2025-2026学年上海位育中学高三上学期数学期中试卷及答案（2025.11）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年上海位育中学高三上学期数学期中试卷及答案（2025.11）（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 465.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-22 17:14:58 | ||
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文档简介
位育中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．集合，则 .
2．已知，若，其中i为虚数单位，则 .
3．已知，则不等式的解集为 .
4．已知向量，若，则的值为 .
5．设，且为奇函数，则 .
6．设且，则的最大值为 .
7．已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，则 .
8．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
9．设，则不等式的解集为 .
10．在平面直角坐标系中，是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是 .
11．某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为，短轴长为的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .
12．已知是非零不共线的向量，设，定义点集，当时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为 .
二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）．
13．已知，则＂＂是＂＂的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
14．已知圆关于直线对称，则实数的值为（ ）.
A．-5 B．-3 C．3 D．5
15．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
16．设数列为项数为的严格增数列，且每一项均为正整数．若对于数列中的任意两项，均有，则项数的最大值为（ ）．
A．6 B．7 C．10 D．11
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．在中，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值与角的大小．
18．如图，在棱长为4的正方体中，点是正方形的中心，点在棱上，且满足．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）设点在平面上的投影是点，求证：．
19．在研究＂人在雨中行走，如何让被淋雨的程度尽可能低＂时，可以将人体视为一个长方体．如图，长方体在雨中沿面（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿移动方向的分速度为移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为，记移动距离为为移动过程中的总淋雨量．
（1）求总淋雨量的表达式（用含有的表达式表示）；
（2）已知且，设，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少．
20．如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于两点，且两点均异于点．
（1）求点的坐标，及双曲线的离心率；
（2）若线段的中点为，求直线的方程；
（3）若以线段为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
21．设为不等于1的正数．记，其中且．
（1）若，求实数需满足的等量关系；
（2）设．记，讨论函数取得最小值时的取值（无需写出函数的最小值）；
（2）若且，证明：所有满足题意的实数组成的集合为
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为，短轴长为的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .
【答案】
【解析】依题意，
故答案为：
12．已知是非零不共线的向量，设，定义点集，当时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为 .
【答案】
【解析】由，可得共线，由，
可得，即有，则为的平分线，
由角平分线的性质定理可得，即有的轨迹为圆心在上的圆，
由，可得，由，可得，
可得
由在递增，可得，即有，即，
由题意可得，故的最小值为．故答案为：．
二、选择题
13.B 14.C 15.C 16.D
15．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，结合选项，只考虑．
当，即时，取得极值．
又因为才转换上恰有三个极值点，所以解得，
当，即时，，
又因为在区间上恰有两个零点，所以解得，
综上可得，的取值可得是.故进C．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）证明略
19.（1）
（2）当时，；当时，
20．【答案】（1） （2） （3）过定点
21．【答案】（1）
（2）当时，无最小值；当时，取得最小值 （3）证明略
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．集合，则 .
2．已知，若，其中i为虚数单位，则 .
3．已知，则不等式的解集为 .
4．已知向量，若，则的值为 .
5．设，且为奇函数，则 .
6．设且，则的最大值为 .
7．已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，则 .
8．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
9．设，则不等式的解集为 .
10．在平面直角坐标系中，是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是 .
11．某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为，短轴长为的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .
12．已知是非零不共线的向量，设，定义点集，当时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为 .
二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）．
13．已知，则＂＂是＂＂的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
14．已知圆关于直线对称，则实数的值为（ ）.
A．-5 B．-3 C．3 D．5
15．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
16．设数列为项数为的严格增数列，且每一项均为正整数．若对于数列中的任意两项，均有，则项数的最大值为（ ）．
A．6 B．7 C．10 D．11
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．在中，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值与角的大小．
18．如图，在棱长为4的正方体中，点是正方形的中心，点在棱上，且满足．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）设点在平面上的投影是点，求证：．
19．在研究＂人在雨中行走，如何让被淋雨的程度尽可能低＂时，可以将人体视为一个长方体．如图，长方体在雨中沿面（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿移动方向的分速度为移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为，记移动距离为为移动过程中的总淋雨量．
（1）求总淋雨量的表达式（用含有的表达式表示）；
（2）已知且，设，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少．
20．如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于两点，且两点均异于点．
（1）求点的坐标，及双曲线的离心率；
（2）若线段的中点为，求直线的方程；
（3）若以线段为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
21．设为不等于1的正数．记，其中且．
（1）若，求实数需满足的等量关系；
（2）设．记，讨论函数取得最小值时的取值（无需写出函数的最小值）；
（2）若且，证明：所有满足题意的实数组成的集合为
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为，短轴长为的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .
【答案】
【解析】依题意，
故答案为：
12．已知是非零不共线的向量，设，定义点集，当时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为 .
【答案】
【解析】由，可得共线，由，
可得，即有，则为的平分线，
由角平分线的性质定理可得，即有的轨迹为圆心在上的圆，
由，可得，由，可得，
可得
由在递增，可得，即有，即，
由题意可得，故的最小值为．故答案为：．
二、选择题
13.B 14.C 15.C 16.D
15．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，结合选项，只考虑．
当，即时，取得极值．
又因为才转换上恰有三个极值点，所以解得，
当，即时，，
又因为在区间上恰有两个零点，所以解得，
综上可得，的取值可得是.故进C．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）证明略
19.（1）
（2）当时，；当时，
20．【答案】（1） （2） （3）过定点
21．【答案】（1）
（2）当时，无最小值；当时，取得最小值 （3）证明略
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