3.3 幂函数 教学设计

幂函数
【教学目标】
结合y＝x，y＝x－1，y＝x2，，y＝x3的图象，掌握幂函数的概念、图象和性质．
掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性比较幂值的大小．
【教学重难点】
1结合y＝x，y＝x－1，y＝x2，，y＝x3的图象，掌握幂函数的概念、图象和性质．
2掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性比较幂值的大小．
【引入】
在下面问题中得出的函数解析式中，观察有什么共同特征？
(1)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；
(2)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；
(3)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝，这里c是S的函数；
(4)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度＝ km/s，即＝t－1，这里是t的函数．
【新知学习】
一、幂函数的概念
【知识梳理】
幂函数的概念：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中x是自变量， α是常数.
例1（1）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.其中，幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
提炼小结：判断函数为幂函数的步骤
（1）自变量x前的系数为1.
（2）底数为自变量x.
（3）指数为常数．
【变式演练】（1）已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)=(　　)
A. B．2 C. D.
（2）若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝________.
二 幂函数的图象与性质
【知识梳理】
1．幂函数的性质
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 在[0，＋∞) 上增，在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞) 上减，在(－∞，0) 上减
公共点
2. 当α>0时，幂函数y=xα 的图象过 ，且在区间[0，＋∞)上是 函数．特别地，当α>1时，
幂函数的图象上凹；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
例2（1）若函数为幂函数，且在区间上单调递减，则（ ）
A． B．3 C．或3 D．2或
【思维导图】
（2）幂函数在第一象限的图象如图所示，则的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
（3） 幂函数满足下列性质：①对定义域中任意的，有；②对中任意的，都有，请写出满足这两个性质的一个幂函数的解析式___________．
【感悟与思考】：　
（1）幂函数图象的作法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性，确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．
（2）解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．
变式演练 已知幂函数在区间上是单调递增函数，且的图象关于y轴对称，则m的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
三 利用幂函数的单调性比较大小
例3试比较下列各组数的大小．
（1）；
（2）；
（3）.
【思维导图】
提炼小结：此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
变式演练（1）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
【随堂练习】
1．已知点在幂函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，定义域为R的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知幂函数的图象过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A．． B．
C． D．
4．（多选题）已知幂函数图象过点，则下列命题正确的有（ ）
A． B．函数的定义域为
C．函数为偶函数 D．若，则
5．已知幂函数 的图象关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足
，则的取值范围是_____．
如何讨论对称轴与定义域的关系
二次函数的最值需要哪些要素
由幂函数定义求
分类讨论、数形结合的灵活运用
幂函数单调性与什么有关？
指数相同研究幂函数单调性
能不能引入中间量分类