(共49张PPT)
专题一 函数与不等式、导数
第1讲 函数的性质
[大概念 大专题 大体系]
高考定位：函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、图象的对称性）的综合应用是新高考的核心命题点，难度属于中等及以上；此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、新定义等相结合命题.
A. f（0）＝0
B. 当x＜0时，f（x）＝－（x2－3）e－x－2
D. x＝－1是f（x）的极大值点
ABD
A
A. （－∞，0] B. [－1，0]
C. [－1，1] D. [0，＋∞）
B
B. f（－1）＝0
C. f（2）＝0 D. f（4）＝0
解析：因为函数f（x＋2）为偶函数，所以f（x＋2）＝f（－x＋2），即函数y＝
f（x）的图象关于直线x＝2对称，又因为函数f（2x＋1）为奇函数，所以f（－2x＋1）＝－f（2x＋1），令t＝2x，则f（－t＋1）＝－f（t＋1），故函数y＝
f（x）的图象关于点（1，0）对称，又因为函数f（2x＋1）为奇函数，且f（x）的定义域为R，所以f（2×0＋1）＝0，即f（1）＝0，所以f（－1）＝－f（3）＝
－f（1）＝0，其他三个选项无法得出结果.
B
■热点突破
热点 函数的单调性、奇偶性
A. （－∞，1） B. （1，＋∞）
C. （－∞，－3） D. （－3，＋∞）
A
解析：当x＞0时，f（x）＝1－ex，－x＜0，f（－x）＝e－（－x）－1＝ex－1＝
－f（x）；
当x＜0时，f（x）＝e－x－1，－x＞0，f（－x）＝1－e－x＝－f（x）；
且当x＝0时，f（x）＝0，
所以f（x）为奇函数，
易知f（x）为R上的减函数，
则f（2x）＋f（x－3）＞0 f（2x）＞－f（x－3）＝f（3－x） 2x＜3－x x＜1，
所以原不等式的解集为（－∞，1）.
故选A.
A. （－∞，4] B. [4，＋∞）
C. （－∞，2] D. [2，＋∞）
C
A. f（5）＝1
B. f（x）是奇函数
C. f（2nx）＝2nf（x）
D. 不等式f（x2－x－2）＞4的解集是（－∞，－2）∪（3，＋∞）
BCD
解析：对于A，因为f（x＋y）－f（x－y）＝2f（y），f（1）＝1，令x＝y＝0，则f（0）－f（0）＝2f（0），所以f（0）＝0，令x＝y，则f（2x）＝
2f（x），则f（2）＝2f（1）＝2，令x＝3，y＝2，则f（5）－f（1）＝2f（2），所以f（5）＝2f（2）＋f（1）＝4＋1＝5≠1，故A错误；对于B，令x＝0，则f（y）－f（－y）＝2f（y），即f（－y）＝－f（y），且x，y∈R，所以
f（x）是奇函数，故B正确；对于C，令x＝y＝2n－1x，则f（2nx）－f（0）＝
2f（2n－1x），又f（0）＝0，所以f（2nx）＝2f（2n－1x），所以f（2nx）＝
2f（2n－1x）＝22f（2n－2x）＝…＝2nf（x），故C正确；
规律方法 （1）若f（x）是偶函数，则f（x）＝f（｜x｜）.
（2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将符号“f”脱掉，使抽象函数转化为具体不等式求解，此时，应特别注意函数的定义域.
热点 函数的周期性、图象的对称性
A. －6 B. －2 C. 2 D. 4
C
A. 80 B. 75 C. 70 D. 65
B
解析：因为g（x）为偶函数，所以g（x）＝g（－x），两边同时求导可得
g'（x）＝－g'（－x），所以g'（x）为奇函数，所以g'（0）＝0.
因为f（x）＋g'（x）＝5，所以f（0）＋g'（0）＝5，
所以f（0）＝5.
f（x）＋g'（x）＝5，①
f（x－1）－g'（5－x）＝5，②
在②中，用5－x替换x，
得f（4－x）－g'（x）＝5，③
A. 4为f（x）的一个周期
B. f（2 025）＝1
C. f（x）的图象关于直线x＝3对称
D. f（x）的图象关于直线x＝－3对称
ACD
解析：由f（x－1）＋f（x＋1）＝f（－2）知f（x＋1）＋f（x＋3）＝
f（－2），所以f（x－1）＝f（x＋3），即f（x）＝f（x＋4），所以4为f（x）的一个周期，A正确；在f（2x＋6）＝f（－2x）中，令x＝0，则f（6）＝
f（0），在f（x－1）＋f（x＋1）＝f（－2）中，令x＝－1，则f（－2）＋f（0）＝f（－2），所以f（0）＝0，从而f（6）＝f（0）＝0，则f（－2）＝f（－2＋2×4）＝f（6）＝0，在f（x－1）＋f（x＋1）＝f（－2）中，令x＝0，得
f（－1）＋f（1）＝f（－2）＝0，所以f（1）＝－f（－1）＝－1，所以f（2 025）＝f（506×4＋1）＝f（1）＝－1，B错误；由f（2x＋6）＝f（－2x）得f（x＋6）＝f（－x），则f（x）的图象关于直线x＝3对称，C正确；f（x＋6）＝f（x＋6－3×4）＝f（x－6）＝f（－x），则f（x）的图象关于直线x＝－3对称，D正确.故选ACD.
A. 17 B. 19 C. 21 D. 23
B
解析：由f（x＋4）＋f（x）＝0 f（x）＝－f（x＋4），则f（x＋4）＝－f（x＋8），
所以f（x）＝f（x＋8），即f（x）是周期为8的函数，
由f（x＋2）为奇函数，则f（－x＋2）＝－f（x＋2），则f（－x）＝－f（x＋4），
所以f（－x）＝f（x），即f（x）是偶函数，
则f（1）＝f（－1）＝1，则f（3）＝f（5）＝－1，f（7）＝1，
结合周期性，对于k∈N*，f（2k－1）依次为1，－1，－1，1，1，－1，－1，1，…，
所以f（2k－1）是周期为4的函数，
则f（1）＋2f（3）＋3f（5）＋4f（7）＝1－2－3＋4＝0，
5f（9）＋6f（11）＋7f（13）＋8f（15）＝5－6－7＋8＝0，
（2）若f（x）的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f（x）的周期为 2｜a－b｜.
（3）若f（x）的图象关于点（a，0）和直线x＝b对称，则f（x）的周期为4｜a－b｜.
冲刺集训1 函数的性质
冲刺集训1 函数的性质
A. 3 B. 1或3
C. 2 D. 1或2
C
解析：因为f（x）＝（x＋a－2）（x2＋a－1）为奇函数，所以f（0）＝（a－2）（a－1）＝0，解得a＝1或a＝2.
当a＝1时，f（x）＝x2（x－1），f（－x）＝x2（－x－1）≠－f（x），故a＝1不符合题意，舍去；
当a＝2时，f（x）＝x（x2＋1），f（－x）＝－x·（x2＋1）＝－f（x），故a＝2符合题意.
故选C.
A. （－∞，3] B. （－∞，2]
C. [2，＋∞） D. [3，＋∞）
解析：设u＝｜x－a｜，易知函数y＝ln u是增函数，
又因为f（x）＝ln｜x－a｜在区间（2，3）上单调递减，
所以由复合函数单调性可知，u＝｜x－a｜在（2，3）上单调递减.
因为函数u＝｜x－a｜在（－∞，a）上单调递减，
所以3≤a，即a∈[3，＋∞）.
故选D.
D
A. [0，＋∞） B. [0，6]
C. [－6，3] D. [0，3]
B
A
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
A
解析：由①f（1＋x）＝f（1－x）可得f（x）＝f（2－x），由②f（3＋x）＋
f（3－x）＝0可得f（x）＝－f（6－x），因此f（x）＝f（2－x）＝－f（x＋4）＝f（x＋8），所以f（x）的周期为8，f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋
f（5）＋f（6）＋f（7）＋f（8）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）＋f（－1）＋f（0）＝[f（1）＋f（5）]＋[f（2）＋f（4）]＋[f（6）＋
f（0）]＋f（3）＋f（－1）＝f（3）＋f（－1）＝2f（3），在②中，令x＝0，得
f（3）＝0，故f（1）＋f（2）＋…＋f（2 025）＝f（1）＋253[f（1）＋f（2）＋
f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）＋f（7）＋f（8）]＝－f（5）＝－1，故选A.
A. f（x）在（0，2）上单调递增
B. f（x）在（0，2）上单调递减
C. y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
D. y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称
C
A. 5 B. －2 C. 1 D. 2
解析：由函数y＝f（x－1）的图象关于直线x＝1对称可知，函数f（x）的图象关于y轴对称，故f（x）为偶函数，由f（x＋3）＝－f（x）＋3，得f（x＋3＋3）＝－f（x＋3）＋3＝－[－f（x）＋3]＋3＝f（x），所以f（x）的一个周期为6，所以f（2 023）＝f（6×337＋1）＝f（1）＝f（－1）＝2.故选D.
D
A. （－∞，－3）∪（0，3）
B. （－3，0）∪（0，3）
C. （－3，0）∪（3，＋∞）
D. （－∞，－3）∪（3，＋∞）
A
A. [－3，－2） B. （－3，－2]
C. [－3，－2] D. （－3，－2）
C
A. f（0）＝0 B. f（3）＝0
C. f（x）为偶函数 D. f（x）为奇函数
BC
A. f（x）的图象关于直线x＝3对称
B. f（x－2）的图象关于点（1，0）对称
C. 8为f（x）的一个周期
D. f（1）＝0
AB
解析：因为y＝xf（x＋3）是奇函数，所以y＝f（x＋3）为偶函数，所以f（－x＋3）＝f（x＋3），即f（－x）＝f（x＋6），故f（x）的图象关于直线x＝3对称，A正确.由y＝（x＋1）f（x）的图象关于直线x＝－1对称得（x＋1）f（x）＝（－2－x＋1）f（－2－x），即（x＋1）f（x）＝－（x＋1）f（－2－x），即
f（x）＝－f（－x－2），所以f（x）图象关于点（－1，0）对称，则f（x－2）的图象关于点（1，0）对称，B正确.由上述分析知f（－x）＝－f（x－2），f（－x）＝f（x＋6），所以f（x＋6）＝－f（x－2），即f（x＋8）＝－f（x），所以f（x＋16）＝－f（x＋8）＝f（x），16是f（x）的一个周期，C错误.由题中所给条件不能得到f（1）的值，D错误.故选AB.
A. g（2 025）＝0
C. g（x＋6）＝g（x）
ACD
①f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2）；②f（x）在（0，＋∞）上是增函数.
解析：对于函数f（x）＝log2x，该函数的定义域为（0，＋∞），且该函数在（0，＋∞）上为增函数，满足②；
对任意的x1，x2∈（0，＋∞），f（x1x2）＝log2（x1x2）＝log2x1＋log2x2＝f（x1）＋f（x2），满足①.
log2x（答案不唯一，形如f（x）＝logax（a＞1）都可以）(共41张PPT)
专题一 函数与不等式、导数
第5讲 导数的综合应用（一） （恒成立、能成立问题）
高考定位：恒成立问题、能成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的热门问题，可以出现在选择题、填空题或解答题中，并且经常出现在压轴解答题中，难度较大.
■真题研析
1. （2024·全国甲卷）已知函数f（x）＝（1－ax）·ln（1＋x）－x.
（1）若a＝－2，求f（x）的极值；
可得F'（x）＞0在（－1，＋∞）上恒成立，则F（x）在（－1，＋∞）上单调递增，
又F（0）＝0，∴当x∈（－1，0）时，F（x）＜0，当x∈（0，＋∞）时，
F（x）＞0，
即当－1＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）在x＝0处取得的极小值为f（0）＝0，无极大值，
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.
（2）若f（x）＋ sin x＜0，求a的取值范围.
此时在（0，x1）上g'（x）＞0，所以g（x）在（0，x1）上单调递增，
则在（0，x1）上g（x）＞g（0）＝0，即f（x）＋ sin x＞0，不满足题意.
综上，a的取值范围是（－∞，0].
■热点突破
热点 目标最值法
（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；
规律方法 目标最值法就是直奔主题，例如：若f（x）≥0恒成立，则去求f（x）的最小值；若f（x）≥0有解，则去求f（x）的最大值，然后解相应不等式.解题过程也许需要分类讨论.
热点 分离参数法
例2 （2025·河北唐山模拟）已知函数f（x）＝ax2－x＋ sin x.
（1）若a＝1，求f（x）的极小值；
解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2－x＋ sin x，则f'（x）＝2x－1＋ cos x，
令g（x）＝f'（x）＝2x－1＋ cos x，则g'（x）＝2－ sin x，易知g'（x）＞0在R上恒成立，所以g（x）在R上单调递增，
又g（0）＝0，所以当x＜0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0；当x＞0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，
故f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，
所以x＝0为函数f（x）的极小值点，函数f（x）的极小值为f（0）＝0.
（2）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.
规律方法 分离参数法就是将参数分离出来，进而转化为研究函数的值域或最值，将复杂的含参问题转化为不含参的相对简单的函数问题，利用导数求出函数的值域或最值，进而得参数的取值范围.
热点 存在、有解问题
（1）求曲线y＝g（x）在x＝0处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）当m＞0时，若对于任意x1＞0，总存在x2∈[－2，－1]，使得f（x1）≥
g（x2），求m的取值范围.
规律方法 不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.
含参数的不等式能成立（存在性）问题的转化方法：若a＞f（x）在x∈D上能成立，则a＞f（x）min（x∈D）；
若a＜f（x）在x∈D上能成立，则a＜f（x）max（x∈D）.
冲刺集训5 导数的综合应用（一） （恒成立、能成立问题）
冲刺集训5 导数的综合应用（一） （恒成立、能成立问题）
1. 已知函数f（x）＝x3－x2－x＋2.
（1）求f（x）的单调递增区间；
2. （2025·山东济南质检）已知f（x）＝xln x，g（x）＝x2＋ax，其中a∈R.
（1）若f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围；
（2）判断关于x的方程af（x＋1）＝g（x）解的个数，并说明理由.
②当1＜a＜2时，－1＜a－2＜0，
所以当x∈（－1，a－2）时，F'（x）＜0，F（x）单调递减；当x∈（a－2，0）时，F'（x）＞0，F（x）单调递增；当x∈（0，＋∞）时，F'（x）＜0，F（x）单调递减.
又F（0）＝0，所以F（a－2）＜0，且x→－1时，F（x）→＋∞，
所以F（x）有2个零点，即原方程解的个数为2.
③当a＝2时，a－2＝0，此时F'（x）≤0且不恒为0，所以F（x）在（－1，＋∞）上单调递减.
又因为F（0）＝0，所以F（x）有1个零点，即原方程解的个数为1.
④当a＞2时，a－2＞0，
所以当x∈（－1，0）时，F'（x）＜0，F（x）单调递减；当x∈（0，a－2）时，F'（x）＞0，F（x）单调递增；当x∈（a－2，＋∞）时，F'（x）＜0，F（x）单调递减.
又因为F（0）＝0，F（a－2）＞0，且x→＋∞时，F（x）→－∞，
所以F（x）有2个零点，即原方程解的个数为2.
综上，当a≤1或a＝2时，原方程解的个数为1；当1＜a＜2或a＞2时，原方程解的个数为2.
3. 已知f（x）＝（x－4）ex－x2＋6x，g（x）＝ln x－（a＋1）x，a＞－1.
（1）求f（x）的极值；
解：（1）由f（x）＝（x－4）ex－x2＋6x，
得f'（x）＝ex＋（x－4）ex－2x＋6
＝（x－3）ex－2x＋6
＝（x－3）（ex－2），
令f'（x）＝0，得x＝3或x＝ln 2，
x （－∞，ln 2） ln 2 （ln 2，3） 3 （3，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调
递增 极大值 单调
递减 极小值 单调
递增
由表可知，当x＝ln 2时，f（x）取极大值，为f（ln 2）＝（ln 2－4）eln 2－（ln 2）2＋6ln 2＝－（ln 2）2＋8ln 2－8，
当x＝3时，f（x）取极小值，为f（3）＝（3－4）e3－32＋18＝9－e3.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化如下表：
（2）若存在x1∈[1，3]，对任意的x2∈[e2，e3]，使得不等式g（x2）＞f（x1）成立，求实数a的取值范围.（e3≈20.09）(共34张PPT)
专题一 函数与不等式、导数
第7讲 导数的综合应用（三） （导数与函数的零点）
（2）设x1，x2分别为f（x）在区间（0，＋∞）的极值点和零点.
（ⅰ）设函数g（t）＝f（x1＋t）－f（x1－t），证明：g（t）在区间（0，x1）单调递减；
（ⅱ）比较2x1与x2的大小，并证明你的结论.
解：（ⅱ）2x1＞x2，证明如下：
由（ⅰ）知g（t）在（0，x1）上单调递减，则g（x1）＜g（0）＝f（x1＋0）－
f（x1－0）＝0，
所以g（x1）＝f（x1＋x1）－f（x1－x1）＝f（2x1）－f（0）＝f（2x1）－0＝
f（2x1）＜0.
因为x2是f（x）在（0，＋∞）上的零点，所以f（x2）＝0，即f（2x1）＜f（x2）.
由（1）知x2∈（x1，＋∞），且f（x）在（x1，＋∞）上单调递减，所以2x1＞x2.
（1）当a＝0时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围.
所以f（x）有唯一零点，符合题意.
综上，a的取值范围为（0，＋∞）.
■热点突破
热点 讨论函数零点个数问题
例1
（2025·山东枣庄三模）已知函数f（x）＝xex－a，a∈R. 讨论f（x）零点的个数.
规律方法
三步求解函数零点（方程的根）的个数问题
第一步：将问题转化为函数的图象与x轴（或直线y＝k）的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数的单调性、极值（最值）等；
第三步：结合图象求解.
热点 利用零点求参数
A. （－∞，0） B. （0，1]
C. （0，4] D. （4，＋∞）
B
此时函数f（x）的图象大致如图乙所示，
显然函数f（x）的图象与直线y＝a没有交点，不符合题意.
综上可知，实数a的取值范围是（0，1].
乙
A. 1 D. e
A
解法二：令f（x）＝ax＋bx－2＝0，则bx－1＝1－ax，作出函数y＝bx－1与y＝1－ax的大致图象，如图，由图可知，要满足题意，需使曲线y＝bx－1与y＝1－ax仅有一个交点（0，0），则曲线y＝bx－1与y＝1－ax在点（0，0）处的切线为同一条直线，从而有b0ln b＝－a0ln a，化简得ln（ab）＝0，则ab＝1，故选A.
规律方法 已知零点求参数的取值范围
（1）结合函数图象与单调性，分析函数的极值点.
（2）依据零点确定极值的范围.
（3）对于参数选择恰当的分类标准进行讨论.
冲刺集训7 导数的综合应用（三） （导数与函数的零点）
冲刺集训7 导数的综合应用（三） （导数与函数的零点）
1. 已知函数f（x）＝eln x＋bx2e1－x.若f（x）的导函数f'（x）恰有两个零点，求b的取值范围.
2. 已知函数f（x）＝x3－kx＋k2.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围.
（2）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
4. （2025·安徽合肥二模）已知函数f（x）＝（x－1）ex－ax－b，曲线y＝
f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x＋y＋2＝0.
（1）求a，b的值；
（2）讨论f（x）的零点个数，并证明所有零点之和为0.
5. （2025·内蒙古呼和浩特一模）已知函数f（x）＝ cos x＋x sin x＋a.
（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在x＝π处的切线方程；
解：（1）当a＝0时，f（x）＝ cos x＋x sin x，求导得f'（x）＝－ sin x＋ sin x＋x cos x＝x cos x，
则f'（π）＝－π，而f（π）＝－1，所以所求切线方程为y＋1＝－π（x－π），即y＝－πx＋π2－1.
（2）讨论函数f（x）在（0，π）上零点的个数.(共55张PPT)
专题一 函数与不等式、导数
第3讲 导数的几何意义与单调性
高考定位：（1）导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小.（2）应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等，属综合性问题.
A. e2 B. e C. e－1 D. e－2
C
A. a＜b＜c B. c＜b＜a
C. c＜a＜b D. a＜c＜b
C
4
ln 2
（－∞，－4）∪（0，＋∞）
■热点突破
热点 曲线的切线
A. （1，0） B. （0，1）
C. （1，1） D. （1，e）
B
规律方法 （1）求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点”的切线方程的不同.“过点”的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据：①斜率相等（若斜率存在），②切点在切线上，③切点在曲线上建立方程（组）求解，求出切点坐标是解题的关键.
A. 2ln 2 B. 2ln 3 C. 3ln 2 D. 3ln 3
A
规律方法 （2）已知切线求参数，往往利用同一法，对照系数相等.
热点 单调性的简单应用
（－∞，0），（ln（－a），＋∞）
x （－∞，0） 0 （0，ln（－a）） ln（－a） （ln（－a），
＋∞）
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） 递减 f（0） 递增 f[ln（－a）] 递减
所以f（x）的单调递增区间为（0，ln（－a）），单调递减区间为（－∞，0），（ln（－a），＋∞）.
列表：
（－∞，2]
（1）f（x）单调递增（或递减）的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f'（x）≥0（f'（x）≤0），且在（a，b）内的任一非空子区间上，f'（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
（2）函数在区间（a，b）上存在单调区间，实际上就是f'（x）＞0（或f'（x）＜0）在该区间上存在解集.
（3）若函数y＝f（x）在区间（a，b）上不单调，则转化为f'（x）＝0在（a，b）上有解（需验证解的两侧导数异号）.
规律方法 根据函数的单调性求参数的方法
热点 利用导数研究函数的单调性
例3
规律方法
（1）讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视定义域的限制.
（2）在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论.
（3）在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.
冲刺集训3 导数的几何意义与单调性
冲刺集训3 导数的几何意义与单调性
A. f（x）＝2－x B. f（x）＝x2
C. f（x）＝3－x D. f（x）＝ cos x
A
C
A. y＝2x＋1
D
A. 2 B. 0
D
A. （－∞，－1）∪（0，1）
B. （－1，0）∪（1，＋∞）
C. （－∞，－1）∪（－1，0）
D. （0，1）∪（1，＋∞）
A
D
C. e D. －e
B
D
A. 当m＝4时，函数f（x）单调递增
B. 当m≤3时，函数f（x）有两个极值
C. 过点（0，1）且与曲线y＝f（x）相切的直线有且仅有一条
D. 当m＝1时，若b是a与c的等差中项，直线ax－by－c＝0与曲线y＝f（x）有三个交点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3），则x1＋x2＋x3＝－6
AC
A. 对任意a，f（x）总存在零点
B. 当a＝0时，x＝0是f（x）的极值点
C. 当a＝3时，曲线y＝f（x）与x轴相切
D. 对任意a，f（x）在区间（－∞，－a－1）上均单调递增
ACD
ACD
A. 切线l1的方程为4x－y－3＝0
解析：f（x）＝x3＋x－1，f'（x）＝3x2＋1，f（1）＝1，f'（1）＝4，y－1＝4（x－1），所以切线l1的方程为4x－y－3＝0，故A正确；
（e，1）
8
（2）若f（x）是[1，e]上的单调函数，求a的取值范围.(共75张PPT)
专题一 函数与不等式、导数
第4讲 函数的极值与最值
A. x＝3是f（x）的极小值点
B. 当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C. 当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0
D. 当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x）
ACD
解析：对于A，函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝2（x－1）（x－4）＋（x－1）2＝3（x－1）·（x－3），
易知当x∈（1，3）时，f'（x）＜0，当x∈（－∞，1）或x∈（3，＋∞）时，
f'（x）＞0，
所以函数f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，故x＝3是函数f（x）的极小值点，A正确；
对于B，当0＜x＜1时，x－x2＝x（1－x）＞0，所以1＞x＞x2＞0，
由对A的分析可知，函数f（x）在（0，1）上单调递增，所以f（x）＞f（x2），B错误；
对于C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，由对A的分析可知，函数f（x）在（1，3）上单调递减，
所以f（1）＞f（2x－1）＞f（3），即－4＜f（2x－1）＜0，C正确；
对于D，当－1＜x＜0时，f（2－x）－f（x）＝（1－x）2（－2－x）－（x－1）2（x－4）＝（x－1）2·（2－2x）＞0，
所以f（2－x）＞f（x），D正确.
解析：因为f（x）＝（x－1）（x－2）（x－a）＝x3－（a＋3）x2＋（3a＋2）x－2a，所以f'（x）＝3x2－2（a＋3）x＋3a＋2.
因为x＝2是f（x）的极值点，所以f'（2）＝12－4（a＋3）＋3a＋2＝0，解得a＝2，经检验，符合题意，所以f（x）＝（x－1）（x－2）2，所以f（0）＝－4.
－4
（2）给定θ∈（0，π）和a∈R，证明：存在y∈[a－θ，a＋θ]使得 cos y≤ cos θ；
解：（2）证明： a∈R， k∈Z，使得a＝2kπ＋a'，其中a'∈[－π，π）.
当a'＝0时，[a'－θ，a'＋θ]＝[－θ，θ]，取y＝2kπ＋θ，则y∈[a－θ，a＋θ]，且 cos y＝ cos θ.
当a'∈（0，π）时，a'－θ∈（－θ，π－θ），a'＋θ∈（θ，π＋θ），
设y1＝min{π，a'＋θ}，则y1∈（θ，π]，
∵g（x）＝ cos x在[θ，y1]上单调递减，
∴ cos y1＜ cos θ，
取y＝2kπ＋y1，则y∈[a－θ，a＋θ]，且 cos y＝ cos y1＜ cos θ.
当a'∈[－π，0）时，a'－θ∈[－π－θ，－θ），a'＋θ∈[－π＋θ，θ），
记y2＝max{－π，a'－θ}，则y2∈[－π，－θ），
∵g（x）＝ cos x在[y2，－θ]上单调递增，
∴ cos y2＜ cos （－θ）＝ cos θ，
取y＝2kπ＋y2，则y∈[a－θ，a＋θ]，且 cos y＝ cos y2＜ cos θ.
综上，存在y∈[a－θ，a＋θ]使得 cos y≤ cos θ.
（3）设b∈R，若存在φ∈R使得5 cos x－ cos （5x＋φ）≤b对x∈R恒成立，求b的最小值.
■热点突破
热点 函数的极值
A. （－2，－1） B. （1，2）
D. （2，＋∞）
B
A. 8 B. 4
C. －4 D. －8
D
A. （－∞，0）∪（e，＋∞）
B. （－∞，0）∪（e2，＋∞）
C. （－∞，－1）∪（1，＋∞）
A
当0＜a＜1时，h'（a）＞0，当a＞1时，h'（a）＜0，
所以函数h（a）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，
又h（e）＝0，且0＜a＜1时，h（a）＞0，
所以0＜a≤e时，g（x）min≥0，此时g（x）在（－1，＋∞）上无变号零点，函数f（x）无极值，不符合题意；
当a＞e时，h（a）＜0，即g（x）min＜0，且当x→－1时，g（x）→＋∞，当x→＋∞时，g（x）→＋∞，此时g（x）有变号零点，函数f（x）存在极值，符合题意.
综上所述，a的取值范围为（－∞，0）∪（e，＋∞）.
②若x＝1是f（x）的极小值点，求b的取值范围.
规律方法 （1）不能忽略函数的定义域.
（2）f'（x0）＝0是可导函数f（x）在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，f'（x）的变号零点才是f（x）的极值点，所以判断f（x）的极值点时，除了找f'（x）＝0的实数根x0外，还需判断f（x）在x0左侧和右侧的单调性.
热点 函数的最值
C
D. 0
A
2
解析：y＝－x＋4是减函数，故当x≤3时，y＝－x＋4的最小值是y＝－3＋4＝1，
若0＜a＜1，则y＝logax是减函数，x＞3时，y＝logax＜0，没有最小值，不合题意，
若a＞1，则y＝logax是增函数，因此要使得f（x）取得最小值，则loga3≥1，解得1＜a≤3.故实数a的取值范围是（1，3].
（1，3]
规律方法 （1）求函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
①求函数在（a，b）内的极值.
②求函数在区间端点处的函数值f（a），f（b）.
③将函数f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（2）闭区间上的连续函数一定有最值.
（3）若函数在区间（a，b）上有唯一极值点，则这个极值点也是最值点.
热点 利用恒成立、有解求参数的取值范围
D. （1，＋∞）
A
②a＞e时，f（x）在[e，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，
∴f（x）min＝f（a）＝a－aln a≥0，
∴1－ln a≥0，
[－1，＋∞）
规律方法 （1）由不等式恒成立求参数的取值范围问题的解题策略
①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.
②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a＞f（x）max或a＜f（x）min的形式，通过导数求出f（x）的最值，即得参数的取值范围.
（4）（2025·浙江宁波十校联考）已知函数f（x）＝xex－1－k（x－1）＋e，k∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数.
①当k＝e时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
解：①当k＝e时，f（x）＝xex－1－e（x－1）＋e＝xex－1－ex＋2e，
所以f'（x）＝（x＋1）ex－1－e，f'（2）＝3e－e＝2e，又f（2）＝2e－2e＋2e＝2e，
所以曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y－2e＝2e（x－2），即y＝2ex－2e，
②若不等式f（x）≥0对任意x∈[－2，＋∞）恒成立，求k的取值范围.
规律方法 （2）不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.
热点 极值、最值的综合应用
例4 已知函数f（x）＝（x－2）ex－1－ax2＋2ax.
（1）当a＝e时，判断f（x）的单调性；
解：（1）当a＝e时，f（x）＝（x－2）ex－1－ex2＋2ex，
则f'（x）＝（x－1）ex－1－2e（x－1）＝（x－1）·（ex－1－2e），
令f'（x）＝0，解得x＝1或x＝2＋ln 2.
令f'（x）＜0，解得1＜x＜2＋ln 2，所以f（x）在（1，2＋ln 2）上单调递减；
令f'（x）＞0，解得x＜1或x＞2＋ln 2，即f（x）在（－∞，1），（2＋ln 2，＋∞）上单调递增.
综上，函数f（x）在（－∞，1），（2＋ln 2，＋∞）上单调递增，在（1，2＋ln 2）上单调递减.
（2）若函数f（x）在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围.
规律方法 （1）不可忽略函数f（x）的定义域.
（2）导函数变号零点即函数f（x）的极值点.
（3）求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论.
（4）当已知函数的极值或最值求字母参数的值或范围时，要对参数的范围进行讨论求解.
冲刺集训4 函数的极值与最值
冲刺集训4 函数的极值与最值
A. －3 B. 3 C. 0 D. 4
C
解析：由函数f（x）的导函数f'（x）的图象可知当－3＜x＜0
时，f'（x）＞0，当0＜x＜4时，f'（x）＜0，当x＞4时，
f'（x）＜0，
即f（x）在（－3，0）上单调递增，在（0，4）上单调递减，在（4，＋∞）上单调递减，
故x＝0为函数f（x）的极大值点，即x0＝0，
故选C.
C. （－∞，3）
B
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
C
A. [0，＋∞） B. [－1，＋∞）
C. [－2，＋∞） D. [－e，＋∞）
B
A. （0，1]
B. （－∞，0）∪（0，1]
D
A. （－∞，0]∪{e} B. [0，＋∞）∪{－e}
C. （－∞，0] D. [0，＋∞）
C
解析：由题意可得f'（x）＝（x－2）ex＋a，令f'（x）＝（x－2）ex＋a＝0，得－a＝（x－2）ex，设g（x）＝（x－2）ex，则g'（x）＝（x－1）ex.由g'（x）＞0，得x＞1，则g（x）在（1，＋∞）上单调递增；由g'（x）＜0，得x＜1，则
g（x）在（－∞，1）上单调递减，故g（x）min＝g（1）＝－e.因为f（x）恰有一个极值点，所以f'（x）＝0有唯一的零点x0，且f（x）在x0两侧的单调性不同.当x＜2时，g（x）＜0，则－a＝－e或－a≥0，解得a＝e或a≤0.当a＝e时，f'（x）≥f'（1）＝0，则f（x）在R上单调递增，没有极值点，故a＝e不符合题意；当a≤0时，f'（1）＝－e＋a＜0，且当x＜2时，f'（x）＜0，当x→＋∞时，f'（x）→＋∞，则f（x）存在唯一的极小值点，故a≤0符合题意，故a的取值范围是（－∞，0].故选C.
A. [－2，3]
B
A. 直线y＝－2x是曲线y＝f（x）的切线
B. f（x）有三个零点
C. f'（2－x）＝f'（x）
D. 若f（x）在区间（a，a＋4）上有最大值，则a的取值范围为（－4，0）
BC
A. 若f（x）min＝f（1），则a＝1
C. 若a＝1，则f（x）在（0，1）上单调递减
ACD
－1
（－1，2]
（－1，0）
（2）求函数f（x）在[1，5]上的最值.
（2）若x1，x2为f（x）的两个极值点，求f（x1）·f（x2）的取值范围.(共28张PPT)
专题一 函数与不等式、导数
第6讲 导数的综合应用（二） （导数与不等式的证明）
高考定位：导数与不等式的交汇命题是高考的热点和难点，在利用导数证明不等式问题中，常用的方法有构造函数、适当换元、合理放缩等.
■真题研析
1. （2024·全国甲卷）已知函数f（x）＝a（x－1）－ln x＋1.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a≤2，证明：当x＞1时，f（x）＜ex－1恒成立.
（1）若b＝0，且f'（x）≥0，求a的最小值；
（2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形；
（3）若f（x）＞－2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围.
■热点突破
热点 不等式的证明
例1 设函数f（x）＝ln（ax＋b），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x－2y＋2ln 2－1＝0.
（1）求a，b的值；
（3）求证：当x≥0时，有f（x）≥xe－x.
例2 （2025·内蒙古呼和浩特一模）对于函数f（x），若实数x0满足f（x0）＝x0，则x0称为f（x）的不动点.已知函数f（x）＝ex－2x＋ae－x（x≥0）.
（1）当a＝－1时，求证f（x）≥0；
（2）当a＝0时，求函数f（x）的不动点的个数；
解：（2）当a＝0时，f（x）＝ex－2x（x≥0），
根据题意可知，方程ex－2x＝x（x≥0）的不同解的个数即为函数f（x）的不动点的个数，
ex－2x＝x（x≥0）转化为ex－3x＝0（x≥0），令g（x）＝ex－3x（x≥0），
所以函数g（x）的零点个数即为函数f（x）的不动点的个数，
g'（x）＝ex－3（x≥0），令g'（x）＝0，即ex＝3，解得x＝ln 3，
当x变化时，g'（x），g（x）的变化如下表：
x [0，ln 3） ln 3 （ln 3，＋∞）
g'（x） － 0 ＋
g（x） 单调递减 3－3ln 3 单调递增
因为g（0）＝1＞0，g（ln 3）＝3－3ln 3＜0，
所以g（x）在[0，ln 3）上有唯一一个零点，
又g（5）＝e5－15＞25－15＝17＞0，
所以g（x）在（ln 3，＋∞）上有唯一一个零点.
综上所述，函数f（x）有两个不动点.
规律方法 利用导数证明或判定不等关系时的常用方法
（1）最值法：通过移项构造新函数或者等价变型构造新函数，求解新函数的最值，从而得出不等关系.
（2）适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系.
（3）凹凸反转法：把所证不等式转化为两个函数的大小关系，分别求解两个函数的最值，得到不等关系.
冲刺集训6 导数的综合应用（二） （导数与不等式的证明）
冲刺集训6 导数的综合应用（二） （导数与不等式的证明）
1. 已知函数f（x）＝ex＋x＋a，g（x）＝ln（x＋1）＋ln 2.
（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
解：（1）当a＝0时，f（x）＝ex＋x，f（0）＝1，且f'（x）＝ex＋1，f'（0）＝2，
所以切线方程为y－1＝2（x－0），即2x－y＋1＝0.
（2）证明：当a≥0时，f（x）＞g（x）.
解：（2）证明：设h（x）＝f（x）－（2x＋1）＝ex－x－1＋a（x＞－1），则h'（x）＝ex－1（x＞－1），
令h'（x）＞0，得x＞0，
令h'（x）＜0，得－1＜x＜0，
故h（x）在（－1，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，h（x）≥h（0）＝a≥0，
所以f（x）≥2x＋1，当且仅当x＝0时，等号成立.
2. （2025·内蒙古赤峰一模）已知x∈（0，2）.
（1）比较 sin x， x的大小， 并证明；
解：（1）x＞ sin x，x∈（0，2）.证明如下：
令g（x）＝x－ sin x，x∈（0，2），
g'（x）＝1－ cos x＞0，
所以g（x）在（0，2）上单调递增，g（x）＞g（0）＝0，
即x∈（0，2）时，x＞ sin x.
（2）若m∈（0，1），x∈[1，e]，证明：f（x）＞mx－1.
4. （2025·广东佛山质检）已知函数f（x）＝（x＋k）ex，其中k∈R.
（1）当k＝－1时，讨论关于x的方程f（x）＝a（a∈R）的实根个数；
解：（1）由题可得f（x）＝（x－1）ex，关于x的方程f（x）＝a的根的个数，即为直线y＝a与y＝f（x）的图象的交点个数，
易知f（x）的定义域为R，f'（x）＝xex，
令f'（x）＞0，得x＞0；令f'（x）＜0，得x＜0，
故f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，
当x→－∞时，f（x）→0－，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，且
f（0）＝－1，作出f（x）的大致图象如图所示，
当a＜－1时，原方程根的个数为0，
当a＝－1或a≥0时，原方程根的个数为1，
当－1＜a＜0时，原方程根的个数为2.(共55张PPT)
专题一 函数与不等式、导数
第2讲 函数的图象、零点及应用
高考定位：（1）利用函数的性质推断函数的图象和利用图象研究函数性质、方程及不等式的解集，综合性较强.（2）基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.（3）函数零点的个数判断及参数范围的求解是高考热点，常以压轴题的形式出现.
■真题研析
1. （2024·全国甲卷）函数f（x）＝－x2＋（ex－e－x） sin x在区间[－2.8，2.8]的大致图象为（ ）
B
A. （0，0.3） B. （0.3，0.5）
C. （0.5，1） D. （1，2）
B
解析：令x3－3x＝－（x－1）2＋a，得a＝x3＋x2－5x＋1，令g（x）＝x3＋x2－5x＋1（x＞0），
则g'（x）＝3x2＋2x－5＝（3x＋5）（x－1）（x＞0），令g'（x）＝0，得x＝1（负值舍去），
当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，且g（0）＝1，g（1）＝－2，当x→＋∞时，g（x）→＋∞，
因为曲线y＝x3－3x与y＝－（x－1）2＋a在（0，＋∞）上有两个不同的交点，
所以直线y＝a与函数g（x）的图象在（0，＋∞）上有两个不同的交点，作出直线y＝a及g（x）的大致图象，如图所示，
由图知a∈（－2，1）.故答案为（－2，1）.
（－2，1）
解析：因为0≤x≤2π，ω＞0，所以0≤ωx≤2ωπ，
令f（x）＝ cos ωx－1＝0，则 cos ωx＝1有3个根，
令t＝ωx，则 cos t＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，
结合余弦函数y＝ cos t的图象及性质可得4π≤2ωπ＜6π，故2≤ω＜3，
故答案为[2，3）.
[2，3）
■热点突破
热点 函数的图象
A B C D
B
规律方法 （1）确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.
C. y＝f（4－2x）
D. y＝－f（4－2x）
B
解法二（特值排除法）：对于A，当x＝0时，y＝f（1）＞0，与题图2不符，排除A；对于C，当x＝1时，y＝f（2）＝0，与题图2不符，排除C；对于D，当x＝1时，y＝－f（2）＝0，与题图2不符，排除D. 故选B.
B. （2，3]
D
情形一：记F（x）＝f（x＋a），则F（0）＝7－3a，F（1）＝6－3a，若6－3a≥0，即a≤2，
则F（x）＝f（x＋a）的大致图象如图3所示，F（x）在（－a，＋∞）上至多有4个零点，舍去；
解析：如图，y＝｜ln x｜在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以将y＝｜ln x｜的图象向左平移至少一个单位长度即可使新图象对应的函数在（0，＋∞）上单调递增，故a≥1.
[1，＋∞）
规律方法（1）确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.
（2）图象左右平移的法则是：左加右减，即将函数y＝f（x）的图象向左平移一个单位长度得到的是y＝f（x＋1）的图象，将函数y＝f（2x＋1）的图象向左平移一个单位长度，得到的是y＝f（2（x＋1）＋1）＝f（2x＋3）的图象.
（3）在利用数形结合思想解决函数有关问题时，常借助函数图象的特点和变化规律.
热点 函数的零点
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
解析：y＝f（x）－｜log4｜x｜｜的零点个数，即y＝f（x）与y＝｜log4｜x｜｜的图象的交点个数，作出两函数图象，如图，由图可得共有8个交点.故选D.
D
D. 1
C
A. x0＜a B. x0＞a
C. x0＜c D. x0＞c
解析：函数f（x）＝ex＋ln x的定义域为{x｜x＞0}，且y＝ex，y＝ln x均为增函数，故函数f（x）＝ex＋ln x是增函数，又0＜a＜b＜c，所以f（a）＜f（b）＜f（c），因为f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c），所以f（a），f（b），f（c）中有1个是负数（一定是f（a））、2个是正数或3个都是负数，又因为f（x）存在零点，所以x0＞a.故选B.
B
A. （2，3） B. （2，3]
C. （3，＋∞） D. [3，＋∞）
B
（2）判断函数零点个数的方法
①利用函数零点存在定理.
②代数法：求方程f（x）＝0的实数根.
③几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.
规律方法 （1）函数零点不是点，是点的横坐标，是方程的根，是函数图象与x轴交点的横坐标.
热点 函数模型及应用
A. 6 B. 12 C. 16 D. 20
B
规律方法 （1）构建函数模型解决实际问题的解题过程
①理解题意，设出变量；
②构建合适的函数模型，如一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数模型等；
③利用数学知识求解；
④将数学结论“回译”到实际问题中去，检验结果的合理性.
A. 10 h B. 4 h C. 40 h D. 8 h
A
规律方法 （2）解决新概念信息题的关键
①仔细审题，明确问题的实际背景，依据新概念进行分析；
②有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.
冲刺集训2 函数的图象、零点及应用
冲刺集训2 函数的图象、零点及应用
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
解析：因为ay与x成正比例关系，
所以可设ay＝kx，k＞0，
由题图知，x＝1时，ay＝2，
故2＝k·1，则k＝2.
故ay＝2x，变形可得y＝loga（2x）＝logax＋loga2，
又y＝logax＋1，所以loga2＝1，则a＝2.
故选B.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
B
A B C D
A
A
解析：由幂函数图象可得0＜a＜1，函数g（x）＝logax＋loga（2－x）＝loga（2x－x2）＝loga[－（x－1）2＋1]的定义域为（0，2），当x∈（0，2）时，0＜－（x－1）2＋1≤1，则g（x）≥0恒成立，B、C、D错误，A正确.
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
B
C
A. （0，e] B. （0，e）
C. （0，＋∞）
解析：在平面直角坐标系中画出分段函数f（x）的图象如图所示，若a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a≤0＜b＜1＜c≤e，∴0＝ln 1＜ln c≤ln e＝1，则0＜cln c≤e，故选A.
A
B. f（x）＝x2
C. f（x）＝ln（x＋1）（x≥0）
ACD
BCD
A. 2 B. 8 C. 16 D. 32
BCD
所以5＜5x4≤45，所以B、C、D符合题意.
（0，e）
当0＜a＜1，即a3＜1－ln a时，若0＜b≤a3，则y＝f（x）－b恰有三个零点，
当1≤a＜e，即a3≥1－ln a时，若0＜b＜1－ln a，则y＝f（x）－b恰有三个零点；
当a≥e时，y＝ln x－1在（a，＋∞）上单调递增，此时函数y＝f（x）－b最多有两个零点，不符合题意.
综上，a的取值范围为（0，e）.
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14. （2025·河南模拟预测）已知a＞1，函数f（x）＝ax－1＋x－3，g（x）＝logax＋x－2.
（1）若f（x0）＝g（x0）＝－1，求x0的值；
（2）若x1，x2分别为f（x），g（x）的零点，求x1＋x2的值.
（2）若g（x）＝f（x）－a，函数g（x）有四个零点，求a的取值范围；
解：（2）若g（x）＝f（x）－a，函数g（x）有四个零点，
则f（x）＝a有四个不等实根，画出直线y＝a和函数y＝f（x）的图象，
由图象可得当0＜a≤1时，f（x）的图象和直线y＝a有四个交点，
故函数g（x）有四个零点时a的取值范围是{a｜0＜a≤1}.
（3）在（2）的条件下，记g（x）的四个零点从左到右分别为x1，x2，x3，x4，求x1＋x2＋x3x4的值.
解：（3）由函数y＝x2＋4x＋1图象的对称轴为直线x＝－2，可得x1＋x2＝－4，
由｜ln x3｜＝｜ln x4｜＝a，得－ln x3＝ln x4，即ln x3＋ln x4＝0，则x3x4＝1，
故x1＋x2＋x3x4＝－3.
