2025-2026学年苏科版九年级下第5章二次函数单元测试（含答案）

苏科版九年级下 第5章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y=2x B．y= C．y=x2+1 D．y=3x-2
2．抛物线y=2x2+3与y轴的交点是（　　）
A．（0，5） B．（0，3） C．（0，2） D．（2，1）
3．二次函数y=-2x2+6x-1的一次项系数是（　　）
A．-2 B．6 C．-6 D．-1
4．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -3 -2 -3 -6 -11 …
则该函数图象的对称轴是（　　）
A．x=-3 B．x=-2 C．x=-1 D．x=0
5．已知二次函数y=（x-2）2+3，当自变量x分别取3、5、7时，y对应的值分别为y1、y2、y3，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3
6．已知二次函数y=x2-4x+9，则关于该函数的下列说法正确的是（　　）
A．该函数图象与y轴的交点坐标是（9，0）
B．当x＞2时，y的值随x值的增大而减小
C．当x取1和3时，所得到的y的值相同
D．将y=x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象
7．在平面直角坐标系中，将二次函数y=-2（x-2）2-1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（　　）
A．y=-2（x-2）2-1 B．y=-2（x-1）2-3
C．y=-2x2-3 D．y=-2x2-1
8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c＞0．其中正确的是（　　）
A．①③ B．只有② C．②③ D．只有③
9．在同一平面直角坐标系中，画出直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx（a,b为常数，且a≠0），这个图形可能是（　　）
A． B． C． D．
10．若点（m,n）在抛物线y=ax2（a＞0）上，其中m＞0，则不等式a（x-2）2＞n的解为（　　）
A．x＜-m+2或x＞m+2 B．-m+2＜x＜m+2
C．x＜-m-2或x＞m-2 D．-m-2＜x＜m-2
11．如图，已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（-1，0），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③若关于x的方程ax2+bx+c+1=0一定有两个不相等的实数根；④a＞．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A，B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的个数是（　　）
①abc＞0；②3b-2c＜0；③-1＜k＜0；④a+b＜k；⑤0＜ac+k＜1．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
13．正方形边长3，若边长增加x,则面积增加y,y与x的函数关系式为 ______．
14．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y=2x2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴为直线 ______．
15．将抛物线y=4x2+1先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式 ______．
16．已知函数y=ax2-2x+2，当1＜x＜4时，y＞0恒成立，则a的取值范围是 ______．
17．如图，平面直角坐标系中，已知点A（6，0），B（2，4），P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别在线段OB，AB上，则这两个二次函数的最大值之积的最大值为______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．
19．如图，抛物线y=-x2+mx与直线y=x+b交于点A和点B，直线AB与y轴交于点C（0，-2）．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）求点A的坐标，并结合函数图象，求出不等式-x2+mx＞x+b的解集．
20．已知关于x的二次函数y=ax2-2ax+3a-2（a≠0），经过点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）若此函数图象过点（2，4），求这个二次函数的表达式；
（2）若x1=3x2时，y1=y2=7时，求a的值；
（3）若0＜a＜3，当x1＜x2，且x1+x2=a-1时，求证：y1＞y2．
21．已知抛物线y=x2+bx+c经过点（2，0），（-4，0）．
（1）求抛物线对应的函数表达式及对称轴；
（2）若（0，y1），（t,y2）是抛物线上不同的两点，且y1+y2=-16，求t的值；
（3）将抛物线沿x轴向左平移m（m＞0）个单位长度，当-3≤x≤2时，函数最小值为0，求m的值．
22．如图，抛物线y=a（x-h）2+k（a＜0，k＞0）的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形ABCD为它的内接正方形．
（1）当抛物线y=ax2+2是“美丽抛物线”时，则a=______；
（2）当抛物线是“美丽抛物线”时，则k=______；
（3）若抛物线y=a（x-h）2+k是“美丽抛物线”，求a,k之间的数量关系．
苏科版九年级下第5章二次函数单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、B 3、B 4、B 5、D 6、C 7、C 8、C 9、D 10、A 11、D 12、D
二．填空题（共5小题）
13、y=x2+6x； 14、x=3； 15、y=4（x-3）2-1； 16、a＞； 17、；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）把A（-1，0）、B（3，0）代入y=x2+bx+c得，
解得，
所以抛物线解析式为y=x2-2x-3；
（2）∵A（-1，0）、B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4，
设P点坐标为（t,t2-2t-3），
∵S△PAB=10，
∴×4×|t2-2t-3|=10，
当t2-2t-3=5，解得t1=-2，t2=4，此时P点坐标为（-2，5）或（4，5）；
当t2-2t-3=-5，方程没有实数解，
综上所述，P点坐标为（-2，5）或（4，5）．
19、解：（1）点C（0，-2）代入y=x+b中，b=-2，
∴一次函数解析式为y=x-2，
当y=0时，x-2=0，
解得x=2，
∴B（2，0），
把B（2，0）代入y=-x2+mx中，
得-4+2m=0，
解得m=2，
∴二次函数解析式为y=-x2+2x；
（2）令x2+2x=x-2，
解得x=2或x=-1，
∴A（-1，-3），
∴不等式-x2+mx＞x+b的解集为-1＜x＜2．
20、解：（1）将点（2，4）代入关于x的二次函数y=ax2-2ax+3a-2（a≠0）中，
可得：4a-4a+3a-2=4，
∴a=2，
∴y=2x2-4x+4；
（2）由y=ax2-2ax+3a-2=a（x-1）2+2a-2得，该函数的图象的对称轴为直线x=1，
∵若x1=3x2时，y1=y2=7，
∴点A、B关于直线x=1对称，
∴，
∴，
将代入函数表达式中，得，
解得a=4；
（3）证明：y2-y1=
=
=a（x2-x1）（x2+x1-2），
∵x1＜x2，
∴x2-x1＞0，
∵x1+x2=a-1，
∴x1+x2-2=a-3，
∵0＜a＜3，
∴a-3＜0，则x1+x2-2＜0，
∴y2-y1＜0，
∴y1＞y2．
21、解：（1）把点（2，0），（-4，0）代入y=x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2+2x-8=（x+1）2-9，
∴对称轴为直线x=-1．
（2）由（1）得函数解析式为y=x2+2x-8，
把x=0代入y=x2+2x-8得，y1=-8，
∵y1+y2=-16，
∴y2=-8，
∴（0，y1），（t,y2）关于对称轴直线x=-1的对称，
∴t=-2．
（3）由（1）得函数解析式为y=x2+2x-8=（x+1）2-9，
∵此抛物线沿x轴向左平移m（m＞0）个单位长度，
平移后的解析式为y=（x+1+m）2-9，
∴对称轴为x=-1-m＜-1，
∵抛物线开口向上，
∴距离对称轴越近的点的函数值越小，且当x=-1-m时，函数取得最小值，且最小值为-9，
当-1-m≥2时即m≤-2时，当x=2时，函数取得最小值，且最小值为y=（3+m）2-9，又函数最小值为0，
∴（3+m）2-9=0，
解得m=0，m=-6，
∵m＞0，
故都不符合题意，都舍去；
当-3≤1-m≤2时即-1≤m≤4时，当x=1-m时，函数取得最小值，且最小值为-9，又函数最小值为0，
∴不符合题意，舍去，
当1-m≤-3时即m≥4时，当x=-3时，函数取得最小值，且最小值为y=（m-2）2-9，又函数最小值为0，
∴（m-2）2-9=0，
解得m=-1，m=5，
∵m＞0，
∴m=5，
综上所述，m的值为5．
22、解：（1）∵y=ax2+2，
∴抛物线顶点A坐标为（0，2），
∴点C坐标为（0，0），
∴点B坐标为（-1，1），点D坐标为（1，1），
将（1，1）代入y=ax2+2得1=a+2，
解得a=-1，
故答案为：-1；
（2）∵y=，
∴抛物线顶点A坐标为（1，k），
点C坐标为（1，0），
∴点D坐标为（1+k,k），
将（1+k,k）代入y=y=得k=
解得k=0（舍）或k=4，
故答案为：4．
（3）抛物线经过（h+k,k），
∴k=a（h+k-h）2+k,
解得ak=-2，
故a,k之间的数量关系为：ak=-2．