数学参考答案及赋分标准
一、选择题:：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D C C A D B
1.【答案】A【解析】 lg2 lg5 lg10 1，选项 A正确.
2.【答案】B【解析】A {x Z |x 2 x 6 0} {x Z | (x 3)(x 2) 0} { 1,0,1,2}，
故 UA { 3, 2,3}，选项 B正确.
3.【答案】D【解析】设 z x yi，则 z x yi，从而2yi 2i,x 2 y 2 5，即x 2 4,y 1，
从而 z z 2x 4，选项 D正确.
1
4.【答案】C【解析】所求圆锥侧面积S 2π 1 2 2π，C正确.
2
5. 【答案】C【解析】 A是必要条件，举例如下：若函数 f (x ) sinx ，显然有对于任意x D ，
f (x ) 2，但 f (x )的最大值不是 2；B显然错误；C正确，D是充要条件.
π π π π
6．【答案】A【解析】C,D是周期函数，A,B不是周期函数，当 x ( , )时， |2x | 2x ( , )，
6 4 3 2
选项 A正确.
x x
7.【答案】D【解析】因为 f ( ) 4 1 4 1 1 1x 2 2 2 (2
x 2 x )，所以 f ( x ) f (x )，
2x x 2x 2x 2x
M
因此M m 0，即 1 .
m
a
8.【答案】B【解析】因为 n 1
1 1 2 1 1 1
，即 1，故 1 2 ( 1)， 1 2n 1，
an 2 an an 1 an an 1 an an
n 1
所以 2n n 1 1000，解得n 9，选 B.
i 1 ai
二、选择题：
题号 9 10 11
答案 AC BCD ABD
1 1
9.【答案】AC【解析】因为a b (a b)( ) 4，等号成立当且仅当a b 2，
a b
1 1
所以a b的最小值为 4，选项 A正确；令a b 2，满足 1，但此时ab 4，
a b
所以ab的最大值不是 2，选项 B错误；
1 1 b2 a2 b a
因为a2 b2 (a 2 b2 )( )2 2 + （2 + ） 8，等号成立当且仅当a b 2，
a b a2 b2 a b
a 2 b2 a b
（或 4 a2 b2 8）即a2 b2的最小值为 8，故选项 C正确；
2 2
1 1 1 1
2
因为 a b
2 a b 1 1 1 1 1 1 1 ，所以 ，等号成立当且仅当a b 2，即 的最小值为 ，
2 2 2 a2 b2 2 a2 b2 2
因而选项 D错误.
10.【答案】BCD【解析略】画图即知.
11.【答案】ABD【解析】由a2 b2 bc以及正弦定理知 sin2A sin2B sinB sinC，
易证 sin2A sin2B sin(A B)sin(A B)（正弦平方差公式），
又 sin(A B) sinC 0，故 sin(A B) sinB 0，可得A 2B，选项 A正确；
由余弦定理知a2 b2 c2 2bc cosA，代入a2 b2 bc得c2 2bc cosA bc，
即c b 2b cosA，选项 B正确；
若a 3 ,b 2 2 π π1，由a b bc得c 2,C ，从而 ACD BCD ,
2 4
1 1 1
由S△ABC S△ADC S△ADB ，得 ab sin90 b CD sin45 a CD sin45 ,2 2 2
sin ACB sin ACD sin BCD
（该面积法可证张角定理： ）
CD BC AC
2 6
从而 3 CD CD，即 6 CD 3CD ，
2 2
3 2 6
解得 6 CD 3CD ，选项 C错误；
2
（另解：如图，已知A 60 ,B 30 , C
x
3( 3 ) E1
因为x 3x 3，解得x ，
2 2x 3xx
6( 3 1) 3 2 6
所以CD 2x 故.C错误） A D B
2 2
由上A 2B sinA sin2B 2sin cos a sinAB B 2cosB
b sinB
c
因为a2 b2 bc，两边同除以ab，所以 2cos 1B ，
a 2cosB
π
A 2B ,2 π π ,cos ( 2 , 3因为△ABC为锐角三角形，故 所以 B B )
πA B , 6 4 2 2
2
c 1 2
由函数单调性知 2cosB ( , 2 3 )，选项 D正确.
a 2cosB 2 3
【备注】倍角三角形（存在正整数 k，使得三角形一内角是另一个内角的 k倍）有着非常多的性质，本
题刻画的是 k=2时倍角三角形的性质：
A 2B a 2b cosB a2 b2 bc c b 2b cosA
可以证明，点 C的轨迹是双曲线的一支.
x 2 y2
【参考试题】：（2021年八省联考节选）双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)左顶点为 A，右焦点为 F，a b
离心率为 2，动点 B在 C上且在第一象限，证明： BFA 2 BAF .
三、填空题：
12.【答案】3
【解析】 f (x ) sin( π π2x ) 2cos(2x )
3 6
π
sin2x cos cos2x sin π π π 2cos2x cos 2sin2x sin
3 3 6 6
3 sin 3 3 π 2x cos2x 3sin(2x )
2 2 3
故最大值为 3.
( ) sin( π ) cos( π ) sin( π ) cos( π π) sin( π注： f x 2x 2 2x 2x 2 2x 3 2x ) .
3 6 3 3 2 3
13.【答案】 (2,1)
a b
【解析】所求投影向量为 b b (2,1)
|b |2
2 3
14.【答案】
27
【解析】将四面体如图放置在长方体中，设AD BC x ,OA a,OB b,OD c，
显然 0 x 2
122 x
2 12 x 2
a , D 1
a2 b2 12 , 2 2 C
22 2 2 , 2 1 1
2 x 2 2 x 2
又 a c x 从而 b , x c 1 x
2 2
1
b2 c
2 12 , O b 12 x 2 12 x 2 a 12 B
c ,2 2 A
可得 0 t x 2 2，
1 1 t2 (2 t)
而V四面体ABCD abc ，3 6 2
记g(t) t 2 (2 t)，则g '(t) 2t(2 t) t2 3t2 4t
4 2 3
所以当t ，即x 时， g(t)取最大值g(4) 32 ，
3 3 3 27
1 16 2 3
故V ABCD的最大值为四面体 .6 27 27
四、解答题
1 1
15.（1）若m x0 1，则 f (x ) , f (x0 ) 1， f '(x ) ，x x 2
所以切线 AB的方程为y 1 (x 1)，即y x 2， ………………………3 分
m
f (x ) '( ) m（2）依题意， 0 ， f x x 20 x
m m m 2m
所以切线 AB的方程为y (x x )，即y x ，…………6 分
x x 2 0 20 0 x0 x0
2m 2m
令x 0，得y ，即点 B的坐标为 (0, )，
x0 x0
令y 0，得x 2x0，即点 A的坐标为 (2x0 ,0)， ………………………………9分
2m
0 2x 0
因为 0 x ， x0 m
2 0
，
2 x0
m
所以 AB中点坐标为 (x0 , )，即 P是 AB的中点. ……………………………11 分x0
1
（3）有（2）知△OAB的面积S |OA ||OB |
1 2m
2x0 2m ,2 2 x0
故△OAB的面积为定值，且该定值为2m . ……………………………………13分
注：本题通过导数研究反比例函数的性质，刻画了一般双曲线的性质：
x 2 y2
过双曲线 1上任意一点P(x0 ,y0 )作该双曲线的切线，与双曲线的渐近线分别交于点 A,B，则：
a2 b2
（1）P是 AB的中点；
（2）△OAB的面积为定值ab .
π
16.（1）依题意，C为 DE的中点，因此点 C的坐标为 ( ,0)，
3
| | π π π T π所以 BC ( ) ，即 ，从而 2； …………………………3分
3 6 2 2 2
π
( π ) π
且BC 的中点 F的横坐标为 3 6 ，
2 12
1 π
故曲线y f (x )的对称轴方程为x kπ (k Z)； …………………………6分
2 12
π π 7π
又2 （此为点 F关于 C对称的点的横坐标），
3 12 12
π 7π
所以函数 f (x)的单调递减区间为[kπ ,kπ ]，其中k Z .……………9分
12 12
π π
（2）①由题意， f ( ) 0，故2 ( ) kπ (k Z ),
6 6
π
因为 0 π，解得 . ……………………………………………………12 分
3
又 f ( ) 3 π 30 ，所以Asin ，解得A 1，
2 3 2
1
显然，△BCD的面积 |BC | |OD | 1 π 3 3π .…………………15 分
2 2 2 2 8
17.（1）记 BE中点为 O，依题意，
（方法一）如解答图 1，因为四边形ABCE 为正方形，
所以OA1 OA OB OC OE ，OA1 BE，而平面A1BE 平面BCDE ，
故OA1 平面BCDE ，……………………………………………………………3分
因而OA1 OC ，从而A1C A1E ，故CE A1F，
又△CDE 是等边三角形，所以DF CE，即CE 平面A1DF，
从而平面CDE 平面A1DF . ……………………………………………………6分
A z1 A1 A1
O O O
B E B E B E y
F F F
C D C D x C D
解答图 1 解答图 2 解答图 3
（方法二）因为△CDE 是等边三角形，F为 CE中点，所以DF CE ,
又四边形ABCE 为正方形，所以BC CE ，因而DF ∥BC ，
又 O为中点，所以OF ∥BC ，
即O，F，D 三点共线，平面A1DF即平面A1OD，（如解答图 2）………………3 分
而平面A1BE 平面BCDE ，且OA1 BE，
故OA1 平面BCDE ，从而OA1 CE，
由CE BC ，知CE OD，从而CE 平面A1OD，即CE 平面A1DF，
所以平面CDE 平面A1DF . ……………………………………………………6分
（2）（方法一）由（1）知，OA1,OB,OC 两两垂直，如解答图 3建立空间直角坐标系.
不妨设OA1 OB OC 1，则A1(0,0,1),B(0, 1,0),C (1,0,0),E (0,1,0)，
n BA 0,
设平面A1BC 的法向量为 n1= (x ,y,z)
1
，则 1
n1 BC 0,
y z 0,
即 取x 1，得 n , 1
= (1, 1,1)， ……………………………………10 分
x y 0
由（1）知，即CE 平面A1DF，
即平面A1DF的法向量为 n2=CE (1, 1,0)，
所以 cos n1 ,
1 1 6
n2 ,
3 2 3
3
即平面A1DF与平面A1BC 所成锐二面角为 ，则 sin . ………………15分3
（方法二）用平面A1OF 替代平面A1DF计算，数据简单（过程略）.
（方法三）设平面A1DF与平面A1BC 所成锐二面角的平面角为 ，
由（1）证法二知， 为平面A1OF 与平面A1BC 所成锐二面角的平面角，OF ∥BC ，
取 BC中点 H， l
易证A1H BC ,A1O BC ,………………… 8分 A1
记平面A1DF 平面A1BC l ，（如解答图 4）
可证 l ∥OF ∥BC ，…………………………10 分
从而A1H l ,A1O l , OB E
即 HA1O ， ………………………………12 分 H F
不妨设OH 1，则OH 2，A1H 3 , C D
因此 sin 3 解答图 4HA1O .3
3
记平面A1DF与平面A1BC 所成锐二面角为 ，则 sin . …………………15 分3
n
18.（1）依题意，an 0， a 3 S 2i n 即a 3 a 3 a 3 (a 21 2 n 1 a2 an ) ，
i 1
当n 1时，a 3 21 a1 ，可得a1 1，
当n 2时，a 3 a 3 (a a )2，即1 a 31 2 1 2 2 (1 a )
2
2 ，
从而a 3 a 22 2 2a2，解得a2 1或a2 2，…………………………………3分
当n 3时，a 31 a
3
2 a
3
3 (a1 a2 a
2
3 ) ，
若a2 1，则a
3 2
3 a3 ，解得a3 1，…………………………………………5分
若a 2，则 9 a 32 3 (3 a3 )
2，
从而a 3 23 a3 6a2，解得a3 2或a3 3，
综上， (a1 ,a2 ,a3 ) (1, 1,1)或 (1,2, 2)或 (1,2,3) . …………………………7 分
n
2 a 3 S 2 a 3 a 3（ ）因为 i n ，即 1 2 a 3 S 2n n ，
i 1
a 3 a 3 3 2所以 1 2 an 1 Sn 1 (n 2)
3 2 2
两式相减得，an Sn Sn 1 (Sn Sn 1)(Sn Sn 1)
所以a 2n Sn Sn 1，……………………………………………………………10分
2
从而an 1 Sn 1 Sn 2 (n 3)
a 2 2相减得 n an 1 an an 1，即an an 1 1(n 3)，
又a1 1，由（1）知a2 2，即a2 a1 1，
从而{an}是公差为 1首项为 1的等差数列，所以an n
n(n 1)
从而Sn . ……………………………………………………………13分2
2 2
（3）由（2）an an 1 an an 1，所以 (an an 1)(an an 1 1) 0，
故an an 1，或an an 1 1， ……………………………………………15分
所以存在数列{an}，使得a2026 2025，
n,1 n 2025,
其中{an}可以为an ………………………………………17分
an 1 ,n 2026.
注：（3）满足题意的数列{an}的通项公式不唯一.
f (x ) π
19.（1）因为函数 f (x ), 均为偶函数，所以只需证明x (0, )结论成立即可.
cosx 2
此时 f (x ) f (x ) 1 等价于 sinx x tanx . ……………………………………2 分
cosx
令g(x) x sin πx ，则g '(x) 1 cosx 0 (0 x )，
2
π
所以函数g(x)在 (0, )上递增，所以g(x) g(0) 0，x sinx 成立；………4分
2
令 (x) π 1 x tanx ，x (0, )，则 '(x ) 1 0，
2 cos2 x
π
所以函数 (x)在 (0, )上单调递减，所以g(x) g(0) 0，x tanx成立，
2
综上，结论成立！ …………………………………………………………………6 分
（2）依题意，F (x ) x 2f '(x ) x cosx sinx，所以F '(x) x sinx，
因此当 0 x π时，F '(x ) 0,F (x ) F (0) 0 ,F (x)没有零点，
当 π x 2π时，F '(x ) 0，函数F (x )单调递增，
又F (π) 3π π 0,F ( ) 1>0 F (x)有唯一零点， ………………………………9分
2
当 2π x 3π时，F '(x ) 0，函数F (x )单调递减，
因为F (2π) 2π>0, (5πF ) 1 0 F (x)有唯一零点，
2
当 3π x 4π时，F '(x ) 0，函数F (x )单调递增，
而F ( 7π3π) 3π 0,F ( ) 1>0 F (x)有唯一零点，
2
因此函数F (x)在区间 (0,4π)上有 3 个零点. …………………………………12 分
'( ) x cosx sinx（3） f x 0即F (x) 0，由（2）知
x 2
当 0 x π时，F (x)没有零点，即 f (x )没有极值点，
且x1 (π,
3π),x2 (2π,
5π), ( π, 7πx 3 )，
2 2 3 2
( ) ( ) sinx因为F x 0即 f x cosx ，
x
所以 f (x1) f (x2 ) f (x3 ) cosx1 cosx2 cosx3， ……………………………14 分
显然有 cosx1 0,cosx2 0,cosx3 0,，下证 cosx1 cosx2 0
'( ) x cosx sinx因为 f x 2 0 x tanxx
因为 x1 x2，即 tanx1 tanx2，从而 tan(
5π
x1 π) tanx2，故2π x1 π x2 ，2
cos ( π, 5π因为函数y x 在 2 )内单调递减，
2
所以 cos(x1 π) cosx2 0，
从而 cosx1 cosx2 cos(x1 π) cosx2 0，即 cosx1 cosx2 0，
综上， cosx1 cosx2 cosx3 0，
即 f (x1) f (x2 ) f (x3 ) 0 . ……………………………………………………17 分
注：由上述证明易证 cosx2k 1 cosx2k 0，从而可证 cosx1 cosx2 cosxn 0
（以上解法仅供参考，其它正确解法参考以上标准赋分）“皖江名校联盟”2025-2026学年高三质量检测
数学试题
(试卷满分：150分考试时间：120分钟)
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
2答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡指定位置，认真核对条形码上的姓
名、考生号和座号，确认无误后将条形码粘贴在答题卡相应位置。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目
的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作
答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1.lg2+lg5=
A.1
B.-1
C.1g7
D.g号
2.已知集合U={-3,-2,-1,0,1,2,3},A={x∈Zx2-x-6<0},则CA=
A.{-3,2,3}
B.{-3,-2,3}
C.{-1,0,1,2}
D.{-2,-1,0,1,2,3}
3.若复数z满足z一z=2i,zz=5,其中i是虚数单位，z是z的共轭复数，则z十z=
A.±2+i
B.±2
C.4+i
D.±4
4.已知圆锥的底面直径和母线均为2，则该圆锥的侧面积为
A.3π
B.√3π
C.2π
D.4π
3
5.已知函数f(x)的定义域为D,则“f(x)的最大值为M”的充分不必要条件为
A.对于任意x∈D,f(x)≤M
B.存在x∈D,使得f(xa)=M
C.函数f(x)的值域为(-o,M]
D.Hx∈D,f(x)≤M,且3x∈D,f(x)=M
6下列函数中，不是周期函数，且在（石子）上单调递增的是
A.f(x)=sin 2x
B.f(x)=sin3x
C.f(x)=cos 2x
D.f(x)=cos 3x
【D-026】数学试题第1页（共4页）
7.已知函数f)=4-在[-5,5]内的最大值和最小值分别为M,m,则
2xt
A.M+m=2
B.M-m=2
C.M·m=-1
D.M=-1
m
知数列{@}中，a三sim30,。=2。若∑}<10o0,则满足条件的整数m的最款
A.7
B.9
C.11
D.13
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9若a>0.6>0日+方=1则
A.a+b的最小值为4
B.ab的最大值为2
C.a2+b2的最小值为8
D子+长的最大值为号
b2
10.正方体ABCD一A'BCD'中，以下几何量与线段AA'的长度相等的是
A.平行直线AB与CD'间的距离
B.直线BD与平面A'B'CD'之间的距离
C.该正方体内切球的直径
D.三棱锥A'一BCD(BCD为底面)的高
11.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2一b2=bc,则下列结论正确的是
A.A=2B
B.c=b+2bcosA
C.若a=V5,b=l,角C的平分线交AB于点D,则CD=3-3
2
D.若△MBC为锐角三角形，则台的取值范围是（受，2y)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数fw=sim(2x+3）+2cos(2x-石)的最大值为
13.向量a=(1,3)在b=(2,1)上的投影向量是
(用坐标表示).
14.在四面体ABCD中，AB=CD=AC=BD=1,AD=BC,则该四面体体积的最大值是
四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知函数f(x)=m(m>0),在点P(xo,f(x)(x>0)处的切线分别与x,y轴交于点A,B.
(1)若m==1,求直线AB的方程；
(2)求证：P是AB的中点；
(3)△OAB的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
【D-026】数学试题第2页（共4页)
