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同步探究学案
课题 18.5 分式方程（第2课时） 单元 第十八章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1。会分析工程问题和行程问题中的数量关系，能列出分式方程解决实际问题。 2。类比列一元一次方程解应用题的一般步骤，探索并掌握列分式方程解应用题的一般步骤。
重点 列分式方程解决实际问题。
难点 找出相等关系列出分式方程，将实际问题数学化。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．什么是分式方程？ 2．解分式方程的基本思路是什么？ 3．分式方程为什么要验根？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助列、解分式方程，研究用分式方程解决实际问题。 例1：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？ 分析：甲队1个月完成总工程的，设乙队单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队一个半月的施工量与乙队半个月的施工量的和等于总工程量．由此列方程，进而求出x，就可以比较甲、乙两队的施工速度． 归纳：解决工程问题的思路 解决工程问题时，一要抓住“工作总量＝工作效率×工作时间”这一等量关系；二要抓住“所有队工作量之和＝总工作量”这一关系列方程求解． 例2：某次列车平均提速vkm/h．在相同的时间内，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？ 提示：表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(或未知量)，也可以表示已知数(或已知量)． 分析：这里的字母v，s表示__________，设提速前列车的平均速度为xkm/h，那么提速前列车行驶skm所用时间等于提速后列车运行______km所用时间．由此列方程，进而求出x． 思考：根据前面的例题，类比列一元一次方程解应用题的一般步骤，你能总结出列分式方程解应用题的一般步骤吗？ 归纳：列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：弄清题意，找出数量关系和相等关系； （2）设：设出未知数； （3）列：根据相等关系列出方程； （4）解：解方程； （5）验：①检验求得的解是否为分式方程的解； ②检验求得的解是否符合题意； （6）答：根据题意写出答案．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如今倡导绿色出行，共享单车和共享电动车成为常见出行工具．假设某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动．一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（ ） A． B． C． D． 2．现用甲、乙两种型号机器人搬运物资，甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运物资，甲型机器人搬运物资所用时间与乙型机器人搬运物资所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少千克物资？两个人分别列方程如下： 嘉嘉：设甲型机器人搬运物资用时小时，可列方程为． 琪琪：设乙型机器人每小时搬运物资，可列方程为． 下列判断正确的是（ ） A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对 C．嘉嘉、琪琪都对 D．嘉嘉、琪琪都错 3．七（3）班开展“诵读经典，点亮人生”读书活动，小智和小慧读了同一本480页的名著．根据下面两个人的对话，求小慧每天读这本名著的页数． 小智：我每天读的页数是你每天读的页数的倍． 小慧：我读完这本书比你多用了4天． 选做题： 4．在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．则第二批鲜花每盒的进价是 元． 【综合拓展类练习】 5．某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（ ） A． B． C． D． 2．某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A． B． C． D． 3．农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 选做题： 4．一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔支以上（不包括支），可以按批发价付款；购买支以下（包括支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买支，那么只能按零售价付款，需用元；如果多购买支，那么可以按批发价付款，同样需用元．如果按批发价购买支铅笔与按零售价购买支所付款相同，那么这个学校八年级学生有 人． 【综合拓展类作业】 5．科技兴趣小组分别编制了甲、乙两款人工智能软件． (1)用甲软件解5个同等难度方程的时间与用乙软件解2个同等难度方程的时间之和为90秒，用甲软件解3个同等难度方程的时间与用乙软件解4个同等难度方程的时间之和为96秒．求甲、乙两款软件解一个同等难度方程所用的时间各是多少秒？ (2)科技小组对甲款软轨件进行了算法优化，优化后的软件解同一个方程所用时间为优化前的，用时96秒时，优化后的软件所解方程的个数比优化前的软件多2个，求甲软件优化前与优化后解一个同等难度方程所用的时间分别是多少秒？
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分课时教学设计
第十一课时《18.5 分式方程（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是人教版八年级数学上册第十八章分式的核心内容，承接第1课时分式方程的概念与解法，聚焦实际问题的建模与求解。它既是对分式运算、方程思想的综合运用，也是从“纯数学运算”到“实际问题解决”的关键过渡，让学生体会字母可表示已知量与未知量的双重意义。通过工程、行程、工程等实际场景，培养学生分析数量关系、建立分式方程模型的能力，为后续函数、不等式等知识的实际应用奠定基础，同时强化“检验”的数学严谨性，是提升学生数学应用意识与逻辑推理能力的重要载体。
学习者分析 学生已掌握分式运算、一元一次方程解法及简单实际问题建模，具备基础的代数推理与逻辑思维能力，但抽象思维仍需巩固。此前学生接触的多是具体数字类方程，对分式方程中“字母表示已知量”的形式较为陌生，在分析工程、行程问题中的数量关系时易混淆。部分学生可能忽略分式方程的检验步骤，或在转化为整式方程时因漏乘公分母出错。同时，学生对实际情境问题的兴趣较高，可借助生活化例题降低抽象难度，强化知识应用。
教学目标 1。会分析工程问题和行程问题中的数量关系，能列出分式方程解决实际问题。 2。类比列一元一次方程解应用题的一般步骤，探索并掌握列分式方程解应用题的一般步骤。
教学重点 列分式方程解决实际问题。
教学难点 找出相等关系列出分式方程，将实际问题数学化。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1。会分析工程问题和行程问题中的数量关系，能列出分式方程解决实际问题。 2。类比列一元一次方程解应用题的一般步骤，探索并掌握列分式方程解应用题的一般步骤。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．什么是分式方程？ 答案：分母中含未知数的方程叫作分式方程． 2．解分式方程的基本思路是什么？ 答案：通过去分母将分式方程化为整式方程． 3．分式方程为什么要验根？ 答案：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此要验根. 导言：在解决实际问题时，有时需要列、解分式方程．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习分式方程的相关概念，为应用分式方程解决实际问题做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 例1：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？ 分析：甲队1个月完成总工程的，设乙队单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队一个半月的施工量与乙队半个月的施工量的和等于总工程量．由此列方程，进而求出x，就可以比较甲、乙两队的施工速度． 解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的．记总工程量为1，根据工程的实际进度，得 ． 方程两边乘6x，得 2x＋x＋3＝6x． 解得 x＝1． 检验：当x＝1时，6x≠0． 所以，原分式方程的解为x＝1． 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快． 归纳：解决工程问题的思路 解决工程问题时，一要抓住“工作总量＝工作效率×工作时间”这一等量关系；二要抓住“所有队工作量之和＝总工作量”这一关系列方程求解． 例2：某次列车平均提速vkm/h．在相同的时间内，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？ 分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为xkm/h，那么提速前列车行驶skm所用时间等于提速后列车运行(s＋50)km所用时间．由此列方程，进而求出x． 指出：表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(或未知量)，也可以表示已知数(或已知量)． 解：设提速前这次列车的平均速度为xkm/h，则提速前它行驶skm所用时间为h；提速后列车的平均速度为(x＋v)km/h，提速后它行驶(s＋50)km所用时间为h． 根据行驶时间的相等关系，得 ．① 方程两边乘x(x＋v)，得 s(x＋v)＝x(s＋50)． 解得 x＝． 检验：因为v，s都是正数，所以当x＝时，x(x＋v)≠0．所 以，原分式方程的解为x＝． 答：提速前列车的平均速度为km/h． 讲解：在例2中，出现了一些用字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现．方程①是以x为未知数的分式方程，其中v，s是已知数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数． 追问：根据前面的例题，类比列一元一次方程解应用题的一般步骤，你能总结出列分式方程解应用题的一般步骤吗？ 归纳：列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：弄清题意，找出数量关系和相等关系； （2）设：设出未知数； （3）列：根据相等关系列出方程； （4）解：解方程； （5）验：①检验求得的解是否为分式方程的解； ②检验求得的解是否符合题意； （6）答：根据题意写出答案．学生活动3： 学生小组合作探究，班内交流后听老师的讲解与点评活动意图说明： 通过例题，让学生了解列分式方程解决工程问题、行程问题的基本思路及用分式方程解决实际问题的一般步骤．让学生经历分析相等关系列方程的过程，培养学生分析问题和解决实际问题的能力，学会用数学的眼光观察现实世界．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：18.5分式方程（第2课时）一、列分式方程解决工程问题 二、列分式方程解决行程问题 三、列分式方程解应用题的一般步骤教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如今倡导绿色出行，共享单车和共享电动车成为常见出行工具．假设某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动．一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．现用甲、乙两种型号机器人搬运物资，甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运物资，甲型机器人搬运物资所用时间与乙型机器人搬运物资所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少千克物资？两个人分别列方程如下： 嘉嘉：设甲型机器人搬运物资用时小时，可列方程为． 琪琪：设乙型机器人每小时搬运物资，可列方程为． 下列判断正确的是（ ） A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对 C．嘉嘉、琪琪都对 D．嘉嘉、琪琪都错 答案：A 3．七（3）班开展“诵读经典，点亮人生”读书活动，小智和小慧读了同一本480页的名著．根据下面两个人的对话，求小慧每天读这本名著的页数． 小智：我每天读的页数是你每天读的页数的倍． 小慧：我读完这本书比你多用了4天． 解：设小慧每天读这本名著页，则小智每天读这本名著页， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 答：小慧每天读这本名著20页． 选做题： 4．在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．则第二批鲜花每盒的进价是 元． 答案：150 【综合拓展类练习】 5．某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 解：（1）设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个． 根据题意，， 解得， 所以， 答：每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； （2）设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个， 升级后每天生产甲材料包个，每天生产乙材料包个， 设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，则， 生产甲材料包总数：个，生产乙材料包总数：个， 由，得， 由，得， 代入，得， 即， 解得：． 经检验，是原分式方程的解， 答：每天生产甲材料包的增加数量为10个．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A． B． C． D． 答案：A 3．农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 解：设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩， 得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ． 答：A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩． 选做题： 4．一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔支以上（不包括支），可以按批发价付款；购买支以下（包括支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买支，那么只能按零售价付款，需用元；如果多购买支，那么可以按批发价付款，同样需用元．如果按批发价购买支铅笔与按零售价购买支所付款相同，那么这个学校八年级学生有 人． 答案： 【综合拓展类作业】 5．科技兴趣小组分别编制了甲、乙两款人工智能软件． (1)用甲软件解5个同等难度方程的时间与用乙软件解2个同等难度方程的时间之和为90秒，用甲软件解3个同等难度方程的时间与用乙软件解4个同等难度方程的时间之和为96秒．求甲、乙两款软件解一个同等难度方程所用的时间各是多少秒？ (2)科技小组对甲款软轨件进行了算法优化，优化后的软件解同一个方程所用时间为优化前的，用时96秒时，优化后的软件所解方程的个数比优化前的软件多2个，求甲软件优化前与优化后解一个同等难度方程所用的时间分别是多少秒？ 解：（1）设甲软件解一个方程所用时间为x秒，乙软件解一个方程所用时间为y秒， 根据题意，得 解得， 所以甲软件解一个方程用12秒，乙软件用15秒； （2）设甲软件优化前解一个方程所用时间为t秒，则优化后所用时间为秒， 在96秒内，优化前软件解方程个数为，优化后为 根据题意，得， 所以 即 解得 检验：是原分式方程的解， 所以优化前用12秒，优化后用秒．
教学反思 本课教学聚焦分式方程解决实际问题，通过工程、行程例题搭建建模思路，学生能基本掌握列方程步骤。但部分学生对“字母表示已知量”理解不深，转化整式方程时漏乘公分母、忽略检验的问题仍存在。后续需强化实际情境中数量关系的梳理训练，增加分层练习，用具象化图示辅助抽象思维，同时通过错题对比，强调检验的必要性，提升学生解题严谨性与应用能力。
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第十八章 分式
18.5 分式方程
（第2课时）
1．会分析工程问题和行程问题中的数量关系，能列出分式方程解决实际问题．
2．类比列一元一次方程解应用题的一般步骤，探索并掌握列分式方程解应用题的一般步骤．
1．什么是分式方程？
分母中含未知数的方程叫作分式方程．
2．解分式方程的基本思路是什么？
通过去分母将分式方程化为整式方程．
3．分式方程为什么要验根？
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此要验根.
在解决实际问题时，有时需要列、解分式方程．
例1：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？
分析：甲队1个月完成总工程的，设乙队单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队一个半月的施工量与乙队半个月的施工量的和等于总工程量．由此列方程，进而求出x，就可以比较甲、乙两队的施工速度．
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的．记总工程量为1，根据工程的实际进度，得
．
方程两边乘6x，得
2x＋x＋3＝6x．
解得
x＝1．
检验：当x＝1时，6x≠0．
所以，原分式方程的解为x＝1．
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快．
解决工程问题的思路
解决工程问题时，一要抓住“工作总量＝工作效率×工作时间”这一等量关系；二要抓住“所有队工作量之和＝总工作量”这一关系列方程求解．
例2：某次列车平均提速vkm/h．在相同的时间内，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？
分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为xkm/h，那么提速前列车行驶skm所用时间等于提速后列车运行(s＋50)km所用时间．由此列方程，进而求出x．
表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(或未知量)，也可以表示已知数(或已知量)．
解：设提速前这次列车的平均速度为xkm/h，则提速前它行驶skm所用时间为h；提速后列车的平均速度为(x＋v)km/h，提速后它行驶(s＋50)km所用时间为h．
根据行驶时间的相等关系，得
．①
方程两边乘x(x＋v)，得
s(x＋v)＝x(s＋50)．
解得 x＝．
检验：因为v，s都是正数，所以当x＝时，x(x＋v)≠0．所
以，原分式方程的解为x＝．
答：提速前列车的平均速度为km/h．
在例2中，出现了一些用字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现．方程①是以x为未知数的分式方程，其中v，s是已知数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数．
根据前面的例题，类比列一元一次方程解应用题的一般步骤，你能总结出列分式方程解应用题的一般步骤吗？
列分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审：弄清题意，找出数量关系和相等关系；
（2）设：设出未知数；
（3）列：根据相等关系列出方程；
（4）解：解方程；
（5）验：①检验求得的解是否为分式方程的解；
②检验求得的解是否符合题意；
（6）答：根据题意写出答案．
【知识技能类练习】必做题：
1．如今倡导绿色出行，共享单车和共享电动车成为常见出行工具．假设某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动．一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
2．现用甲、乙两种型号机器人搬运物资，甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运物资，甲型机器人搬运物资所用时间与乙型机器人搬运物资所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少千克物资？两个人分别列方程如下：
嘉嘉：设甲型机器人搬运物资用时小时，可列方程为．
琪琪：设乙型机器人每小时搬运物资，可列方程为．
下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对
C．嘉嘉、琪琪都对 D．嘉嘉、琪琪都错
A
【知识技能类练习】必做题：
3．七（3）班开展“诵读经典，点亮人生”读书活动，小智和小慧读了同一本480页的名著．根据下面两个人的对话，求小慧每天读这本名著的页数．
小智：我每天读的页数是你每天读的页数的倍．
小慧：我读完这本书比你多用了4天．
解：设小慧每天读这本名著页，则小智每天读这本名著页，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
答：小慧每天读这本名著20页．
【知识技能类练习】选做题：
4．在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．则第二批鲜花每盒的进价是 元．
150
【综合拓展类练习】
5．某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍．
(1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？
(2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量．
【综合拓展类练习】
解：（1）设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个．
根据题意，，
解得，
所以，
答：每天生产甲材料包20个，乙材料包40个；
（2）设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为2 个，
升级后每天生产甲材料包个，每天生产乙材料包个，
设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，则，
生产甲材料包总数：个，生产乙材料包总数：个，
由，得，
由，得，
代入，得，
即，
解得：．
经检验，是原分式方程的解，
答：每天生产甲材料包的增加数量为10个．
【综合拓展类练习】
列分式方程解应用题的
一般步骤
列分式方程解决工程问题
实际问题与分式方程
列分式方程解决行程问题
【知识技能类作业】必做题：
1．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
2．某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
3．农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数．
【知识技能类作业】必做题：
解：设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩，
得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，
．
答：A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩．
【知识技能类作业】选做题：
4．一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔支以上（不包括支），可以按批发价付款；购买支以下（包括支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买支，那么只能按零售价付款，需用元；如果多购买支，那么可以按批发价付款，同样需用元．如果按批发价购买支铅笔与按零售价购买支所付款相同，那么这个学校八年级学生有 人．
【综合拓展类作业】
5．科技兴趣小组分别编制了甲、乙两款人工智能软件．
(1)用甲软件解5个同等难度方程的时间与用乙软件解2个同等难度方程的时间之和为90秒，用甲软件解3个同等难度方程的时间与用乙软件解4个同等难度方程的时间之和为96秒．求甲、乙两款软件解一个同等难度方程所用的时间各是多少秒？
(2)科技小组对甲款软轨件进行了算法优化，优化后的软件解同一个方程所用时间为优化前的，用时96秒时，优化后的软件所解方程的个数比优化前的软件多2个，求甲软件优化前与优化后解一个同等难度方程所用的时间分别是多少秒？
【综合拓展类作业】
解：（1）设甲软件解一个方程所用时间为x秒，乙软件解一个方程所用时间为y秒，
根据题意，得
解得，
所以甲软件解一个方程用12秒，乙软件用15秒；
【综合拓展类作业】
（2）设甲软件优化前解一个方程所用时间为t秒，则优化后所用时间为秒，
在96秒内，优化前软件解方程个数为，优化后为
根据题意，得，
所以
即
解得
检验：是原分式方程的解，
所以优化前用12秒，优化后用秒．
