1.7 正方形 课件（共32张PPT）--湘教版八年级数学下册同步培优备课课件（新教材）

(共32张PPT)
湘教版(新教材）数学8年级下册公开课精做课件
第1章 四边形
1.7 正方形
瓷砖（如下图）的形状大多是正方形，它是什么样的四边形呢？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？
正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
正方形是有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形.
正方形是一组邻边相等的矩形.
正方形是有一个角是直角的菱形.
试着用一张长方形纸片折出一个正方形.
新知探究
我们把有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
定义
有一个角是直角
一组邻边相等
一组邻边相等
有一个角是直角
说一说，正方形具有哪些性质？
正方形的四条边都相等.
AB=BC=CD=DA
正方形的四个角都是直角.
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
正方形的对角线相等，且互相垂直平分.
AC=BD且AC⊥BD，OA=OC，OB=OD
请根据平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，在下图中适当的空白处填上它们的名称.
平行四边形
矩形
菱形
正方形
（1）正方形是中心对称图形吗？若是，它的对称中心是什么？
（2）正方形是轴对称图形吗？若是，它的对称轴是什么？
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
证明
因为四边形 ABCD 为正方形，
所以 AD = CD，∠A = ∠DCF = 90°.
因为 DF⊥ DE，
所以∠EDF = 90°，即 ∠1+∠3 = 90°.
又因为∠2 +∠3 = 90°，∴∠1 = ∠2.
因此△AED≌△CFD（角边角），
从而 DE = DF.
例1 如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上任意一点，过点 D 作 DF⊥DE， 交 BC 的延长线于点 F.
求证：DE = DF.
观察示意图，如何判断一个四边形是正方形？
先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等.
先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角.
例2 如图， 已知点 A′，B′，C′，D′ 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AA′ = BB′ = CC′ = DD′.
求证：四边形 A′B′C′D′ 是正方形.
又因为AA′ = BB′，所以 A′B = B′C.
又因为∠B =∠C= 90°， B′B′ = CC′，
所以△BB′A′≌△CC′B′（边角边），
从而 B′A′ = C′B′.
同理可证，△AA′D′≌△DD′C′，△AA′D′≌△BB′A′.
于是 A′D′= D′C′= C′B′= B′A′.
因此四边形 A′B′C′D′ 是菱形.
又因为∠1 =∠3，∠1 +∠2 = 90°，所以∠2 +∠3 = 90°.
于是∠D′A′B′= 90°. 因此四边形 A′B′C′D′ 是正方形.
证明
因为四边形 ABCD 是正方形，所以AB = BC.
边 角 对角线 对称性
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对边平行
且相等
对角相等
两条对角线互相平分
中心对称
对边平行
且相等
四个角
都是直角
两条对角线互相平分且相等
轴对称
中心对称
对边平行，
四条边都相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，
每条对角线平分一组对角
轴对称
中心对称
几种特殊四边形的性质
对边平行，
四条边都相等
四个角
都是直角
两条对角线互相垂直平分且相等， 每条对角线平分一组对角
轴对称
中心对称
特殊四边形的常用判定方法
平行
四边形
（1）两组对边分别平行；
（2）两组对边分别相等；
（4）两条对角线互相平分；
（5）两组对角分别相等
矩形
（1）有三个角是直角；
（2）有一个角是直角的平行四边形；
（3）两条对角线相等的平行四边形
菱形
（1）四条边都相等；
（2）有一组邻边相等的平行四边形；
（3） 两条对角线互相垂直的平行四边形
正方形
（2）有一组邻边相等的矩形；
（3）有一个角是直角的菱形
平行且相等；
（1）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形；
（3）一组对边
1. 已知正方形的一条对角线长 4 cm，求它的边长和面积.
【选自教材P42 练习 第1题】
解：设正方形的边长为x cm，
根据勾股定理，得x2 + x2=42，
解得 （舍去） .
∴ S正方形 = x2 = 8 (cm2).
∴ 正方形的边长为 cm，面积为 8 cm2.
随堂练习
2. 如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个矩形一定是正方形吗？为什么？
理由：由两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得此矩形的四条边都相等，即为正方形.
答：是正方形.
【选自教材P42 练习 第2题】
3. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 为菱形 AEFC 的一边，求 ∠FAB 的度数.
解：在正方形 ABCD 中，∵ AC 为对角线，∠DAB = 90°，
∴AC 平分∠DAB，即∠CAE = ∠DAC = 45°.
【选自教材P42 练习 第3题】
A
B
E
F
D
C
又∵在菱形 AEFC 中，AF 为对角线，
∴AF 平分∠CAE，即∠FAB = ∠CAF = 22.5°.
解： 在正方形 ABCD 中，AD = DC，∠ADC = 90°.
在等边三角形△DCE 中，DE = DC，∠CDE = 60°.
∴ AD = DE，∴ ∠DAE = ∠DEA(等边对等角)，
∠ADE = ∠ADC + ∠CDE = 90°+ 60°= 150°.
同理∠BEC = 15°.
因此∠AEB = ∠DEC – ∠DEA – ∠BEC = 30°
1. 如图， 在正方形 ABCD 的外侧作等边△DCE，连接 AE，BE， 求∠AEB 的度数.
【选自教材P43 习题1.7 第1题】
证明：∵OF⊥AC 于 F，OG⊥BC 于 G，
∴∠OGC =∠C =∠CFO = 90°.
∴四边形 OGCF 是矩形.
过点 O 作 OH⊥AB 于 H.
∵∠BAC，∠ABC 的平分线 AD，BE 相交于点 O，
∴OF = OH = OG.
∴四边形 OGCF 是正方形.
2. 如图，在 Rt△ABC 中，两锐角的平分线 AD，BE 相交于点 O，OF⊥ AC 于点 F，OG⊥BC 于点 G. 求证：四边形 OGCF 是正方形.
H
【选自教材P43 习题1.7 第2题】
3. 如图， 将正方形 ABCD 的各边 AB，BC，CD，DA 顺次延长至 E，F，G，H，且 BE = CF = DG = AH. 求证：四边形 EFGH 是正方形.
证明：在 Rt△EAH 和Rt△FBE 中，
∵BF = AE，BE = AH，
∴Rt△EAH≌Rt△FBE . ∴HE = EF.
同理可证：EF = FG = GH.
由此得四边形 EFGH 是菱形.
∵∠AEH +∠AHE = 90°，又∠AHE = ∠BEF，
∴∠AEH +∠BEF = 90°，即∠HEF = 90°.
∴ 四边形 EFGH 为正方形.
【选自教材P43 习题1.7 第3题】
4. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上移动（E，F 不处在正方形的顶点上），且点 A 到 EF 的距离 AG 始终与 AB 相等，在 E，F 移动过程中：
（1）∠EAF 的大小是否发生变化？请说明理由.
（2）△ECF 的周长是否发生变化？请说明理由.
【选自教材P43 习题1.7 第4题】
解：（1） ∠EAF 的大小始终为 45°，理由如下：
在 Rt△ABE 与 Rt△AGE 中，
∵AB = AG，AE = AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）.
同理可得， Rt△ADF≌Rt△AGF.
∴∠BAE =∠GAE，∠DAF =∠GAF.
又∵∠BAE +∠GAE +∠DAF +∠GAF =∠BAD = 90°
∴∠EAF = ∠GAE + ∠GAF = ∠BAD = 45°.
（2） △ECF的周长不发生变化，理由如下：
由（1）得， Rt△ABE≌Rt△AGE，
Rt△ADF≌Rt△AGF
∴EG = EB，FG = FD.
∴ △ECF 的周长 = EF + EC + FC
= EG + FG + EC + FC
= EB + FD + EC + FC
= BC + DC
B
返回
1．
如图，△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻折，得到的△DBC与△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是(　　)
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
返回
A
2．
依据所标数据，下列平行四边形不是菱形的是(　　)
B
返回
3．
[德阳中考]如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，BD＝AC，四边形EFGH的面积为24，HF＝6，则GH＝(　　)
A．4
B．5
C．8
D．10
4．
返回
菱形
四边形ABCD为矩形，过点A，C作BD的垂线，过点B，D作对角线AC的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为________.
5．
如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉形成的锐角为60°，则四边形ABCD的周长为________cm.
【点拨】
返回
6．
80
[永州期末]如图，E，F分别在BC和CD上，AB＝AE＝AF＝AD＝BC＝CD＝EF，则∠D＝________°.
1. 说一说正方形的定义。
2. 正方形有哪些性质？
3.如何判定一个四边形是正方形？
谢谢观看！