2026年高考数学一轮复习专题课件：平面向量的综合应用(共47张PPT)

(共47张PPT)
　2026年高考数学一轮复习专题课件★★　平面向量的综合应用
题型一　 平面向量与平面几何
(1)(2018·天津，理) 如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则 的最小值为(　　)
√
【解析】　方法一：如图1，以D点为坐标原点，
DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
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【思路】　本题可从已知的向量等式出发，结合图形活用向量的加、减法运算及其几何意义求解；亦可通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解．
方法二：如图，建立平面直角坐标系．
依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，
其中m>0，n>0.
得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，
所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.
【讲评】　方法一侧重于考查数量积公式a·b＝|a|·|b|·cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；方法二通过建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a·b＝x1x2＋y1y2求解，较为简捷、明了．
在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现．本题方法一中，涉及向量与的夹角，注意其夹角不是∠ADC，而是∠ADC的补角．
状元笔记
平面几何问题的向量解法
(1)坐标法．
把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法．
适当选取一个基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于未知量的方程进行求解．
思考题1　(1)已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则
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【解析】　方法一(坐标法)：由已知得AC⊥BC，所以以C为原点，建立平面直角坐标系如图所示，设P点坐标为(x，y)且0≤y≤3，0≤x≤4，则
(2) (2025·浙江适应性考试)如图，边长为1的正三角形ABC的边AC落在直线l上，AC中点与定点O重合，顶点B与定点P重合．将正三角形ABC沿直线l顺时针滚动，即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转，当顶点B落在l上，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC滚动到△A1B1C1的位置时，顶点B运动轨迹的长度为________；在滚动过程中，
题型二　 平面向量与三角函数
【多选题】(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则(　　)
√
√
状元笔记
平面向量与三角函数综合问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数问题，再利用相关知识进行求解．
思考题2　(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则
A．[－5，3] B．[－3，5]
C．[－6，4] D．[－4，6]
√
【解析】　依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，因为PC＝1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设
题型三　 平面向量的实际应用
若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知
(1)F3的大小；
【解析】　(1)∵三个力平衡，∴F1＋F2＋F3＝0，∴|F3|＝|F1＋F2|
(2)F3与F1夹角的大小．
【解析】　(2)设F3与F1的夹角为θ，
状元笔记
用向量方法解决实际问题的步骤
思考题3　已知一条河的两岸平行，一艘船从岸上A点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为|v1|＝10 km/h，水流速度的大小为|v2|＝4 km/h，设v1和v2的夹角为θ.当cos θ＝________时，船能垂直到达对岸．
【解析】　船垂直到达对岸，即合速度v＝v1＋v2与v2垂直，即(v1＋v2)·v2＝0，所以v1·v2＋v22＝0，即|v1||v2|cos θ＋|v2|2＝0，所以40cos θ＋16＝0，
一、三角形的“心”的向量表示及应用
三角形各心的概念介绍
重心：三角形的三条中线的交点；
垂心：三角形的三条高线的交点；
内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；
外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．
根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线分成长度为2∶1的两部分；垂线与对应边垂直；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．
三角形各心的向量表示
线)过△ABC的内心．
常见题型
将平面向量与三角形外心结合考查
A．内心　　　　　　　 B．外心
C．垂心 D．重心
√
【解析】　由向量模的定义知O到△ABC三顶点的距离相等，故O是△ABC的外心．故选B.
则点P是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
√
将平面向量与三角形垂心结合考查
同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心．故选D.
【探究】　将三角形的垂心的定义与平面向量线性运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合．
O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动
将平面向量与三角形内心结合考查
过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
√
＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性质可知AP平分∠BAC.故选B.
将平面向量与三角形重心结合考查
已知点P是△ABC所在平面内任一点，证明：G是△ABC的重
【答案】　证明见解析
将平面向量与三角形四心结合考查
【答案】　证明见解析
二、向量极化恒等式
　　
极化恒等式的应用
如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等
已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB＝8，
[－9，0]
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∴AO＝6，OE＝3，
值为________．
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方法二：以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(如图)，
则A(－3，0)，B(3，0)，
化简得x2＋y2＝81，
方法三：利用极化恒等式．
连接CO并延长交AB于点M，则M为AB中点．
∵OA⊥OB，AB＝6，∴OM＝3.
又O为△ABC的重心，∴MC＝3OM＝9.
(3)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，
【解析】　取BC的中点D，连接AD，PD，取AD的中点E，连接PE，
(4)在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.
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