法四： 定弦定角
如解图，过点F作BC的延长线的垂线FM 如解图，在AB上截取AM＝EC，连接EM 如解图，连接AC 如解图，连接AC，点A，E，C，F四点共圆
3.★如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，若AD＝5，BD＝12，则DE的长为 13 .
第3题图
4.★如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则的值为 .
第4题图
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.DE＝5，AD＝9，则BE的长为( D )
第1题图
A.6 B.5
C.4.5 D.4
2.如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠DEC＝30°，连接AD，BE，若AD＝4，则线段BE的长是( C )
第2题图
A. B.3
C.4 D.5
3.★如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为 ＋1 .
第3题图
4.★如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为BC上一点，CE＝2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则DF的长为 .
第4题图
5.[2022兰州28题]综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点.试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明.
【思考尝试】(1)同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题.请在图1中补全图形，解答老师提出的问题；
【实践探究】(2)希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】(3)突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP.知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值.当AB＝4时，请你求出△ADP周长的最小值.
图1 图2 图3
第5题图
解：(1)AE＝EP.证明略.
(2)∠DCP＝45°.
(3)△ADP周长的最小值为4＋4.
培优专题六 四边形中的常考模型
[省卷：2021.27][“★”表示试题有解析，见P62－65]
模型1十字模型(省卷：2021.27)
类型 两边过顶点型 一边过顶点型(构造) 不过顶点型(构造)
条件 四边形ABCD，AE⊥BF 四边形ABCD，EF⊥BG 四边形ABCD，EG⊥FH
图示
结论 正方形：①△ABF≌△DAE ②BF＝AE 矩形：①△ABF∽△DAE ②＝ 正方形：①△CBG≌△HEF ②BG＝EF 矩形：①△CBG∽△HEF ②＝ 正方形：①△IEG≌△KFH ②EG＝FH 矩形：①△IEG∽△KHF ②＝
拓展 (结论：△BCD∽△CAG)
【温馨提示】正方形内“十字”模型，垂直一定相等，相等不一定垂直
一题多解 ★如图，在正方形ABCD中，E是AB边上的中点，连接CE，过点B作BF⊥CE交AD于点F，交CE于点G，连接DG，若AB＝2，则DG的长为( B )
例1题图
A.1 B.2
C. D.
题干①：正方形ABCD 四个直角，四条边相等
例1题解图
题干②：E是AB边上的中点，AB＝2 AE＝BE＝1
题干③：BF⊥CE BF＝CE
辅助线：BF⊥CE 符合“十字”模型，构造全等三角形
作法：如解图，过点D作DM⊥CG，垂足为M，延长DM交BC于点N，连接GN
“十字”模型 △DCN≌△CBE
DM⊥CG，N是BC的中点 DG＝DC DG的长
更多解法
解法一： 全等＋三角函数 解法二： 平行＋中点 解法三： 四点共圆 解法四： 建立平面直角坐标系
如解图，过点D作DM⊥CG，垂足为M 如解图，延长CD，BF交于点M 如解图，∠FDC＝∠FGC＝90°，则点D，F，G，C四点在以FC为直径的圆上 如解图，以点A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系
1.★如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点P，Q分别是边AD，BC上的点，将顶点A沿PQ折叠至DC边上的点E，若DE＝5，则折痕PQ的长为( B )
第1题图
A. B.13
C.14 D.16
2.★如图，在Rt△ACB中，AC＝4，BC＝3，点D为AC中点，连接BD，作CE⊥BD交AB于点E，垂足为F，则CE的长为( C )
第2题图
A. B.
C. D.
模型2对角互补模型
类型 90°角的对角互补 60°，120°角的对角互补
条件 ∠ABC＝∠ADC＝90° ∠ABC＝120°，∠ADC＝60°
图示
构造 方法一 作垂线： 作DE⊥BC， DF⊥BA 方法二 作等角： 作∠CDE＝∠ADB 方法一 作垂线： 作 DE⊥BC，DF⊥BA 方法二 作等角： 作∠CDE＝∠ADB
结论 △DAF∽△DCE (若AD＝CD或BD平分∠ABC，则△DAF≌△DCE，AB＋BC＝BD) △DAB∽△DCE (若AD＝CD或BD平分∠ABC，则△DAB≌△DCE，AB＋BC＝BD) △DAF∽△DCE (若AD＝CD或BD平分∠ABC，则△DAF≌△DCE，AB＋BC＝BD) △DAB∽△DCE (若AD＝CD或BD平分∠ABC，则△DAB≌△DCE，AB＋BC＝BD)
口诀 对角互补，角平分线，见了作垂线或等角，得相似或全等
一题多解 ★一副三角板按如图所示方式摆放，其中∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝CB，∠CAD＝60°，连接BD交AC于点O，若AC＝6，则BD的长为 .
例2题图
题干①：∠ABC＝90°，AB＝CB △ABC是等腰直角三角形
例2题解图
题干②：∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，AC＝6 △ADC是直角三角形，AD，CD的长
辅助线：∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝CB 符合“对角互补”模型，构造全等三角形
作法：如解图，过点B作 BE⊥DA交DA的延长线于点 E，过点B作BF⊥DC于点F
“对角互补”模型 △ABE≌△CBF 线段关系
△ABC是等腰直角三角形，△ADC是直角三角形 BD的长
更多解法
解法一：对角互补模型 解法二：四点共圆 解法三：四点共圆
如解图，作∠CBE＝∠ABD 如解图，过点A作AH⊥BD于点H，点A，B，C，D四点共圆 如解图，过点C作CG⊥BD于点G，点A，B，C，D四点共圆
3.★如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积是64，则AC的长为 8 .
第3题图
4.★如图，在等边△ABC中，点D为BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，且∠EDF＝120°.若∠BDE＝45°，DF＝6，则BE的长为 2 .
第4题图
模型3半角模型
类型 顶角120°的等腰三角形含半角 等腰直角三角形含半角 正方形含半角
条件 ∠BDC＝120° ∠BAC＝90° 四边形ABCD是正方形
图示
构造 条件：共端点的等线段，共顶点的倍半角 辅助线：将半角两边的三角形中的一个旋转到另一边，使相等的边重合 结论：得全等三角形，线段关系
结论 △DEF≌△DGF， EF＝FC＋BE △AEF≌△AED， EF＝ED，FC⊥BC △AGE≌△AFE， EF＝DF＋BE
口诀 共顶角，等邻边，见了半角作旋转
【温馨提示】当作辅助线时出现旋转，证明过程中需要说明三点共线
一题多解 ★如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系为EF＝BE＋DF .
例3题图
题干①：四边形ABCD是正方形 四个直角，四条边相等
题干②：∠EAF＝45° ∠BAE＋∠DAF＝45°
例3题解图
辅助线：∠BAD＝90°，∠EAF＝45° 符合“半角”模型，构造全等三角形
(思考作辅助线缺什么：根据条件发现共端点的等线段AB，AD；共顶点的倍半角：∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，因此想到构造“半角”模型，所以可以将半角两边的三角形中的一个旋转到另一边，使等边重合)
作法：如解图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG
“半角”模型 △AGE≌△AFE 线段数量关系
更多解法
解法一：十字模型 解法二：手拉手模型 解法三：对称
如解图，作FG⊥AE交AB于点G，FH⊥AB于点H 如解图，连接AC，BD，BD分别交AE和AF于点G和H 如解图，作点B关于AE的对称点G，连接AG
5.★如图，△ABC是边长为a的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点E，交AC于点F，连接EF，则△AEF的周长为 2a .
第5题图
6.★如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E都在BC上，∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝5，则DE的长为 .
第6题图
1.★如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，BD⊥EF，交点为O，交AD于点E，交BC于点F，则EF的长为( B )
第1题图
A. B.
C. D.
2.★如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是边CD上一点，连接OE，过点O作OF⊥OE，交AD于点F.若四边形EOFD的面积是1，则AB的长为( C )
第2题图
A. B.
C.2 D.4
3.★如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝45°，分别连接EF，BD，BD与AF，AE分别相交于点M，N，则BN，MN，DM之间的数量关系为 BN2＋DM2＝MN2 .
第3题图
4.★两个等腰直角三角板按如图所示放置，点E在AC上，G，H分别为边AB，BC上的点，若GE＝2EH，则的值为 2 .
第4题图
5.小智和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，若EG⊥FH，则＝1.”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
方案一：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；
方案二：过点H作HM⊥BC交BC于点M，过点E作EN⊥CD交CD于点N.
(1)对小智遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明(如图1)；
(2)如果把条件中的“正方形”改为“矩形”，(如图2)，并设AB＝3，BC＝5，求的值.
图1 图2
第5题图
解：(1)答案不唯一，选择方案一.
证明：如图1，过点A作AM∥HF交BC于点M，作BN∥EG分别交AM，HF，CD于点P，Q，N，设EG交FH于点R.∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB，∠C＝∠ABM＝90°，BE∥GN，AH∥FM，∴四边形BEGN和四边形AHFM都是平行四边形，∴BN＝EG，AM＝FH.∵EG⊥FH，∴∠APB＝∠HQB＝∠HRE＝90°，∴∠CBN＝∠BAM＝90°－∠ABN.在△CBN和△BAM中，，∴△CBN≌△BAM(ASA)，∴BN＝AM，∴EG＝FH，∴＝1.
(2)如图2，作HM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，分别交HM，FH于点T，K，设EG交FH于点L.∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝5，∴∠B＝∠C＝∠CNE＝90°，∠A＝∠B＝∠BMH＝90°，∴四边形BCNE和四边形ABMH都是矩形，∴EN＝BC＝5，HM＝AB＝3，∠BEN＝90°，∴∠HTK＝∠ETM＝360°－∠B－∠BMH－∠BEN＝90°.∵EG⊥FH，∴∠ELK＝90°，∴∠GEN＝∠FHM＝90°－∠EKH.又∵∠ENG＝∠HMF＝90°，∴△ENG∽△HMF，∴＝＝，∴的值是.
6.(1)如图1，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.若∠A＝90°，用等式写出线段BE，CF，EF之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，用等式写出线段BE，CF，EF之间的数量关系，并说明理由.
图1 图2
第6题图
解：(1)EF2＝BE2＋CF2.理由如下：
如图1，延长ED到G，使DG＝ED，
连接CG，FG.
在△DCG和△DBE中，，
∴△DCG≌△DBE(SAS)，∴CG＝BE，
∠B＝∠DCG.又∵DE⊥DF，
∴FD垂直平分线段EG，∴FG＝FE.
∵∠A＝90°，∴∠B＋∠ACB＝90°，
∴∠FCG＝90°.
在△CFG中，CG2＋CF2＝FG2，
∴EF2＝BE2＋CF2.
(2)EF＝BE＋CF.理由如下：
如图2，延长AB到M，使BM＝CF.
∵∠ABD＋∠C＝180°，
又∵∠ABD＋∠MBD＝180°，∴∠MBD＝∠C.
在△BDM和△CDF中，，
∴△BDM≌△CDF(SAS)，
∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，
∴∠EDM＝∠EDB＋∠BDM＝∠EDB＋∠CDF＝∠CDB－∠EDF＝120°－60°＝60°＝∠EDF.
在△DEM和△DEF中，，
∴△DEM≌△DEF(SAS)，
∴EF＝EM，
∴EF＝EB＋BM＝BE＋CF.
培优专题七 圆中最值及隐形圆问题
[省卷：2025.27][“★”表示试题有解析，见P65－67]
类型1点圆最值(省卷：2025.27)
条件 ☉O上一动点P，☉O的半径为r，定点A，求AP的最值
类型 点A在☉O内 点A在☉O上 点A在☉O外
图示
结论 连接 AO，直线 AO与☉O交于点P1，P2，当A，O，P三点共线时，AP取得最值，最小值为AP1＝r－OA，最大值为AP2＝r＋OA 当点P与点A重合时，AP取得最小值，最小值为0；当AP为☉O的直径时，AP取得最大值，最大值为AP2＝2r 连接AO并延长，与☉O交于点P1，P2，当A，O，P三点共线时，AP取得最值，最小值为AP1＝OA－r，最大值为AP2＝OA＋r
★如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，以BE为直径作☉O，点P为☉O上一动点，连接DP，则DP的最大值为( D )
例1题图
A.4 B.8
C.2 D.2＋2
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：圆外一定点D 特征2：圆上一动点P 特征3：求圆外一点到圆上点距离的最大值 连接DO并延长交☉O于点P'，DP的最大值为线段DP'的长
1.★如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° ，AC＝6，BC＝2，半径为1的☉O在Rt△ABC内平移(☉O可以与该三角形的边相切)，则点A到☉O上的点的距离的最大值为( C )
第1题图
A.2 B.2－1
C.2＋1 D.1
2.★如图，在平面直角坐标系中，A(0，5)，B(5，0)，以点B为圆心，3为半径的☉B上有一动点P，连接AP，若C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为 .
第2题图
类型2线圆最值
条件 ☉O上一动点P，☉O的半径为r，直线l，求点P到直线l的距离的最值
类型 直线l与☉O相离 直线l与☉O相切 直线l与☉O相交
图示
结论 过点O作直线l的垂线，交☉O于点P1，P2，垂足为D，点P到直线l的距离的最小值为P2D＝OD－r，最大值为P1D＝OD＋r 过点O作直线l的垂线，交☉O于点P1，P2，垂足为D，当点D与点P重合时，点P到直线l的距离取得最小值，最小值为0； 当PD为直径时，点P到直线l的距离取得最大值，最大值为P1D＝2r 过点O作直线l的垂线，交☉O于点P1，P2，垂足为D，点P到直线l的距离的最小值为P2D＝r－OD，最大值为P1D＝r＋OD
★如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，E是边AB的中点，以点A为圆心，AE长为半径作☉A，P是☉A上一动点，连接BP，CP.若 ABCD的面积为10，则△BPC面积的最小值为 .
例2题图
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：定线段：BC，圆上动点：点 P 特征2：间接求动点到定线段距离的最小值 过点A作AF⊥BC交☉A于点G，交BC于点F，动点P到定线段BC距离的最小值为线段GF的长
3.★如图，点O为矩形ABCD的中心，AB＝8，BC＝6，☉B的半径为2，P是☉B上一个动点，则△AOP面积的最小值为
7 .
第3题图
4.★如图，AB是☉O的弦，C是☉O上的一个动点，连接AC，BC，∠C＝60°，☉O的半径为2，则△ABC面积的最大值是 3 .
第4题图
类型3定点定长作隐形圆
类型 一点作圆 三点作圆
条件 平面内，O为定点，A为动点，且OA长度固定 OA＝OB＝OC
图示
结论 点A的运动轨迹是以点O为圆心，OA长为半径的圆 点A，B，C均在☉O上
作图 原理 圆的定义
拓展：定点定长作圆在图形变化中的应用
类型 翻折生圆 旋转生圆
条件 在矩形ABCD中，E是AB边上的定点，F是BC边上一点，将△BEF沿EF折叠得到△B'EF 将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB'C'
图示
结论 点B'的运动轨迹是以点E为圆心，BE长为半径的一段圆弧(如图中的虚线圆弧) 点B(C)的运动轨迹是以点A为圆心，AB(AC)长为半径的一段圆弧(如图中的虚线圆弧)
★如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°之后得到△A'BC'.若BC＝6，则点C运动的路径长为2π .
例3题图
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：存在一定点和一动点(定点：点B，动点：点C) 特征2：存在定长(BC＝6 ) 以点B为圆心，BC长为半径作圆，点C的运动路径为
★已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，则∠BDC的度数为 50°或130° .
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：存在三条线段相等(AB＝AC＝AD) 特征2：相等的线段共用一个顶点(点A) 以一种情况为例： 以点A为圆心，AB (或AC或AD )长为半径作圆，点B，C，D在☉A上
5.★[2025自贡]如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED，∠E＝90°，点F在DE上，连接BF.若2BE＝3DF，则BF的最小值为( D )
第5题图
A.6 B.6－
C.3 D.4－2
6.★如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为CD边上靠近点C的三等分点，F为BC上一动点，将△ECF沿EF折叠，点C的对应点为C'，连接BC'，则BC'＋EC'的最小值为( B )
第6题图
A. B.2
C.3 D.4
类型4定弦定角作隐形圆(省卷：2025.27)
条件 在△ABC中，AB为定长，∠C为定角
类型 ∠C＜90° ∠C＝90° ∠C＞90°
图示
结论 ①∠C1＝∠C2＝∠AOB ②点C的运动轨迹为优弧(不与点A，B重合) ①AB为☉O的直径 ②点C的运动轨迹为☉O(不与点A，B重合) ①∠C1＋∠AOB＝∠C2＋ ∠AOB＝180° ②点C的运动轨迹为劣 弧(不与点A，B重合)
解题关键 考题常以30°，45°，60°，90°，120°来考，关键是画出等腰三角形
推论 构成等腰三角形(AC＝BC)，即C为所在弧的中点时，点C到AB的距离最大，且此时△ABC的面积最大
作图原理 圆周角定理及其推论
★如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部一点，且AE⊥BE，连接CE，则CE的最小值为 2－2 .
例5题图
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：存在定边(线段AB) 特征2：存在定边所对的角为定角(∠AEB＝90°) 以AB为直径作☉O，点A，B，E在☉O上
★如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为△ABC内的一个动点，且∠PBC＝∠PCA，则△PBC面积的最大值为( D )
例6题图
A. B.
C.3 D.
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：存在定边(线段BC) 特征2：存在定边所对的角为定角(∠BPC) 点B，C，P在☉O上
7.★如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为( C )
第7题图
A. B.
C.＋1 D.－1
8.★[2025长春节选]如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.点E在线段OA上，连接BE，作CF⊥BE于点F，交OB于点P，则点A与点F之间的距离的最小值为 2－2 .
第8题图
类型5四点共圆
类型 对角互补型 同侧等角型
条件 在四边形ABCD中，∠D＋∠B＝180° 点C，D在AB的同侧，且∠C＝∠D
图示
结论 利用圆内接四边形的对角互补，可得A，B，C，D四点共圆 利用同弧所对的圆周角相等，可得A，B，C，D四点共圆
★如图，正方形ABCD的边长为6，对角线AC，BD交于点O，E是正方形外一点，且BE⊥CE，连接OE.若CE＝BC，则OE的长为( A )
例7题图
A.4＋ B.3
C.4－2 D.
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：正方形ABCD中，∠BOC＝90°，∠BEC＝90° 特征2：∠BOC＋∠BEC＝180° 以BC为直径作圆，则B，O，C，E四点共圆
9.★如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC的中点，∠CAD＝∠CBE，则AE的长为( B )
第9题图
A.4 B.3
C.2 D.
10.★如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，点P是BA延长线上的一个动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值为( D )
第10题图
A. B.
C.3 D.
培优专题八 最值问题
[省卷：必考；兰州：4年2考][“★”表示试题有解析，见P67－71]
类型1两点之间线段最短(含将军饮马)(省卷：2024.27；兰州：2022.28)
一、“两定一动”(“两点一线”)模型(兰州：2022.28)
问题 在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小；｜PA－PB｜最大
方法 直接连两定点 先作其中一点的对称点再连线
线段和最小 (PA＋PB 最小)
线段差最大 (｜PA－PB｜ 最大)
【模型巧记】“两定一动”模型简记为：线段和最小，异侧直接连，同侧找对称；线段差最大，同侧直接连，异侧找对称
★如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝30°，AC＝，点D在边BC上且BD＝BC，点P是斜边AB上的一个动点，连接PC，PD，则PC＋PD的最小值为( C )
例1题图
A. B.
C. D.2
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：存在两个定点(点C和点D) 特征2：动点在定线段上(定线段AB；动点P) 特征3：求两定点和动点连线的最值(PC＋PD的最小值) 作点D关于线段AB的对称点D'，连接CD'，交线段AB于点P'，连接P'D，DD'，PD'. 当C，P，D'三点共线时，即点P与点P'重合时，PC＋PD的值最小，最小值为CD'的长
★如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，BD＝6，点E为边AB的中点，点P为对角线BD上一点，则｜PC－PE｜的最大值为( A )
例2题图
A. B.
C.2 D.13
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：存在两个定点(点C和点E) 特征2：动点在定线段上(定线段BD；动点P) 特征3：求两定点和动点连线的最值(｜PC－PE｜的最大值) 作点C关于BD的对称点C'，与点A重合，连接C'P. 当C'，E，P三点共线时，｜PC－PE｜取得最大值，最大值为AE的长
1.★[2025绥化]如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD＝4，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM，CM，则PM＋CM的最小值是 2 .
第1题图
2.★如图，在等边△ABC中，AB＝4，AD是中线，点E是AD的中点，点P是AC上一动点，则BP－EP的最大值为 .
第2题图
二、“一定两动”(“一点两线”)模型
问题 如图，P是∠AOB内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小
方法
【模型巧记】在用“一定两动”模型确定最值时，OP长为定值
★如图，在边长为6的菱形ABCD中，AC是其对角线，∠B＝60°，点P在CD上，CP＝2，点M在AD上，点N在AC上，则△PMN周长的最小值为 2 .
例3题图
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：∠CAD内部一定点P 特征2：定线段AD上一点M，定线段AC上一点N 特征3：求△PMN周长的最小值 分别作点P关于AC和AD的对称点P1，P2，连接PP1，PP2，P1N，P2M，P1P2.当P1，N，M，P2四点共线时，△PMN的周长最小，最小值为P1P2的长
3.★如图，抛物线y＝－x2＋4x＋5与直线y＝－x＋5交于B，C两点，已知点D的坐标为(0，3).点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则△DMN周长的最小值是( C )
第3题图
A.4 B.8
C.2 D.3
三、“两定两动”(“两点两线”)模型
问题 点P，Q是∠AOB内部的两个定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得四边形PQNM周长最小
方法
【模型巧记】(1)“两定两动”模型作对称时，作出两定点分别关于就近定直线的对称点，如点P靠近OA，则作点P关于OA的对称点P'；(2)“两定两动”模型确定最值时，OP和OQ的长为定值
★如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E，F分别在边AD，AB上，且AE＝2，AF＝1.点G，H分别是边BC，CD上的动点，连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH周长的最小值为 ＋5 .
例4题图
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：定角内存在两定点(定角：∠DCB；两定点：点E和点F) 特征2：动点在定线段上(点G和点H分别在边BC和CD上) 特征3：求最值(四边形EFGH周长的最小值) 作点E关于CD的对称点E'，作点F关于BC的对称点F'，连接E'F'，EE'，FF'，E'H，GF'，其中E'F'交BC于点G'，交CD于点H'. 当E'，H，G，F'四点共线时，四边形EFGH的周长最小，最小值为EF＋E'F'的长
4.★如图，在△ABC中，∠A＝20°，点D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE＝4，点M，N分别是边AC，AB上的动点，在点M，N运动的过程中，DM＋MN＋NE的最小值是 4 .
第4题图
四、“两定点一定长”模型(含造桥选址)
问题 点A，B为河岸两侧两定点，m∥n，m，n之间的距离为d，在直线m，n上分别找点P，Q，使PQ⊥m，且AP＋PQ＋QB的值最小 点A，B为直线l同侧两定点，在直线l上找P，Q两点，使PQ＝d，且AP＋PQ＋QB的值最小
类型 点在定线段异侧 点在定线段同侧
方法
【模型巧记】求三条线段和的最小值时，要建立“转化”和“数形结合”思想，先将所求线段进行平移，转化到同一直线或折线上，再根据化折为直、两点之间线段最短等进行求解
★如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E，F在对角线AC上(点E在点F的左侧)，且EF＝1，则DE＋BF的最小值为 .
例5题图
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：存在两定点(点D和点B) 特征2：动点在定线段上的距离固定(定线段：线段AC；动点：点E，点F；距离： EF＝1) 特征3：求最值(DE＋BF的最小值) 将DE沿AC方向平移1个单位长度至FG，连接DG，BG，BG与AC交于点F'，则DE＋BF＝GF＋BF，当G，F，B三点共线时取最小值，最小值为BG的长
★如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点E在边CD上，且CE＝2，在边BC上取两点F，G(点F在点G左侧)，且FG＝2，则四边形AFGE周长的最小值是 2＋12 .
例6题图
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：存在两定点(点A和点E) 特征2：两个动点在定线段上的距离固定(定线段：线段BC；动点：点F，点G；距离：FG＝2) 特征3：求最值(四边形AFGE周长的最小值) 将AF向右平移2个单位长度至HG，作点H关于BC的对称点H'，连接AH，HH'，H'G，EH'，当H'，G，E三点共线时，四边形AFGE的周长取最小值，最小值为AE＋FG＋EH'的值
5.★如图，正方形ABCD的边长为8，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F，则EM＋AF的最小值是 4 .
第5题图
6.★如图，抛物线y＝x2－4x＋6与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点D下方)，且CD＝3.当AD＋BC的值最小时，点C的坐标为 (4，1) .
第6题图
类型2垂线段最短(省卷：2025.27)
一、“一定一动”或“一定两动”模型(省卷：2025.27)
基础模型
问题 点A是直线l外一定点，点B是l上一动点，求AB的最小值
方法 当AB⊥l时，AB的值最小
拓展模型
问题 如图，点M是平面内一定点，点P，N分别是AC，AB上一动点，求MP＋PN的最小值
方法 作点M关于AC的对称点M'，过点M'作AB的垂线，分别交AC，AB于点P，N，则MP＋PN的最小值即为M'N的长
【模型巧记】求线段和最值实质上是将两条线段转化到同一条直线上，结合垂线段最短解决问题
★如图，已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴正半轴交于点C，点P是直线BC上的动点，点Q是线段OC上的动点，则AQ＋QP的最小值为 2 .
例7题图
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：A是平面内一定点 特征2：点P是直线BC上的动点，点Q是线段OC上的动点 特征3：求AQ＋QP的最小值 作点A关于OC的对称点A'，作A'P⊥BC于点P，A'P交OC于点Q，则AQ＋QP的最小值为A'P的长
7.★如图，在等边△ABC中，BC＝4，P是AC边上的高BD上的一动点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°到CN，连接DN，则线段DN的最小值为( B )
第7题图
A. B.1
C. D.2
8.★如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120° ，D是边AC的中点，P，Q分别是AB，BC上的动点，若CD＝2，则DQ＋PQ的最小值为( D )
第8题图
A. B.2
C.2 D.2
二、“胡不归”模型
问题 已知A为直线l上一定点，B为直线l外一定点，P为直线l上一动点，求kPA＋PB(0＜k＜1)的最小值
方法 构造射线AC，使得sin∠CAP＝k，过点P作PG⊥AC于点G，则PG＝PA·sin∠CAP＝kPA，∴kPA＋PB＝PG＋PB.过点B作BH⊥AC于点H，则kPA＋PB＝PG＋PB≥BH，∴kPA＋PB的最小值为线段BH的长(此时，B，P，G三点共线)
★如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，P是对角线BD上的一个动点，则BP＋PC 的最小值是 .
例8题图
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：直线上存在一定点和一动点(定点：点B，动点：点P) 特征2：直线外存在一定点(点C) 特征3：求一动点和两定点构成线段和的最小值， 且一条线段带系数(BP＋PC的最小值) 过点P作PE⊥AB于点E，则PE＝BP，过点C作CF⊥AB于点F，则PE＋PC≥CF，即BP＋PC的最小值为线段CF的长
9.★如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD是边AC上的高，P是BD上的一点，则BP＋CP的最小值是 5 .
第9题图
类型3逆等线模型(省卷：5年2考；兰州：2024.27)
概念 一般情况下：(1)题目中有双动点；(2)有两个没有首尾相连的等线段.一般通过平移或作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题
问题 已知：在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的动点，且AD＝CE，求BE＋CD的最小值
方法 将△ADC拼接到△CEF，连接BF，∴△ADC≌△CEF，∴CD＝EF，∴BE＋CD＝BE＋EF≥BF，∴BE＋CD的最小值为线段BF的长
总结 动点运动过程中有两条线段始终保持相等，我们可以在等线段处构造全等三角形，一般利用一边一角构造全等，且全等条件都是SAS，将两定两动转化为两定一动，从而将要求的两条线段拼接到一起，根据两点之间线段最短求解
【模型巧记】过定点，作定角，截定长，构全等，得最值
★如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，D，E分别是边AB，AC上的动点，且AD＝CE，则CD＋BE的最小值是( C )
例9题图
A. B.
C.2 D.3
思路点拨
第一步：找模型 第二步：配模型 第三步：用模型
特征1：有双动点(动点：点D，E) 特征2：有两个没有首尾相连的等线段(等线段：AD＝CE) 特征3：求两动点和两定点构成线段和的最小值 (CD＋BE的最小值) 作CK∥AB，使得CK＝CA，连接KE，作BG⊥KC交KC的延长线于点G，连接BK，∴△CKE≌△ACD(SAS)，∴CD＝KE，∴CD＋BE＝KE＋BE≥BK，∴CD＋BE的最小值为BK的长
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，求DE＋CF的最小值.
第10题图
第10题解图
解：如解图，延长DA到点G，使DG＝DB，连接FG，CG，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝4，DC＝AB＝3，
∠BAD＝∠GDC＝90°，∴∠GDF＝∠DBE.
∵DF＝BE，DG＝BD，
∴△DGF≌△BDE(SAS)，
∴FG＝DE，
∴DE＋CF＝FG＋CF≥CG，
∴当G，F，C三点共线时，FG＋CF最小，最小值为CG的长，
∴DE＋CF的最小值为CG的长.
∵∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝5.
在Rt△GDC中，GD＝BD＝5，∠GDC＝90°，
∴GC＝＝＝，
∴DE＋CF的最小值为.
11.如图，抛物线y＝x2＋bx与x轴交于O，A两点，与直线y＝－x交于O，B(5，－5)两点，过点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止，同时点Q从点O出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接BQ，CP，求CP＋BQ的最小值.
第11题图
解：将点B的坐标代入抛物线表达式得－5＝25＋5b，则b＝－6，即抛物线的表达式为y＝x2－6x.
如图，在OA上方作△OMQ，使得∠MOQ＝45°，OM＝BC，连接MB.
由点B的坐标知∠CBO＝45°＝∠MOQ，
由题意，得OQ＝BP，
∴△OQM≌△BPC(SAS)，∴CP＝MQ，
∴当B，M，Q三点共线时，CP＋BQ＝MQ＋BQ＝BM为最小.
∵∠MOQ＝45°，且OM＝BC＝5，则点M(，).由点B，M的坐标得BM＝5，
即CP＋BQ的最小值为5.
1.★[2025广安]如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为 2 .
第1题图
2.★[2025武威凉州区模拟]如图，正方形ABCD的边长是8，M在DC上，且DM＝2，N是AC边上的一动点，则DN＋MN的最小值是 10 .
第2题图
3.★如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE＋CF的最小值是 3 .
第3题图
4.★[2025内江]如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝2，点D，E，F分别是边BC，AB，AC上的动点，则△DEF周长的最小值是 2 .
第4题图
5.★如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，AE＝4，AF＝2，G，H分别是边BC，CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为 6 .
第5题图
6.★如图，抛物线y＝x2－2x－3交x轴于A，B两点(A在B的右侧)，交y轴于点C，点D是线段AC的中点，点P是线段AB上一个动点，△APD沿DP折叠得△A'PD，则线段A'B的最小值是 .
第6题图
7.[2024兰州27题]综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题.如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点(不含端点)，且AN＝BM.
【初步尝试】(1)如图1，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN＝DB，请思考并证明；
【类比探究】(2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB.试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由；
【拓展延伸】(3)孙老师提出新的探究方向：如图3，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，连接BN，CM，请直接写出BN＋CM的最小值.
图1 图 2 图3
第7题图
(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，AB＝AC.
∵MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，
∴DM＝AM，∠AMD＝120°，∴∠DMB＝60°.
∵AN＝BM，∠DMB＝∠A＝60°，
∴△ANM≌△MBD(SAS)，∴MN＝DB.
(2)四边形AFBD为平行四边形.
(3)解：4.
