1.5.2 矩形的判定 课件（共30张PPT）--湘教版八年级数学下册同步培优备课课件（新教材）

(共30张PPT)
湘教版(新教材）数学8年级下册公开课精做课件
第1章 四边形
1.5.2 矩形的判定
矩形有哪些特殊性质？
四个角都是直角
对角线相等
是轴对称图形
我们知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形，这是矩形的定义，可以依此判定一个平行四边形是否是矩形.如果将定义中的“平行四边形”改成“四边形”，同时将“一个角是直角”改为“两个角”（或三个角）是直角”，可以判定它是矩形吗？为什么
两个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形.
三个角是直角的四边形是矩形.
如图，四边形 ABCD 中，∠A，∠B，∠C都是直角.
由于∠A=∠B=∠C=90°，
所以∠D=360°－∠A－∠B－∠C=90°.
因此AD // BC，AB // DC.
从而四边形ABCD是平行四边形.
又∠A=90°，由矩形的定义得，
四边形ABCD是矩形.
A
B
D
C
矩形的判定定理1：
三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
∵∠A=∠B=∠C=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
D
C
把两根长度相等的细木条AC和BD的中点钉在一起，如图所示. 连接AB，BC，CD，DA，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？是矩形吗？为什么？
由于OA = OC，OB = OD，
所以△ABC≌△DCB(边边边)，
∴从而∠ABC = ∠DCB.
于是∠ABC = ×180°= 90°.
因此，平行四边形ABCD是矩形.
所以四边形ABCD是平行四边形，
从而 AB=DC，AB // DC.
又AC=BD，BC // CB.
又由 AB // DC 得，∠ABC + ∠DCB = 180°，
四边形ABCD是平行四边形，也是矩形.
矩形的判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵ □ ABCD的对角线 AC=BD.
∴ □ ABCD是矩形.
想一想：对角线相等的四边形是矩形吗？
等腰梯形
对角线相等的四边形不一定是矩形.
例2 如图，在 □ ABCD 中，它的两条对角线相交于点 O.
（1）如果 □ ABCD是矩形，试问：△OBC 是什么样的三角形？
（2）如果△OBC 是等腰三角形，且 OB = OC，那么□ ABCD 是矩形吗？
所以 AC 与 DB 相等且互相平分.
所以 △OBC 是等腰三角形.
解 （1） 因为□ ABCD是矩形，
（2）因为△OBC 是等腰三角形，且OB = OC，
所以 AC = 2OC = 2OB = BD.
因此，□ ABCD 是矩形.
例2 如图，在 □ ABCD 中，它的两条对角线相交于点 O.
（1）如果 □ ABCD是矩形，试问：△OBC 是什么样的三角形？
（2）如果△OBC 是等腰三角形，且 OB = OC，那么□ ABCD 是矩形吗？
证明：如图，
∵四边形 ABCD 的内角和为 360°，
∴∠A=∠B=∠C = ∠D =90°.
∴四边形 ABCD 是矩形.
在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C =∠D，
求证：四边形 ABCD 是矩形.
【选自教材P30 练习 第1题】
证明：∵ 四边形ABCD 为平行四边形，
∴OB = OD，OA=OC
又∵BM = DN ，∴OM=ON
∴ 四边形AMCN为平行四边形.
又∵ AC = 2MO，∴ AC = MN.
∴平行四边形AMCN是矩形.
2. 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O， 其中M，N是BD上的两点，且BM = DN，AC = 2MO. 求证：四边形AMCN 是矩形.
【选自教材P30 练习 第2题】
解：由题意得， AB = 2，AO = AC = 2，∠AOB = 60°，
∴△AOB为等边三角形.
∴ BO =2 ，BD = 2BO = 4 . ∴AC = BD.
∴□ ABCD 是矩形.
在 Rt △ABC 中，BC =
∴□ ABCD 的面积为 .
3. 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O， ∠AOB = 60°，AB = 2，AC = 4，求 □ ABCD 的面积.
1.如图，在矩形 ABCD 中， E 是 AB 上一点，F 是 AD 上一点，EF⊥FC，且 EF = FC，DF = 4 cm，求 AE 的长.
解：∵ EF ⊥ FC，∴ ∠AFE+∠DFC=90°.
又∠DCF+∠DFC=90°，∴ ∠DCF = ∠AFE ．
又∠A=∠D=90°，EF=FC，
∴△FAE ≌ △CDF(角角边)．
∴AE = DF = 4 cm.
【选自教材P31 习题1.5 第1题】
2. 如图，在□ ABCD 中，M 为 AD 的中点，BM=CM.
求证：四边形ABCD是矩形.
【选自教材P31 习题1.5 第2题】
证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB = DC.
又∵M 是AD 的中点，∴ AM = DM.
在△ABM 和△DCM 中，
AB = DC，AM = DM，BM = CM，
∴△ABM≌△DCM(边边边). ∴∠A = ∠D.
∵AB // DC， ∴∠A +∠D = 180°.
∴∠A = ∠D = 90°.
∴□ ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
3.如图，△ABC是直角三角形，BO是斜边AC上的中线，延长BO至D，使OD = OB，连接AD，DC. 求证：四边形ABCD是矩形.
【选自教材P31 习题1.5 第3题】
证明: ∵△ABC 是直角三角形， BO 是斜边AC 上的中线，
∴BO = AO = CO = AC， ∴AC = 2BO.
又∵OD = OB，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵BD = 2BO，∴BD = AC.
∴ □ ABCD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OA = OB = OC = OD = AC = BD.
又∵E，F，G，H 分别是OA，OB，OC，OD 的中点，
∴ OE = OA， OF = OB， OG = OC， OH = OD.
∴ OE = OF = OG = OH = EG = FH.
由 OE = OG， OF = OH 得四边形 EFGH 是平行四边形.
由EG = FH 得 □ EFGH 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，连接EF，FG，GH，HE. 求证：四边形EFGH是矩形.
【选自教材P31 习题1.5 第4题】
证明：在 □ ABCD 中，∵ AB // CD，
∴∠ABC +∠BCD = 180°.
又∵ BH 平分∠ABC，CH 平分∠BCD，
∴∠HBC = ∠ABC，∠HCB = ∠BCD，
∴∠HBC +∠HCB = ∠ABC + ∠BCD = ×180° = 90°.
∴∠BHC = 90°. 同理可得：∠HEF = ∠EFG = 90°.
∴四边形 EFGH 是矩形.
【选自教材P31 习题1.5 第5题】
5.如图，在□ ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，
G，H. 求证：四边形EFGH是矩形.
6. 在矩形 ABCD 中，AB = 3 cm， AD = 4 cm，过对角线 BD 的中点 O 作 BD 的垂线 EF，分别交 AD，BC于点 E，F， 如图所示，求 AE 的长.
【选自教材P32 习题1.5 第6题】
解：如右图所示，连接 BE. ∵AD = 4 cm，
设AE = x cm，则DE = (4 – x) cm.
又∵EF 是 BD 的垂直平分线，
∴BE = DE = (4 – x) cm.
在矩形ABCD中，∠A = 90°，
在Rt△ABE 中，由勾股定理， 得AE2 + AB2 = BE2 ，
7. 如图，E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD上的点，连
接AE，BF. 请从条件①AB=BC，② BE=CF， ③ AE=BF，
④∠AEB = ∠BFC中，选择两个作为已知条件，一个作为结论，组成一个真命题，并证明这个命题（只需写出一种情况）.
【选自教材P32 习题1.5 第7题】
（答案不唯一，如：）
解：①②作为已知条件，③作为结论，证明如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABE=∠C=90°.
又∵ AB=BC，BE=CF，
在△ABE与△BCF中，
AB=BC，∠ABE=∠C=90°，BE=CF，
∴ △ABE≌△BCF（边角边）. ∴AE=BF.
A
B
D
C
E
F
8. 如图，一张四边形纸板ABCD的两条对角线互相垂直. 若要从这张纸板中剪出一个矩形，并使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可怎样剪（剪法不唯一）？
【选自教材P32 习题1.5 第8题】
答案不唯一，矩形的边所在的直线需有两条平行于AC，另外两条平行于BD.
D
A
C
B
O
D
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1．
[德阳中考]如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是(　　)
A．AB∥CD
B．AB＝BC
C．∠ABC＝∠ADC
D．AC＝BD
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D
2．
在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形相框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4名同学拟定的方案，其中正确的是(　　)
A．测量对角线是否互相平分
B．测量对角线是否相等
C．测量一组对角是否为直角
D．测量四边形的其中三个角是否都为直角
C
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3．
[临沂模拟]如图，在 ABCD中，DE⊥BC于点E，用尺规在AD上作出点F，使得四边形BEDF为矩形，则下列说法正确的是(　　)
小洛：如图①，连接AC，
BD交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，连接BF.
小宇：如图②，在AD上截取DF＝BE，连接BF.
A．小洛的作法正确 B．小宇的作法正确
C．两人作法都正确 D．两人作法都不正确
4．
返回
如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件：____________时，四边形PEMF为矩形.
5．
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24
如图，将矩形ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，则矩形ABCD的面积是________.
6．
4
如图，∠BAC＝30°，点P是∠BAC的平分线上一点，PM∥AC交AB 于点M，PD⊥AC于点D，若PM＝8，则PD＝________.
矩形的判定定理：
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