2025-2026学年上海莘庄中学高二上学期数学期中试卷及答案（2025.11）（含答案）

莘庄中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1.“一个点和一条直线确定一个平面”是______命题（填“真”、“假”）
2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是______．
3.直线的倾斜角为______．
4.如图，已知长方体的棱长，，则点到棱的距离是______cm．
5.已知是三角形所在平面外一点，且，则点在平面上的射影是三角形的______心．
6.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为，则四棱锥的体积为______．
7.已知三点不共线，点不在平面内，，若四点共面，则的最大值为______．
8.已知圆锥的侧面积为，高为，设圆锥的顶点为，点均在底面圆周上，则面积的最大值为______．
9.如图，在平行六面体中，底面四边形是菱形，，，，则的长为______．
10.如图，已知三棱柱的体积为4，分别为侧棱，，上的点，且，则______．
11.下列选项中，正确的是______．
①若两条不同直线的方向向量为，，则
②若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心
③若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底
④若空间向量共面，则存在不全为0的实数使
12.正四面体的棱长为4，点为该四面体表面上的动点，若是该四面体的内切球的一条动直径，则的取值范围是______．
二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
14.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，，则
C.若，，则 D.若，，，，则
15.某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（ ）
A. B. C. D.
16.在正方体中，点分别是线段，上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，对任意的，均有，则下列结论正确的是（ ）
A.①②均正确 B.①②均不正确 C.①正确，②不正确 D.①不正确，②正确
三、解答题（本大题共5题，共分）
17.如图，长方体中，，，点为的中点，
（1）求证：直线平面；
（2）求点D到平面PAC的距离．
18.已知直线和直线，其中为实数．
（1）若，求的值；
（2）若点在直线上，直线过点，且在轴上的截距与在轴上的截距互为相反数，求直线的方程．
19.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm．
（1）求石凳的体积；
（2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元）
20.如图，在菱形中，，与相交于点，平面，，．
（1）求证：平面；
（2）当直线与平面所成的角的余弦值为时，求证：；
（3）在（2）的条件下，求异面直线与所成的余弦值．
21.如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，，并且，点在棱上．
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的正切值为，求的值；
（3）点、分别是线段、上的动点，求周长的最小值．
参考答案
一、填空题
1.假； 2.； 3.； 4.； 5.外； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.①②④； 12.；
11.下列选项中，正确的是______．
①若两条不同直线的方向向量为，，则
②若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心
③若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底
④若空间向量共面，则存在不全为0的实数使
【答案】①②④
【解析】对于①：两条不同直线的方向向量为，则与等价，
即，故①正确；
对于②：已知是空间向量的一组基底，且，
则，故
设点为的中点，整理得，所以，
所以点在平面内，且点为的重心，故②正确；
对于③：由于是空间向量的一组基底，且，
故不是空间向量的一组基底，故③错误；
对于④：由空间向量共面定理知：空间向量，共面，则存在不全为0的实数使，故④正确．故答案为：①②④．
12.正四面体的棱长为4，点为该四面体表面上的动点，若是该四面体的内切球的一条动直径，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】设球心为，作平面，垂足为，则为等边三角形的中心．
,．
设内切球的半径为，则，解得．
设该四面体的外接球的半径为，则．
解得．由题意是直径的两端点，可得，
即求正四面体表面上的动点到的距离的范围．
当位于（切点）时，取得最小值；
当位于处时，即为正四面体外接球半径最大，即为
综上可得的最小值为，
最大值为．
则的取值范围是．故答案为：．
二、选择题
13.B； 14.C； 15.A； 16.D
15.某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为，高为，
因为圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，
所以，解得，所以，
设该圆锥内切球的半径为，作出轴截面如图所示，
其中为内切球的球心，为圆锥底面的圆心，，为切点，
则，则，开，解得，
所以该圆锥的内切球的体积故选：
16.在正方体中，点分别是线段，上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，对任意的，均有，则下列结论正确的是（ ）
A.①②均正确 B.①②均不正确 C.①正确，②不正确 D.①不正确，②正确
【答案】D
【解析】对于①，如图，连接
在正方体体，有正方形，所以，
又，所以四边形为平行四边形，
故确定唯一的平面，
又平面平面，所以
又平面，所以平面
因为平面，所以对任意点，都有，只有与重合符合题意，与不为端点矛盾，故对任意点，不存在点，使得，故①不正确；
对于②，如图，连接交于，连接，
由①得平面，又，
所以四边形为平行四边形，所以，
则平面，因为平面，
所以又因为正方形，所以，
又平面平面，所以，
因为平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，所以平面，
又平面，所以
于是当点与重合时，存在点，对任意的，均有，故②正确．
故选：D．
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1）-3或0 （2）或
19.（1）180000cm （2）85.2元
20.如图，在菱形中，，与相交于点，平面，，．
（1）求证：平面；
（2）当直线与平面所成的角的余弦值为时，求证：；
（3）在（2）的条件下，求异面直线与所成的余弦值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）
【解析】（1）证明：因为四边形是菱形，所以，
因为平面平面，所以．
因为平面平面，
所以平面；
（2）证明：因为平面，
所以直线与平面所成的角为，即.
在等边中，，所以Rt中，所以．
过作交于点，所以Rt中，，
Rt中，，Rt中，，
所以；
（3）取边的中点，连接，
易得且，
为所求的角或其补角，
而在Rt中，
Rt中，
所以异面直线与所成的余弦值为．
21.如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，，并且，点在棱上．
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的正切值为，求的值；
（3）点、分别是线段、上的动点，求周长的最小值．
【答案】（1）见解析 （2） （3）
【解析】（1）证明：因为是正三角形，
且，
所以，所以，
又是直角三角形，所以，
取的中点，连接，
则，且，
因为，所以，即，且，
又，且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）连接，由（1）可得，
所以就是二面角的平面角，即,
所以，
所以,
在中，由正弦定理知，，
所以，所以．
（3）将四面体的侧面和侧面沿着展开成如图所示的平面图形，
连接，与和分别相交于点和，此时周长取得最小值，
即线段的长，中，设，
由余弦定理知，，
所以，
所以
所以
由余弦定理知，
，
所以，
故周长的最小值为．