1.5.1 矩形的性质 课件（共34张PPT）--湘教版八年级数学下册同步培优备课课件（新教材）

(共34张PPT)
湘教版(新教材）数学8年级下册公开课精做课件
第1章 四边形
1.5.1 矩形的性质
我们在小学就已经认识了长方形，从直观上看，长方形与平行四边形之间有什么区别与联系？
观察图中的长方形，它是平行四边形吗？它有什么特点呢？
新知探究
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有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也称为长方形.
矩形的定义：
有一个角是直角
作为一种特殊的平行四边形，矩形除了具有平行四边形的所有性质外，是否还具有一些特殊的性质？
矩形的四个角都是直角吗？矩形的两条对角线相等吗？为什么？
如图，四边形ABCD是矩形，∠DAB是直角，对角线AC，BD相交于点O.
求证：（1）矩形ABCD的四个角都是直角.
（2）AC = BD.
证明：根据矩形的定义可知，四边形 ABCD 是平行四边形，
于是AD // BC，且 AB // DC.
因此∠ABC = ∠ADC = 180°– ∠DAB = 90°.
∠BCD =∠DAB = 90°.
如图，四边形ABCD是矩形，∠DAB是直角，对角线AC，BD相交于点O.
求证：（1）矩形ABCD的四个角都是直角.
矩形的性质定理 1：
矩形的四个角都是直角.
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A =∠B=∠C =∠D = 90°.
A
B
D
C
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB = DC.
根据矩形的性质定理 1 得，∠ABC = ∠DCB = 90°.
又BC = CB，
所以△ABC≌△DCB （边角边）.
从而 AC = DB.
如图，四边形ABCD是矩形，∠DAB是直角，对角线AC，BD相交于点O.
求证：（2）AC = BD.
矩形的性质定理 2：
矩形的对角线相等.
几何语言：
∵AC，BD是矩形ABCD的对角线.
∴AC=BD.
例1 矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AC = 4 cm，∠AOB = 60°，如图所示. 求 BC 的长.
所以△AOB 是等边三角形.
于是 AB = OA = 2 cm.
又∠AOB = 60°，
因为∠ABC = 90°，
解 因为四边形 ABCD 是矩形，
所以
所以在 Rt△ABC 中，
矩形的四个角都是直角，
对角线相等．
矩形是中心对称图形，对角线的交点是矩形的对称中心.
画出一个矩形 ABCD，把它剪下来，怎样折能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
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阅读课本P27、28，进一步理解
为什么矩形是轴对称图形.
矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.
平行四边形 矩形
对边平行且相等
四条边都相等
对角相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分一组对角
√
平行四边形和矩形对比
√
√
√
√
√
√
√
矩形的对角线是它的对称轴吗？你的结论与同学相同吗？
解：如右图所示，在矩形ABCD中，
AC=BD=2cm，∠AOB=60°，
已知矩形的一条对角线的长度为 2 cm，两条对角线的一个夹角为 60°，求矩形的面积.
【选自教材P28 练习 第1题】
∴AO = AC，BO = BD，
∴AO=BO = ×2=1(cm)，
∴△AOB是等边三角形. ∴AB=1cm.
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理，得
∴矩形的面积为1× = cm2.
已知矩形的一条对角线的长度为 2 cm，两条对角线的一个夹角为 60°，求矩形的面积.
【选自教材P28 练习 第1题】
2. 如图，四边形 ABCD 为矩形，试利用矩形的性质定理证明： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
证明：如图，∵ BD，AC 是矩形 ABCD 的对角线，
∴BD = AC.
∴ BO = BD = AC.
即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【选自教材P28 练习 第2题】
3. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE // AC，交DC的延长线于点E. 求证：BD=BE.
解：∵ AC，BD 是矩形 ABCD 的对角线，
∴AC = BD，AB // DE.
∴AC=BE.
【选自教材P28 练习 第3题】
又∵ BE // AC
∴四边形 ABEC是平行四边形.
∴BD=BE.
D
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1．
如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是(　　)
A．AB∥CD
B．AD＝BC
C．∠AOB＝45°
D．∠ABC＝90°
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A
2．
下列性质中，矩形不一定具有的是(　　)
A．对角线互相垂直 　
B．是轴对称图形
C．对角线互相平分且相等 　
D．邻边互相垂直
C
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3．
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2，则AC的长为(　　)
A．6
B．5
C．4
D．3
4．
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D
如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是(　　)
A．∠1＝45°－α B．∠1＝α
C．∠2＝90°－α D．∠2＝2α
5．
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3
6．
返回
5
[内江中考]如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E，F分别是边AD，CD上的动点，连接BE，EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是________.
7．
【解】如图．
[烟台中考]如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题：
(1)利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F，AB＝1，BC＝2，求AF的长.
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8．
出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，AB＝4，E是CD边上一点，过点E作EH⊥BD，EG⊥AC，
则EH＋EG的值是(　　)
A．2.4 B．2.5 C．3 D．4
【点拨】
【答案】A
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9．
90°
如图，在矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE＝AC，连接AE，F是AE的中点，连接BF，DF，则∠BFD＝________.
10．
①②
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形的定义：
矩形的性质:
矩形的四个角都是直角.
矩形是中心对称图形，对角线的交点是矩形的对称中心.
矩形的对角线相等.
矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.
谢谢观看！