2025-2026学年上海闵行中学高二上学期数学期中试卷及答案（2025.11）（含答案）

闵行中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.设，其中为虚数单位，则______．
2.表面积为的球的体积是______．
3.，，，则______．
4.不等式的解集为______．
5.棱长都是2的三棱锥的表面积为______．
6.如图，三棱柱中，若，，，则______．（用，，表示）
7.设等比数列的公比，前n项和为，则______．
8.如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底面边长为4，高为3，若在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为______．
9.在三棱锥，设向量，，，则顶点P到底面ABC的距离为______．
10.如图，半径为2的四分之一球形状的玩具储物盒，放入一个玩具小球，合上盒盖，当小球的半径最大时，小球的表面积为______．
11.已知数列满足，，则的最小值为______．
12.从空间中一定点O出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的表面积是______．
二、选择题（本大题共18分，13-14每题4分，15-16每题5分）
13.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）.
A. B. C. D.
14.在空间直角坐标系中，已知，，则MN的中点Q关于平面的对称点坐标是（ ）.
A. B. C. D.
15.已知空同中三个单位向量盘、、，，P为空间中一点，且满足，则这样的点P个数
为（ ）.
A.2 B.4 C.5 D.8
16.已知函数，其中，且．
则关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）.
①的最大值为2；
②，，都有．
A.①真命题；②真命题 B.①真命题；②假命题
C.①假命题；②真命题 D.①假命题；②假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知，，
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线PA和OE所成角的大小．
18.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
如图，四棱柱的底面为正方形，平面，，，点E在上，且．
（1）求证：；
（2）求直线与平面BDE所成角的正弦值．
19.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
如图所示，某模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥，已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面直径为，高为，圆锥母线长为．
（1）求该模型的体积；
（2）现要用油漆对500个这种模型进行粉刷，油漆费用为每平方米30元，求总费用．
20.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
在梯形中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图1），将沿AC折起到位置，使得平面平面BAC（如图2）．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）线段上是否存在点Q，使得CQ与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知定义在上的函数满足（其中k，T为正常数）．
（1）若，，且为奇函数，求的值；
（2）若，，且（且）．证明：存在a，使得函数为周期函数．
（3）若，，且当时，．设（n为正整数），求使得，，，，都小于2025的最大正整数n．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
12.从空间中一定点O出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的表面积是______．
【答案】
【解析】 设 ，其中 为单位向量。由 ，得 。设 ，其中 。
由不等式 ，化简得：
二次函数最大值为 16，故 。
向量 端点在以 为圆心、半径为 4 的圆盘上，对应球带表面积为：
二、选择题
13.D 14.D 15.B 16.
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1） （2）
20.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
在梯形中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图1），将沿AC折起到位置，使得平面平面BAC（如图2）．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）线段上是否存在点Q，使得CQ与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在
【解析】（1）证明：在梯形中，，
为的中点，可得为等边三角形，四边形为菱形，故，而平面平面，所以平面，
（2）由（1）得，故，
而平面平面，平面平面平面，
所以平面，所以两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，
则，则，
取得，平面的一个法向量为，
故，二面角的大小为；
（3）设，则，，
，设平面的一个法向量为，
与平面所成角的正弦值为
化简得，解得舍去），
故存在，使得与平面所成角的余弦值为．
21.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知定义在上的函数满足（其中k，T为正常数）．
（1）若，，且为奇函数，求的值；
（2）若，，且（且）．证明：存在a，使得函数为周期函数．
（3）若，，且当时，．设（n为正整数），求使得，，，，都小于2025的最大正整数n．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）略
【解析】（1）已知，则，这表明函数的周期为2.
因为为奇函数，所以.
令，则，同时.
又因为的周期为2，所以.
由且，可得，即，所以.
（2）已知，则.
因为，所以.那么，
两边同时除以，得到，即.
令，则，解得或（因为且，所以舍去）.
当时，，根据周期函数的定义，对于函数，
如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，
那么函数就叫做周期函数，周期为，
所以此时函数是周期为4的周期函数.
因此，存在，使得函数为周期函数.