12.1 函数 3课时打包 教案 2025-2026学年数学沪科版八年级上册

12.1　函数
第1课时　函数及其相关概念
课题 第1课时　函数及其相关概念 授课人
教 学 目 标 1.通过对实际问题的探究活动,使学生了解常量、变量的意义,能分清实例中出现的常量与变量. 2.使学生能正确地理解函数的概念,会正确地判断两个变量之间的关系是不是一种函数关系,并能举出函数的实例;能用适当的方法刻画某些实际问题中的函数关系. 3.通过常量、变量以及函数概念的学习,使学生学会用运动、变化的观点思考问题. 4.培养学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力,会用运动、变化的观点思考问题. 5.让学生积极参与数学活动,激发他们的学习兴趣,让他们认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用,提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心.
教学 重点 　　认识常量、变量、函数的概念.
教学 难点 　　理解函数的概念.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 探究 与 应用 问题1:用热气球探测高空气象.设热气球从海拔1800 m处的某地升空(图12-1-1),它上升过程中到达的海拔高度h m与上升时间t min的关系记录如下表: t/min01234567…h/m18001830186018901920195019802010…
图12-1-1
活动 一: 探究 与 应用 看表回答以下问题: (1)这个问题中,涉及哪几个量 (2)热气球上升3 min和6 min时到达的海拔高度分别是多少米 (3)热气球在升空的过程中平均每分钟上升多少米 学生活动:学生观察表格中的有关数据,进行自主探究活动,并把所得的答案与同学进行交流. 教师活动:组织学生集体交流. 教师点拨:通过对表格中的数据的分析,我们可以找出h与t两个变量之间的数量关系,从而解决问题. 问题2:汽车在行驶过程中,制动后由于惯性仍将滑行一段距离才能停止,这段距离称为制动距离.某型号的汽车在路面上的制动距离s m与车速v km/h之间有经验公式:s=. (1)这个公式中涉及哪几个量 (2)制动时,当车速是40 km/h时,相应的制动距离是多少米 若车速是80 km/h时呢 学生活动:学生借助于s与v之间的关系,进行自主探究活动,并把所得的答案与同学进行交流. 教师活动:组织学生集体交流. 教师点拨:本题的解题关键是根据s与v之间的关系解决问题. 问题3:S市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线如图12-1-2所示. 图12-1-2 看图回答以下问题: (1)这个问题中,涉及哪几个量 (2)给出这天中的某一时刻,如4.5时,能找到这一时刻的用电负荷是多少吗 你是怎么找到的 找到的值是唯一确定的吗 20时呢 (3)在这一天中,用电负荷最高和最低各是多少 它们是在什么时刻达到的 学生活动:学生观察用电负荷曲线图,进行自主探究活动,并把所得的答案与同学进行交流. 教师活动:组织学生集体交流. 教师点拨:本题的解题关键是观察、分析用电负荷曲线图,从中找出y与t之间的变化关系. [思维提升] 从上述三个问题的解答上你能有什么发现 请把你的发现与同学交流. 　　通过学生对实际问题的操作,体会数学在生活中的应用,加深对概念的理解. 通过书上的三个情境活动的设计,让学生在自主探究与合作交流活动中充分经历新知识的发生与发展的过程,使学生有效地理解并掌握常量与变量、自变量与因变量以及函数的定义.通过这些活动的设计,可有效地引导学生自主地学习,培养学生分析解决问题的能力.
活动 一: 探究 与 应用 师生合作交流:师生合作交流得出如下结论: 在上述三个问题中,描述的都是一个变化过程,在每一个变化过程中都只涉及两个变量,其中一个变量的变化导致了另一个变量的变化,如问题1中t的变化导致了h的变化,问题2中v的变化导致了s的变化,问题3中t的变化导致了y的变化.对于每一个问题中的两个变量,它们之间都存在着一种对应关系,当给定了其中一个变量的值时,另一个变量相应地也就有唯一的值与它对应. [课堂总结] 教师引导学生归纳出如下知识: 一般地,设在一个变化过程中有两个变量x,y,如果对于x在它允许取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说y是x的函数,其中x是自变量. 问题1中,热气球到达的海拔高度h是自变量时间t的函数; 问题2中,制动距离s是自变量车速v的函数; 问题3中,用电负荷y是自变量时间t的函数. 教师点拨:判断两个变量之间的关系是函数关系,需要具备两个方面的条件:①在某个变化过程中只有两个变量;②对于自变量的每一个值,因变量都有并且只有唯一一个值与之对应.
【应用举例】 例1　一名老师带领x名学生到动物园参观,已知成人票每张30元,学生票每张10元.设门票的总费用为y元,则y与x之间的函数关系为 (A) A.y=10x+30　　　　　　 B.y=40x C.y=10+30x D.y=20x 　　进一步巩固课堂知识,讲练结合,使学生达到学以致用的目的.
【拓展提升】 例2　已知两个变量x和y,它们之间的3组对应值如下表,则y与x之间的函数关系可能是 (C) x-101y-3-4-3
A.y=3x　　　B.y=x-4　　　C.y=x2-4　　　D.y= 例3　为了加强公民的节水意识,某市制定了如下用水收费标准:每户每月的用水不超过10吨时,水价为每吨1.2元;超过10吨时,超过的部分按每吨1.8元收费.设该市某户居民5月份用水量为x吨,应交水费为y元,试用含x的代数式表示y,并判断y是不是x的函数 [解析] 本题中x的取值范围没有明确给出,因而水费的标准应分两种情况讨论. 解:当0≤x≤10时,y=1.2x,此时y是x的函数. 当x>10时,y=1.8(x-10)+1.2×10,即y=1.8x-6,此时y是x的函数. 　　进一步巩固所学知识,拓展学生知识的广度和深度,在培养学生观察、分析和解决问题的能力的同时,使学生的探究能力和创新能力得到有效的提升.
(续表)
活动 二: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.教材P26练习. 2.教材P33习题12.1中的T1. 　　当堂检测,及时反馈学习效果.
【知识总结】 一、常量与变量 常量:在某一变化过程中,数值保持不变的量叫作常量. 变量:在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫作变量. 强调:判断一个量是常量还是变量,需要从以下两个方面判断: ①看它是否存在于某一个变化过程中;②看它在这个变化过程中的取值情况. 二、函数 一般地,设在一个变化过程中有两个变量x,y,如果对于x在它允许取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说y是x的函数,其中x是自变量. 强调:判断两个变量之间的关系是函数关系,需要具备两个方面的条件: ①在某一变化过程中只有两个变量;②对于自变量取定的每一个值,另一个变量都有并且只有唯一一个值与之对应. 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课的主要内容是理解函数的概念,在教学时利用教材并对教材进行了再加工,通过对三个不同形式的问题的探讨,总结出三个问题的共同特征,由特殊到一般,使学生很好地掌握了函数的概念,并为下一节课的学习做好了铺垫. ②[讲授效果反思] 函数知识是方程、不等式以及方程组等知识的延续与拓展,是日后学习一次函数、反比例函数以及二次函数等知识的起点,学好函数的知识是后续学习的可靠保证.本节课从学生的生活实际和已有的知识经验出发创设情境,较好地激发了学生的探究热情和学习兴趣,对新知识的学习起到了很好的促进作用.从学生课堂上的学习情况来看,学生对常量和变量掌握较好,但对函数的定义理解不透彻,因此教师应注意在今后的教学以及作业中进一步对学生进行这方面的巩固和训练. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　 错题题号　　 　　反思,更进一步提升.
第2课时　函数的三种表示方法
课题 第2课时　函数的三种表示方法 授课人
教 学 目 标 1.了解函数的三种表示方法,并能选用适当的方法表示函数关系. 2.能正确地确定函数自变量的取值范围以及函数值. 3.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中,增强数学建模意识. 4.使学生在探究“求函数自变量取值范围的方法”的过程中,增强数学的建模意识,并能联系求代数式的值的知识,探究求函数值的方法. 5.深化对函数概念实质的认识,体验函数是研究运动变化的重要数学模型,激发学生的学习兴趣和学习积极主动性.
教学 重点 　　函数自变量的取值范围以及函数值的确定.
教学 难点 　　实际问题中函数自变量取值范围的确定.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 一台拖拉机开始耕地时其油箱中有油20升,拖拉机耕地时每小时耗油2.5升,则拖拉机油箱中的余油量Q(升)与耕地时间t(时)之间构成函数关系吗 如果构成函数关系,你能想办法把它们之间的函数关系表示出来吗 自变量t的取值范围是任意实数吗 学生活动:学生自主探究后并与同学进行交流. 教师活动:组织学生分组交流. 　　借助生活中的具体实例,引导学生进行自主探究,并组织学生进行合作交流,以此来激发学生的求知欲,从而引入新课.
活动 二: 探究 与 应用 师生合作交流:教师引导学生回顾上节课研究的三个问题(见教材24页和25页的问题1、问题2、问题3). 教师点拨:三个问题都反映了两个变量间的函数关系,可以看出三个问题分别使用了三种不同的方法来表示函数关系,它们分别是:列表法、图象法和解析法. 本节课我们来学习这三种表示方法. 1.列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法. 问题1就是通过列表法给出了热气球到达的海拔高度h与上升时间t之间的函数关系. 2.解析法 问题2中,制动距离s与车速v的函数关系是用等式s=来表示的.这种用数学式子表示函数关系的方法叫作解析法.其中的数学式子叫作函数表达式(或函数解析式). 教师点拨:在用函数表达式表示函数时,自变量的取值必须使函数表达式有意义. 3.图象法 问题3中S市某天用电负荷y与时间t的函数关系很难用式子表示,但是可用平面直角坐标系中的图形来表示. 问题:同学们能画出函数y=2x的图象吗 教师点拨:要画出一个函数的图象,关键是要画出图象上的一些点,为此,首先要取一些自变量的值,并求出对应的函数值. 师生合作交流:师生合作交流得到如下画函数图象的方法: 取自变量x的一些值,例如x=-3,-2,-1,0,1,2,3,…,计算出对应的函数值.为表达方便,可列表如下:
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 x…-3-2-10123…y…-6-4-20246…
由这一系列的对应值,可以得到一系列的有序实数对: …,(-3,-6),(-2,-4),(-1,-2),(0,0),(1,2),(2,4),(3,6),…,在直角坐标系中,描出这些有序实数对(坐标)的对应点,如图12-1-3①. 图12-1-3 通常根据点的位置的变化趋势,用平滑曲线依次把这些点连起来,便可得到这个函数的图象,如图12-1-3②. 教师点拨:上述画函数图象的方法,可以概括为列表、描点、连线三步,通常称为描点法. 试一试:你能用上述方法画出函数y=-2x的图象吗 学生活动:学生自主探究得出答案. 教师活动:引导学生利用描点法作图. 　　通过实际问题,引入函数的表示方法,使学生易于接受. 本环节先通过具体的函数由特殊到一般,引导学生通过自主探究和合作交流的办法探究出函数图象的一般画法:列表、描点、连线.
【应用举例】 例1　求下列函数中自变量x的取值范围: (1)y=2x+4;(2)y=-2x2; (3)y=;(4)y=. 学生活动:学生自主探究得出答案并与同学进行交流. 师生合作交流:师生合作交流得出答案. 例2　画出教材24页问题2中的函数s=的图象. 教师点拨:用描点法画函数图象的步骤:列表、描点、连线. 学生活动:学生自主探究得出答案. 师生合作交流:师生合作交流得到下列结论: 本题画函数图象的注意点是v≥0,不能取v<0的值. 教师点拨:(1)画实际问题中函数的图象时,应先确定自变量的取值范围,然后在自变量的取值范围内作出函数的图象. (2)画函数图象时,连线前应先观察点的变化趋势,然后再用光滑的曲线把各个点按自变量从小到大的顺序连接起来. 　　例1的设计意图是为了强化本节知识,让学生理解并能运用所学知识解决问题. 例2的设计是为了让学生掌握函数图象的一般画法:列表、描点、连线.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 图12-1-4 例3　如图12-1-4,等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm,AC与MN在同一直线上,开始时A点与M点重合,将△ABC向右移动,最后A点与N点重合.试写出重叠部分的面积y(cm2)与MA的长度x(cm)之间的函数表达式,并指出自变量的取值范围. 　　例3的设计意图既是为了巩固所学的新知识,同时也是为了渗透数学思想方法的教学,其目的是引导学生学会用函数的思想方法研究几何问题.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 请同学们谈谈本节课的收获. 本节课的主要内容有:函数的三种表示方法;自变量取值范围的确定;函数值的计算;函数思想方法是一种重要的数学思想方法. 　　培养学生对数学知识的归纳能力以及对知识点概括的语言表达能力,鼓励学生从数学知识、数学思想方法和数学情感等方面进行自我评价.
【达标测评】 1.教材P28练习. 2.教材P33习题12.1中的T2,T3,T4. 　　当堂检测,及时反馈学习效果.
【知识总结】 1.函数的三种表示方法. 2.函数自变量取值范围的确定. 3.函数值的计算. 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课通过生活中的实例让学生切实感受函数的三种表示方法以及三种表示方法各自的优缺点,并通过具体的实例让学生感受函数自变量有一定的取值范围.这种教学设计有效地促进了学生对新知识的理解和掌握,因而本节课的教学效果比较好. ②[讲授效果反思] 从课堂整体学情上看,绝大多数学生达到了应有的要求,但也有少数同学对函数自变量的取值范围,尤其是实际问题中自变量的取值范围的确定存在一些问题,需要在今后的作业和教学中进行巩固和训练. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　 错题题号　　 　　反思,更进一步提升.
第3课时　函数图象在实际生活中的简单应用
课题 第3课时　函数图象在实际生活中的简单应用 授课人
教 学 目 标 1.能正确地观察函数的图象并能正确地解决函数图象信息题. 2.体会数形结合思想,学会站在数学的角度分析生活中的数学问题,发展学生的应用意识. 3.学会观察图象、识别图象及理解图象所表示的含义;了解图象的意义及其与实际问题之间的关系和区别. 4.渗透数形结合思想,培养学生的好奇心与求知欲,体会数学来源于生活又应用于生活,在学习中初步感受数学与人类生活的密切联系.
教学 重点 　　学会观察函数的图象并能正确地解决函数图象信息题.
教学 难点 　　正确地解决函数图象信息题.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 　　活动:如图12-1-9是某地冬季某一天的气温随时间变化的图象,请根据图象填空: 图12-1-9 　　从学生已有的知识经验出发,借助生活中的具体实例,引导学生学会观察图象,并利用图象解决问题,使学生初步感受函数图象作用的同时,激发学生进一步学习和研究函数图象的欲望,从而引入新课.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 (1)14时的气温是　　　　℃; (2)在　　　　时气温最低,最低气温是　　　　℃. 学生活动:学生先自主探究得出答案,然后再与同学进行交流. [思维提升] 你是如何从图上找到各个时刻的气温的 教师点拨:这个图象可以看成一个直角坐标系,它的横轴是t轴,表示时间;它的纵轴是T轴,表示气温.这一气温曲线实质上给出了某日的气温T(℃)与时间t(h)之间的函数关系.例如,上午12时的气温是8 ℃,表现在气温曲线上,就是可以找到这样的对应点,它的坐标是(12,8).也就是说,当t=12时,对应的函数值T=8.气温曲线上每一个点的坐标(t,T)表示时间为t时的气温是T ℃.
活动 二: 探究 与 应用 问题1:图12-1-10是自动测温仪记录的图象,它反映了北京春季某天气温T随时间t的变化情况.你从图象中得到了哪些信息 图12-1-10 引导学生从两个变量的对应关系上认识函数,体会函数的意义;可以指导学生找出一天内最高、最低气温及对应的时间;某些时间段气温的变化趋势;认识图象的直观性及优缺点;总结变化规律…… 结论:(1)一天中每一时刻t都有唯一的气温T与之对应.可以认为,气温T是时间t的函数. (2)这天中凌晨4时气温最低为-3 ℃,14时气温最高为8 ℃. (3)从0时至4时气温呈下降状态,即温度随时间的增加而下降.从4时至14时气温呈上升状态,从14时至24时气温又呈下降状态. (4)我们可以从图象中直观看出一天中气温的变化情况及任一时刻的气温大约是多少. 问题2:图12-1-11反映的过程是小明从家去菜地浇水,又去玉米地锄草,然后回家.其中x(min)表示时间,y(km)表示小明离他家的距离. 图12-1-11 根据图象回答下列问题: 1.菜地离小明家多远 小明走到菜地用了多少时间 2.小明给菜地浇水用了多少时间 3.菜地离玉米地多远 小明从菜地到玉米地用了多少时间 4.小明给玉米地锄草用了多少时间 5.玉米地离小明家多远 小明从玉米地走回家平均速度是多少 引导学生分析图象、寻找图象信息,特别是图象中两段平行于x轴的线段的意义. 结论:(1)由纵坐标看出,菜地离小明家1.1 km;由横坐标看出,小明走到菜地用了15 min. (2)由平行线段的横坐标可看出,小明给菜地浇水用了10 min. (3)由纵坐标看出,菜地离玉米地0.9 km.由横坐标看出,小明从菜地到玉米地用了12 min. (4)由平行线段的横坐标可看出,小明给玉米地锄草用了18 min. 　　引导学生学会观察图象,利用图象信息解决问题. 进一步巩固学生从图象中获取信息的能力,体会用图形表示现实意义的便捷与直观性.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 (5)由纵坐标看出,玉米地离小明家2 km.由横坐标看出,小明从玉米地走回家用了25 min.所以平均速度为:2÷25=0.08(km/min). 教师点拨:这两道题是我们数学中一种非常重要的题型——图象信息题,在平时的考试和中考中经常出现,是一种热点题型,希望同学们要真正理解和掌握这类题型.解这类题型的关键是学会看图,能正确地从图象中获取信息.
【应用举例】 例1　星期天晚饭后,小红出门散步,如图12-1-12描述了她散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的关系. 图12-1-12 (1)取一个t的值,相应的s的值确定吗 s可以看作t的函数吗 t可以看作s的函数吗 (2)第12 min时,小红离家多远 解:(1)取一个t值,相应的s的值确定,s可以看作t的函数,取一个s值没有唯一的t值与之对应,所以t不可以看作s的函数. (2)由图象,得t=12时,s=500,小红离家500 m. 　　本环节设计的意图有两个:一是进一步巩固函数图象的画法,使学生进一步体会连线时要注意用光滑的曲线来连接;二是拓展学生的知识面和解题能力,在引导学生学会观察函数图象的同时,使学生掌握函数图象信息题的解法.
【拓展提升】 例2　某仓库调拨一批物资,调进物资共用8小时.调进物资4小时后同时开始调出物资(调进与调出物资的速度均保持不变).该仓库库存物资w(吨)与时间t(时)之间的函数关系如图12-1-13所示.则这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是多少 图12-1-13 解:由图可知4小时共调进物资60吨,平均每小时调进15吨,8小时共调进物资120吨;而4小时共调出物资120-20=100(吨),平均每小时调出25吨,从而调出剩余的20吨物资还需要20÷25=0.8(时),故这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是8+0.8=8.8(时). 师生合作交流得到下面的结论: 图象上的“拐点”(即图象发生变化的“节点”)是图象上的重要信息,也是解决问题的关键所在. 　　例题的讲解是引导学生学会用新知识解决问题,其目的是巩固所学的新知识.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 请同学们谈谈本节课的收获. 本节课的主要内容有:读图象解决实际问题,找图象上的“拐点”是解决问题的关键所在. 　　通过课堂小结环节的设计既可以引导学生对函数图象知识的反思,同时也可引起学生对函数图象信息题的重视,提高学生从图象上获取信息的能力.
【达标测评】 1.教材P32练习. 2.教材P33习题12.1中的T6,T7. 　　当堂检测,及时反馈学习效果.
【知识总结】 1.函数图象的应用. 2.函数图象信息题的解法:找图象上的“拐点”是解决问题的关键所在. 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 对函数图象信息题的学习,一方面可借助于图象上点的坐标的确定方法来类比学习,另一方面可通过观察函数图象的特点,找出函数图象上的点与问题情境之间的关系,从而获得解决图象信息题的方法与策略,并通过一定的练习来提升解题能力. ②[讲授效果反思] 学生对函数图象信息题总体上掌握得还不错,能借助图象观察出解题所需要的信息.但也有极少数同学存在不会识别图象信息的问题,可对这部分同学个别辅导. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　 错题题号　　 　　反思,更进一步提升.