2025-2026学年上海闵行中学高三上学期数学期中试卷及答案（2025.11）（含答案）

闵行中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，则 .
2．复数，则 .
3．函数的定义域为 .
4．已知函数，则 .
5．已知，则 .
6．二项式的展开式中，常数项为 .
7．将某学校一次物理测试学生的成绩统计如图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表） .
8．已知有4名男生6名女生，若从这10人中任选4人，则恰有2名男生和2名女生的概率为 .（结果用分数表示）
9．已知实数成等差数列，则点到直线的最大距离是 .
10．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 .
11．若函数的最大值为11，则 .
12．已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为 .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．下列函数是偶函数的是（ ）.
A． B． C． D．
14．设＂是＂＂的必要非充分条件，则的取值范围
是（ ）.
A． B． C． D．
15．若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的＂基本量＂．已知长方体，下列四组量中，不能作为该长方体的＂基本量＂的是（ ）.
A．的长度 B．的长度
C．的长度 D．的长度
16．在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为＂函数＂．已知函数，中恰有一个为＂函数＂，则满足条件的的整数值的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-18题每题14分，第19-20题每题16分，第21题18分）
17．在等差数列中，，且构成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值．
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成的角的正切值．
19．某生态旅游景区升级改造，有一块半圆形土地打算种植花草供人游玩欣赏，如图所示，其中长为两点在半圆弧上，满足，设．
（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段和组成，则当为何值时，观光道路的总长最长，并求最大值；
（2）若在和内种满月季花，在扇形内种满薰衣草，已知月季花利润是每平方千米元，薰衣草的利润是每平方千米元，则当为何值时，才能使总利润最大？最大利润是多少？
20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，点分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点．
（1）若是的左焦点，且，求的值；
（2）设上存在轴上方一点．若，求的坐标；
（3）设，过的直线与交于两点（两点不重合），与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为．若存在直线，满足成立，求的取值范围．
21．已知函数．
（1）对于任意的，求证：；
（2）若，且存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（3）设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交于点，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行．
参考答案
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5． 6．
7. 8． 9． 10． 11. 12．
11．若函数的最大值为11，则 .
【答案】
【解析】
其中，
又
=
∴函数
达到最大值时，
，由于函数的最大值为11，
故答案为：50
12．已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为 .【答案】
【解析】是椭圆的左焦点，
过点的直线与圆交于两点，与在由右侧交于点，如图，
设椭圆的右焦点为的中点为，
连接，，则，
∵为的中点，
∵为的中点，
∴，∴，
设，则
在Rt中，由，得
化简整理得，解得
当时，，不合题意，舍去，
在Rt中，由，得
则，得，即的离心率为．故答案为：．
二、选择题
13．D 14．C 15．B 16．D
15．若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的＂基本量＂．已知长方体，下列四组量中，不能作为该长方体的＂基本量＂的是（ ）.
A．的长度 B．的长度
C．的长度 D．的长度
【答案】B
【解析】如下图，根据长方体体积公式，只需确定共顶点的三条棱长即可，
已知的长度，则体积可定，满足；
已知无法求出，体积不能确定，不满足．
由勾股定理及可求，由勾股定理及可求，故体积可定，满足；
由，即可求出，则体积可定，满足；
故选：．
16．在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为＂函数＂．已知函数，中恰有一个为＂函数＂，则满足条件的的整数值的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】根据函数定义，在平面直角坐标系中，任意与轴垂直的直线与函数的图象至多一个交点，
由题意函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，仍为函数图象，
相对可知，任意与轴垂直的直线绕原点顺时针旋转后，与图象至多一个交点，
即，直线与的图象至多一个交点，
故函数为＂函数＂等价于，方程至多一个实数根，
对于函数：，要使方程至多一个实数根，
即，方程在至多一个实数根，
又不是方程的根，
当时，对任意，方程的判别式不恒成立，不满足题意，
当时，至多一个实数根，满足题意，
故若函数为＂函数＂，则
对于函数：
，方程至多一个实数至多一个实数根，
故只需函数是单调函数，
由，设，
则，其中，
①当时，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
则，
即，且;
故在上必不单调；
①当时，
同理可得，在上单调递增，在上单调递减；
，且；，
故恒成立不可能，
所以要使函数是单调函数，
则只需恒成立，则只需，解得；
③若，则，显然为单调函数；
所以若中为＂函数＂，则；
综上所述，满足条件的的整数值为，共4个．故选：D．
三、解答题
17．（1）； （2）6
18．（1）证明见解析； （2）
19．（1）； （2）当时，总利润最大，
20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，点分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点．
（1）若是的左焦点，且，求的值；
（2）设上存在轴上方一点．若，求的坐标；
（3）设，过的直线与交于两点（两点不重合），与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为．若存在直线，满足成立，求的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）因为与的左焦点重合，故，因此．
又因为，而，所以，解得：（负舍）.
（2）因为，又因为，
而，代入解得．
若在第一象限，则，故在第二象限．
设，而整理可得．
代入椭圆方程，可得：．解得（增根舍去），
所以因此．
（3）由题意可知：直线的解析式为
设直线的解析式为，且，）、．
联立，可得．
根据韦达定理，．
因为两点均在直线的左侧，故
又因为，因此（
代入化简可得方程．
设，又因为，故．
①若，而此时在的外部，，故．
若存在，使得，而，
故，可得，故．
②若，此时直线与存在两个交点．若存在，使得，
而，故，可得，故，因此．
综上所述，的取值范围为．
21．已知函数．
（1）对于任意的，求证：；
（2）若，且存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（3）设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交于点，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行．
【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）证明见解析
【解析】（1）证明：令则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
于是，故，即．
（2）当时，，则，
因为函数存在单调递减区间，所以有解，
又因为，则有正数解，即
因为，所以，
又，故的取值范围为．
（3）证明：如图，
设点的坐标分别为，
则点的横坐标为，
因，则在点处的切线斜率为
又因，则在点处的切线斜率为
假设在点处的切线与在点处的切线平行，
则，即，
则
即，设，则①
今，则
所以在上单调递增，故，则，
这与①矛盾，假设不成立，故在点处的切线与在点处的切线不平行．