2026年高考数学一轮复习专题课件：平面向量的概念及线性运算(共44张PPT)

(共44张PPT)
　平面向量的概念及线性运算
2026年高考数学一轮复习专题课件★★　
向量的有关概念
(1)向量的定义：既有______又有______量叫做向量．
(2)向量的长度：表示的_________的长度，即的大小叫做的长度或称为的模，_________的向量叫做零向量，记作0，____________________的向量，叫做单位向量．
回归教材
大小
方向
有向线段
长度为0
长度等于1个单位长度
(3)平行向量：方向______或______的_____向量叫做平行向量．规定：0与任何向量平行．平行向量也叫做______向量．
(4)相等向量：__________________的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作a＝b.
(5)相反向量：_____________________的向量叫做相反向量．
相同
相反
非零
共线
长度相等且方向相同
长度相等且方向相反
向量的线性运算

(1)加、减法法则
(2)运算律：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
②||a|－|b||≤|a±b|≤__________．
(4)向量的数乘
①定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.规定：|λa|＝________，当λ___0时，λa的方向与a的方向相同；当λ____0时，λa的方向与a的方向相反；当λ___0时，λa＝0.
0
|a|＋|b|
|λ||a|
＞
＜
＝
②运算律：λ(μa)＝______；(λ＋μ)a＝_______；λ(a＋b)＝_______．
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得_________．
b＝λa
常用结论
(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指
特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
夯实双基
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)向量就是有向线段．
答案　(1)×　
解析　(1)错误．向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段．
(2)若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反．
答案　(2)×　
解析　(2)错误．当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的．
(3)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.
答案　(3)×　
解析　(3)错误．向量不能比较大小．
(4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
答案　(4)√
解析　(4)正确．
答案　(5)×
2．如图所示，向量a－b等于(　　)
√
A．－4e1－2e2 　　　　　 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
解析　由三角形法则知a－b是b的终点指向a的终点的一个向量，用基底{e1，e2}表示为e1－3e2.故选C.
√
3．(2025·广东深圳模拟)在△ABC中，D是线段AB上靠近B的四等
0
0
0
0
＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________．
－4
题型一　 平面向量的基本概念(自主学习)
(1)判断下列各命题是否正确：
①单位向量都相等；
③若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；
④两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
【答案】　①×　②√　③×　④×　⑤√
又∵A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】　①不正确．
③不正确，当b＝0时，a与c可能不共线．
④不正确，当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b.
(2) 如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　)
√
状元笔记
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．
题型二　 平面向量的线性运算
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
√
√
√
(3)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，
【解析】　如图，作OG∥FE交DC于G，
由DE＝EO，得DF＝FG，
又由AO＝OC，得FG＝GC，
状元笔记
平面向量的线性运算问题的求解策略
√
思考题1　(1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四
【解析】　因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以
√
√
题型三　 向量共线定理的应用
①若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
【答案】　①证明见解析
【证明】　①若m＋n＝1，
②若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
【答案】 ②证明见解析
【证明】　②若A，P，B三点共线，连接BP，BA，
状元笔记
利用向量共线定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
√
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
√