2025-2026学年上海曹杨二中高一上学期数学期中试卷及答案（2025.11）（含答案）

曹杨二中2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知，，则______．
2.当时，式子的值为______．
3.设，，用表示的结果为______．
4.已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为______．
5.使不等式中等号成立的的取值范围是______．
6.已知，若关于的不等式的解集为，则的取值范围是______．
7.已知，若关于的方程有两个实根，且，则的值为______．
8.已知，幂函数在区间上的最大值与最小值之差为，则的值为______．
9.已知且，若，则的最小值为______．
10.已知，若关于的方程有负根，则的取值范围是______．
11.集合有8个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素乘积为，则______．
12.已知实数满足，，其中e为自然对数的底数，则______．
二、选择题（本大题共有4题，每题4分，共16分）
13.若，则（ ）
A. B. C. D.
14.已知、在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
15.已知，，，且，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
16.已知，用表示非空集合中元素个数，定义，集合，，若，则的可能的取值有（ ）个．
A.2 B.3 C.4 D.5
三、解答题（本大题共有4题，共42分）
17.第（1）问4分，第（2）问4分，共8分
已知，，．
（1）若，求；
（2）若是的充分条件，求的取值范围．
18.第（1）问4分，第（2）问4分，共8分
美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．近年来，某公司已成功研发、两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产芯片的净收入（千万元）是关于投入的资金（千万元）的幂函数，其图象如图所示．
（1）试分别求出生产、两种芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式；
（2）现在公司准备投入5亿元资金同时生产、两种芯片．设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产芯片投入的资金．（利润芯片净收入芯片净收入研发耗费资金）
19.第（1）问2分，第（2）问4分，第（3）问4分，共10分
已知，，设关于的不等式的解集为．
（1）若，求的取值范围；
（2）当时，若中有且仅有两个整数，求的取值范围；
（3）若关于的不等式的解集为，求的取值范围．
20.第（1）问4分，第（2）问6分，第（3）问6分，共16分
对于任意实数，定义区间，，，的长度均为．若集合是若干个两两交集为空集的区间的并集，则把这些区间的长度的和称为的长度．特别地，记正整数集，且，若对任意的，区间的长度始终不小于恒成立，则称该集合为“称心集”．
（1）若的解集为，求集合的区间长度；
（2）若关于的不等式组的解集构成的各区间长度之和为5，求实数的取值范围；
（3）求“称心集”中元素个数的最大值，并说明理由．
曹杨二中2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知，，则______．
【答案】1
2.当时，式子的值为______．
【答案】0
3.设，，用表示的结果为______．
【答案】
4.已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为______．
【答案】3
5.使不等式中等号成立的的取值范围是______．
【答案】
6.已知，若关于的不等式的解集为，则的取值范围是______．
【答案】
7.已知，若关于的方程有两个实根，且，则的值为______．
【答案】
8.已知，幂函数在区间上的最大值与最小值之差为，则的值为______．
【答案】或
9.已知且，若，则的最小值为______．
【答案】4
10.已知，若关于的方程有负根，则的取值范围是______．
【答案】
11.集合有8个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素乘积为，则______．
【答案】
12.已知实数满足，，其中e为自然对数的底数，则______．
【答案】
二、选择题（本大题共有4题，每题4分，共16分）
13.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
14.已知、在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
15.已知，，，且，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
16.已知，用表示非空集合中元素个数，定义，集合，，若，则的可能的取值有（ ）个．
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D
三、解答题（本大题共有4题，共42分）
17.第（1）问4分，第（2）问4分，共8分
已知，，．
（1）若，求；
（2）若是的充分条件，求的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1），即，得．
因此，．
（2）由题知，
因为在上是严格增函数，所以，得．
由是的充分条件，可知， 即或，得．
18.第（1）问4分，第（2）问4分，共8分
美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．近年来，某公司已成功研发、两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产芯片的净收入（千万元）是关于投入的资金（千万元）的幂函数，其图象如图所示．
（1）试分别求出生产、两种芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式；
（2）现在公司准备投入5亿元资金同时生产、两种芯片．设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产芯片投入的资金．（利润芯片净收入芯片净收入研发耗费资金）
【答案】（1）见解析
（2）公司最大利润为8.25千万元，此时生产B芯片投入的资金为6.25千万元．
【解析】（1）芯片：；
芯片：由幂函数的图像过可知，函数关系式为；
（2）
当即时，取得最大值为；
因此，公司最大利润为8.25千万元，此时生产B芯片投入的资金为6.25千万元．
19.第（1）问2分，第（2）问4分，第（3）问4分，共10分
已知，，设关于的不等式的解集为．
（1）若，求的取值范围；
（2）当时，若中有且仅有两个整数，求的取值范围；
（3）若关于的不等式的解集为，求的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）若，则，得的取值范围为；
（2），即，
当时，；当时，；当时，；
由于中有且仅有两个整数，可知两个整数只能为2和3，则，
得的取值范围为；
（3）设，则
当时，；当时，；
因为时，恒成立，所以若在上恒成立，
只需满足当时，恒成立；显然时，不满足条件；
当时，数形结合可知只需满足即可，解得．
20.第（1）问4分，第（2）问6分，第（3）问6分，共16分
对于任意实数，定义区间，，，的长度均为．若集合是若干个两两交集为空集的区间的并集，则把这些区间的长度的和称为的长度．特别地，记正整数集，且，若对任意的，区间的长度始终不小于恒成立，则称该集合为“称心集”．
（1）若的解集为，求集合的区间长度；
（2）若关于的不等式组的解集构成的各区间长度之和为5，求实数的取值范围；
（3）求“称心集”中元素个数的最大值，并说明理由．
【答案】（1）2 （2） （3）最大值为9．
【解析】（1）当时，，得；
当时，，得；
综上，解得，集合的区间长度为2．
（2）不等式的解集为，
不等式，即，
由于在上是严格增函数，可得，
设其解集为，
由于不等式组的解集构成的各区间长度之和为5，可知，
则，解得．
（3）由于，对任意的恒成立，且，
则当时，有且；因为，所以，得；
同理可知且，得，
所以，对任意的恒成立；
因为，
所以当时，若取5，则，即不满足条件，
因此，此时恒成立，
可得“称心集”中元素个数的最大值为9．