1.6.2 菱形的判定 课件（共29张PPT）--湘教版八年级数学下册同步培优备课课件（新教材）

(共29张PPT)
湘教版(新教材）数学8年级下册公开课精做课件
第1章 四边形
1.6.2 菱形的判定
（1）菱形的定义.
（2）除了用菱形的定义来判断一个四边形是否是菱形之外，还有其他判别方法吗？
一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
如图，用 4 支长度相等的铅笔首尾相接组成一个四边形，这个四边形是菱形吗？
你能试着证明吗？
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：在四边形 ABCD 中，
因为 AD = BC， AB = DC，
所以 四边形 ABCD 是平行四边形.
又因为 AB = AD，由菱形的定义得，
四边形 ABCD 是菱形.
菱形的判定定理1：
四条边都相等的四边形是菱形.
A
B
D
C
例2 如图，在四边形 ABCD 中，线段 BD 垂直平分 AC，且相交于点 O，∠1 =∠2. 求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明 因为线段 BD 垂直平分AC ，
所以 BA = BC，DA = DC，OA = OC.
在△AOB 和△COD 中，
因为∠1 =∠2，∠AOB =∠COD，OA = OC.
所以 △AOB≌△COD（角角边），从而 AB = CD，
因此 AB = BC = CD = DA.
于是四边形 ABCD 是菱形(四条边都相等的四边形是菱形).
我们已经知道，菱形的两条对角线互相垂直，反过来，两条对角线互相垂直的四边形是菱形吗？两条对角线互相垂直的平行四边形呢？
两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.
A
B
C
D
O
两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
D
A
B
C
O
你能试着证明吗？
我们已经知道，菱形的两条对角线互相垂直，反过来，两条对角线互相垂直的四边形是菱形吗？两条对角线互相垂直的平行四边形呢？
如图，在□ ABCD中，AC⊥BD，垂足为O.
求证： □ ABCD是菱形.
证明：在□ ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，
则 OA= OC，
于是直线 BD 是线段 AC 的垂直平分线.
根据线段垂直平分线的性质定理得，DA= DC.
于是□ ABCD 是菱形.
菱形的判定定理2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
D
A
B
C
O
例3 如图，在□ ABCD 中，AC = 6，BD = 8，AD = 5. 求 AB 的长.
因此 AB = AD = 5 .
解 因为四边形 ABCD 为平行四边形，
所以△DAO 是直角三角形，∠DOA=90°，
即 DB⊥AC.
于是□ ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
又因为 AD = 5，满足 AD2 = OA2 + OD2，
随堂练习
能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A. 对角线相等且互相垂直
B. 对角线相等且互相平分
C. 对角线互相垂直
D. 对角线互相垂直平分
D
2. 如图，在□ ABCD 中， 对角线 AC， BD
相交于点 O， 添加下列条件不能判定 □ ABCD 是菱形的是（ ）
A. AC⊥BD B. AB＝BC
C. AC＝BD D. ∠1＝∠2
C
3. 画一个菱形，使它的两条对角线的长度分别为 4 cm，3 cm.
作法示例：作线段 AC = 4 cm，作 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 O.
以点 O 为圆心，1.5 cm 为半径作圆，交垂线于点 D，点B，则 BD = 3 cm，且 AC 垂直平分 BD.
连接 AB，BC，CD，AD.
【选自教材P38 练习 第1题】
证明：在△BON和△DOM 中，
∠BON =∠DOM = 90°，BO = DO，
∠DBN = ∠BDM，
∴ △BON≌△DOM. ∴OM=ON.
∵BD，NM 是四边形 BNDM的两条对角线且互相平分，
∴四边形 BNDM 是平行四边形.
又∵MN⊥BD， ∴四边形 BNDM 是菱形.
4. 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点
O，过点 O 作 MN⊥BD，分别交 AD，BC 于点M，N. 求证：四边形 BNDM 是菱形.
【选自教材P38 练习 第2题】
解：相等.
理由：因为菱形的每条对角线平分一组对角，而角平分线上的点到角两边的距离相等.
【选自教材P38 习题1.6 第1题】
1.菱形的对角线的交点到一组邻边的距离相等吗？为什么？
2. 四边形 ABCD 是菱形，边长为 2 cm， ∠BAD = 60°，求菱形 ABCD 的两条对角线的长度以及它的面积.
【选自教材P38 习题1.6 第2题】
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，AB=AD=BC=CD.
又∵∠BAD =60°，∴△ABD 是等边三角形.
∵菱形 ABCD 的边长为2 cm，∴ BD =2 cm，
∴ OD = BD = ×2=1 (cm).
在 Rt△AOD 中，由勾股定理， 得
∴ AC = 2OA = cm.
解：∵四边形ABCD是菱形，
3. 如图，在△ABC 中，AB =AC，点 D，E，F 分别是 AB，BC，AC 的中点.
（1）求证：四边形 ADEF 是菱形.
（2）若 AB = 12 cm，求菱形 ADEF 的周长.
【选自教材P38 习题1.6 第3题】
（1）证明：∵ D，E，F 分别是 AB， BC， AC 的中点，
∴ DE， EF 是△ABC 的中位线.
∴ DE // AC， DE = AC， EF // AB， EF = AB.
∴四边形 ADEF 是平行四边形.
又∵AB =AC，∴ DE = EF. ∴ □ ADEF 是菱形
(一组邻边相等的平行四边形是菱形).
（2）解： 若AB =12 cm，则 EF = AB = 6 cm.
∴菱形ADEF 的周长为 4EF = 4×6= 24（cm）.
解：一定是菱形.
理由：因为四边形 ADBC 的四条边相等，且四条边相等的四边形一定是菱形.
4. 小明在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：
如图，分别以点A，B为圆心，以大于 AB的定长为半
径画弧，两弧相交于C，D，连接CD，则直线CD即为所求. 根据他的作图方法，四边形ADBC一定是菱形吗？试说明理由.
【选自教材P38 习题1.6 第4题】
5. 如图，把等腰三角形 ABC 绕底边 AC 的中点 O 旋转180°，得到△CDA，试问： 四边形 ABCD 是菱形吗？为什么？
【选自教材P38 习题1.6 第5题】
解：是菱形.
理由：∵△CDA 是 △ABC 的像，
∴ AB = CD， AD = BC.
又∵△ABC 为等腰三角形，∴AB =BC，
∴ AB = BC = CD = DA，
∴四边形 ABCD是菱形(四条边都相等的四边形是菱形).
证明：如图，连接 BD.
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AD = AB，AD // BC.
∴∠A =180°–∠ABC = 180°– 120°= 60°.
∴△ABD 是等边三角形.
∵ BE⊥AD，∴ AE = DE.
A
B
C
D
E
6. 如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC = 120°，作 BE⊥AD，垂足为点 E. 求证：AE = DE.
【选自教材P39 习题1.6 第6题】
7. 如图，点 E，F 分别在□ ABCD 的边 AB，BC 上，AE = CF，连接 DE，DF. 请从条件 ①∠1 =∠2，②DE = DF，③∠3 =∠4 中，选择一个作为已知条件，
使□ ABCD成为菱形.
（1）你选择的条件是________（填序号）；
（2）选择条件后，请证明□ ABCD 是菱形.
【选自教材P39 习题1.6 第7题】
D
A
C
B
E
F
1
2
3
4
①
证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠A=∠C.
又∵∠1=∠2，AE=CF，
∴△ADE≌△CDF(角角边). ∴AD =CD. ∴ □ ABCD是菱形.
7. 如图，点 E，F 分别在□ ABCD 的边 AB，BC 上，AE = CF，连接 DE，DF. 请从条件 ①∠1 =∠2，②DE = DF，③∠3 =∠4 中，选择一个作为已知条件，
使□ ABCD成为菱形.
（1）你选择的条件是________（填序号）；
（2）选择条件后，请证明□ ABCD 是菱形.
【选自教材P39 习题1.6 第7题】
证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠A=∠C.
又∵AE=CF，∠3=∠4，
∴△ADE≌△CDF(角边角). ∴AD =CD. ∴ □ ABCD是菱形.
③
D
A
C
B
E
F
1
2
3
4
8. 如图，在△ABC 中，D 为 BC 边的中点，过点 D 分别作 ED // AB，FD // AC，分别交 AC，AB 于点 E，F.
（1）求证：△BDF≌△DCE.
【选自教材P39 习题1.6 第8题】
A
B
C
D
E
F
证明： ∵ D 为 BC 边的中点，∴ BD = DC.
又∵ ED // AB，FD // AC，
∴DF，DE 为△ABC 的中位线，
且四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ DF = AE = EC，DE = AF = BF.
在△BDF 与△DCE 中，∵BF = DE，FD = EC，BD = DC，
∴△BDF≌△DCE(边边边).
（2）在原有条件不变的情况下，如果给△ABC 添加一个条件，使四边形 AFDE 成为菱形，则该条件是____________；若使四边形 AFDE 成为矩形，则该条件是_____________. 请选择一个结论进行证明.
【选自教材P39 习题1.6 第8题】
AB = AC
∠A = 90°
8. 如图，在△ABC 中，D 为 BC 边的中点，过点 D 分别作 ED // AB，FD // AC，分别交 AC，AB 于点 E，F.
A
B
C
D
E
F
证明：由（1）得，四边形 AFDE 是平行四边形，且 DF，DE为△ABC 的中位线，
则 E，F 分别为 AC，AB的中点.
又∵AB = AC，
∴AF = AE，
∴平行四边形 AFDE 是菱形.
① 如图，在△ABC 中，D 为 BC 边的中点，过点 D 分别作 ED // AB，FD // AC，分别交 AC，AB 于点 E，F. 已知 AB = AC，求证：四边形 AFDE 是菱形.
A
B
C
D
E
F
证明：由（1）得，四边形 AFDE 是平行四边形.
又∵∠A = 90°，
∴四边形 AFDE 是矩形.
① 如图，在△ABC 中，D 为 BC 边的中点，过点 D 分别作 ED // AB，FD // AC，分别交 AC，AB 于点 E，F. 已知 ∠A = 90°，求证：四边形 AFDE 是矩形.
A
B
C
D
E
F
菱形的判定定理1：
四条边都相等的四边形是菱形.
菱形的判定定理2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
课堂小结
谢谢观看！