12.2 一次函数 6课时打包 教案 2025-2026学年数学沪科版八年级上册

12.2　一次函数
第1课时　正比例函数的图象与性质
课题 第1课时　正比例函数的图象与性质 授课人
教 学 目 标 1.理解一次函数和正比例函数的概念. 2.会利用两点法画出正比例函数的图象. 3.渗透数学建模的思想,使学生体会到数学的抽象性和广泛的应用性. 4.让学生经历观察、比较、交流等活动,进一步提升学生有条理的表达能力,培养学生发现问题、提出问题的能力. 5.经历一次函数概念的形成以及正比例函数图象画法的探究过程,进一步培养学生探究新知识的能力以及合作交流能力.
教学 重点 　　一次函数的概念和正比例函数图象的画法.
教学 难点 　　对一次函数定义的理解.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件、直尺
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【探究与交流】有这样一些函数: h=30t+1800,Q=-25t+300,y=2x,y=-2x,s=80t. 这些函数有什么特点 请把你的发现与同学交流. 学生活动:学生先自主探究得出答案,然后再与同学进行交流. 师生合作交流:师生合作交流得到如下知识: 一次函数的定义:形如y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的函数叫作一次函数. 特别地,当b=0时,函数y=kx(k为常数,且k≠0)叫作为正比例函数. 教师点拨:两个变量的比值是定值时,我们称这两个变量成正比例.由于y=kx(k为常数,且k≠0)中=k(定值),所以一次函数y=kx(k为常数,且k≠0)又称为正比例函数. 　　以探究与交流活动为背景,设计情境,借助于学生已有的知识经验引导学生探究出一次函数的定义,从而为新课的引入做铺垫.
活动 二: 探究 与 应用 学生合作交流:前面我们画过函数y=2x和y=-2x以及其他一些正比例函数的图象,同学们回顾一下这些正比例函数图象的形状,思考一下它们有什么共同的特点. 教师活动:引导学生通过合作交流归纳出下面的知识: 正比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)的图象是一条经过原点的直线,通常我们把正比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)的图象叫作直线y=kx. 教师点拨:因为两点确定一条直线,所以画正比例函数的图象,只要先描出两点,再过这两点画直线即可. 　　本环节借助学生已有的知识经验,采用温故而知新的办法以及通过学生自主探究、合作交流等一系列活动的开展,引导学生探究出正比例函数图象的画法——两点法.
活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图象: y=x,y=x,y=3x. 教师点拨:可以选择其中一点为原点,另一点为(1,k). 学生活动:学生自主画出函数的图象. 例2　在同一平面直角坐标系中,画下列函数的图象: y=-x,y=-x,y=-3x. 教师点拨:利用两点法画正比例函数的图象. 学生活动:学生自主探究出答案. [思考与交流]学过了上面例1及练习后可以看出,当k取不同的数值时,就确定直线y=kx(k为常数,且k≠0)在坐标系中有不同的位置.你能从中归纳出怎样的规律 学生活动:学生自主探究并与同学进行交流. 教师活动:组织学生进行探究交流,并通过师生合作交流活动引导学生归纳出正比例函数的性质: (1)k>0时,直线y=kx经过第一、三象限;k<0时,直线y=kx经过第二、四象限. (2)当k>0时,y随x的增大而增大(图象是自左向右上升的); 当k<0时,y随x的增大而减小(图象是自左向右下降的). 观察例1和例2所画的函数图象,试回答下列问题: |k|的大小不同,对函数y=kx(k≠0)的图象有什么影响 学生活动:学生自主探究出答案,并与同学交流. 师生合作交流:师生合作交流得到下列结论: |k|的值越大,直线y=kx(k≠0)越靠近y轴. 　　引导学生观察图象,在获得感性认识的基础上,进一步引导学生进行理性思考,从而通过自主探究与合作交流等活动归纳出正比例函数的性质. 本环节设计的意图是进一步巩固新知识,拓展学生的知识面,使学生初步了解k的取值对正比例函数y=kx(k≠0)的图象位置的影响.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 1.一次函数及正比例函数的定义: 一般地,形如y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的函数叫作一次函数. 特别地,当b=0时,函数y=kx(k为常数,且k≠0)叫作正比例函数. 2.一次函数的一般式: y=kx+b(k,b都是常数,且k≠0). 3.正比例函数图象的画法. 4.k的取值对正比例函数y=kx(k≠0)的图象位置的影响. 　　正比例函数是学习一次函数知识的基础,也是学生今后学习其他函数知识的基础,通过“课堂小结”环节的设计既可以促进学生对一次函数定义的理解和掌握,同时也可以促进学生对正比例函数知识的反思和理解,从而进一步培养学生对新知识的概括能力.
【达标测评】 1.教材P37练习. 2.教材P46习题12.2中的T1. 　　当堂检测,及时反馈学习效果.
(续表)
活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 进行问题设计是本节课的一个关键.课堂中,巧妙设计问题,引导学生探究并得出结论,是一个不断提出问题,不断解决问题的思维过程,在教学中,运用了“让学生学会观察,学会探究,在观察中发现新问题,在探究中领会新知识”的教学理念,采取了引导式的方式,充分让学生体验作正比例函数图象的方法. ②[讲授效果反思] 借助学生已有的知识经验,以探究与交流活动为背景,设计情境,在为新课的引入及一次函数的学习做铺垫的同时,也有利于促进学生对一次函数定义的理解和掌握.本节课学生掌握的情况较好,绝大多数学生都能很好地掌握本节课所学的知识,并且能运用所学的知识解决问题.存在的问题是极少数同学对“k的取值对直线y=kx(k≠0)位置的影响”理解不透彻,还需在今后的教学中进一步加强巩固和训练. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　 错题题号　　 　　反思,更进一步提升.
第2课时　一次函数的图象
课题 第2课时　一次函数的图象 授课人
教 学 目 标 1.能熟练地画出一次函数的图象. 2.理解并掌握k,b的取值对直线y=kx+b(k≠0)位置的影响. 3.经历由特殊到一般的探究过程,培养学生的观察分析、自主探索、合作交流的能力;结合图象探究性质,培养了学生数形结合的意识和能力. 4.学生通过自主探索和实际操作,掌握一次函数的图象的画法,培养学生的数形结合能力. 5.通过动手操作,观察探索一次函数的特征,体验数学研究和发现的过程,逐步培养学生在教学活动中的主动探索的意识和合作交流的习惯.
教学 重点 　　一次函数图象的作法及k,b的取值对直线y=kx+b(k≠0)位置的影响.
教学 难点 　　k,b的取值对直线y=kx+b(k≠0)位置的影响.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件、直尺
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 　　我们已经知道正比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)的图象是一条经过原点的直线,对于一次函数y=kx+b(k为常数,且k≠0),当b≠0时,它的图象又是什么呢 　　从学生已有的知识出发,提出新问题,激发学生的学习兴趣.
活动 二: 探究 与 应用 下面我们通过具体的例子来说明. 例1　画一次函数y=2x+3的图象. 学生活动:学生自主探究得出答案. 教师活动:教师引导学生采用描点法来画图. [思考并交流] 观察所画的一次函数的图象,其图象有什么特点 请把你的结论与同学交流. 学生活动:学生自主探究得出答案后再与同学进行交流. 教师活动:教师引导学生观察所画的图象,并组织学生讨论交流得到下面的结论: 一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象是一条直线,我们常把一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象叫作直线y=kx+b. 教师点拨:同正比例函数一样,一次函数的图象也可以用两点法来作. 　　本环节从学生已有的知识经验——正比例函数的图象入手,先引导学生探究得出一次函数的图象的画法,在此基础上引导学生探究一次函数的图象特点.设计例题的目的是巩固所学的新知识.
活动 二: 探究 与 应用 [讨论交流] 画一次函数的图象时,取哪两个点比较简便 师生合作交流:师生合作交流得到如下结论: 一般情况下,我们画一次函数的图象时常选取直线与x轴、y轴的两个交点. 教师点拨:直线y=kx+b与y轴相交于点(0,b),b叫作直线y=kx+b在y轴上的截距,简称截距. 例2　画出直线y=-x+2,并求它的截距. 教师点拨:可先求出直线与x轴、y轴的交点坐标,再画出直线. 学生活动:学生自主探究得出答案. 解:直线与x轴的交点为(3,0),与y轴的交点为(0,2). 如图12-2-4: 图12-2-4 截距为2. 　　例1和例2有利于学生对一次函数的图象的理解,能起到及时巩固的作用.
【应用举例】 例1　利用两点法在同一平面直角坐标系中画出下列几个函数的图象,并观察它们的位置关系. y=-x+1,y=-x-2,y=2x+1,y=2x-2. 学生活动:学生自主探究得出答案再与同学进行交流. 教师活动:引导学生观察图象,并组织学生进行交流,从而归纳出如下结论: (1)k相同、b不相同时,两条直线互相平行. (2)k不相同时,两条直线相交;特别地,当b相同时两条直线的交点在y轴上. (3)互相平行的两条直线之间可以通过平移得到.直线y=kx+b(k≠0)可以看作由直线y=kx(k≠0)向上或向下平移|b|个单位长度得到的.b>0,直线向上平移;b<0,直线向下平移. 教师点拨:平行的两条直线之间也可以通过左右平移得到,具体平移的方法可以借助示意图来帮助确定. 例2　直线y=-x+3,y=-x-5分别是由直线y=-x经过怎样的平移得到的. 教师点拨:只要k相同,直线就平行,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是由正比例函数y=kx(k≠0)的图象向上或向下平移|b|个单位长度得到的.b>0,直线向上平移;b<0,直线向下平移. 解:直线y=-x+3是由直线y=-x向上平移3个单位长度得到的;而直线y=-x-5是由直线y=-x向下平移5个单位长度得到的. 　　理解图象的平移之间的关系.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例3　正比例函数y=kx(k≠0)的图象在第二、四象限,则一次函数y=x+k的图象大致是 (　　) 图12-2-5 例4　在平面直角坐标系中,将直线y=-2x+1的图象向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到的直线对应的函数表达式是(　　) A.y=-2x-2　　　　　　 B.y=-2x+6 C.y=-2x-4 D.y=-2x+4 　　例3、例4的设计意图是进一步巩固新知识,拓展学生的知识面,在帮助学生进一步理解一次函数图象的特点的同时,使学生初步学会利用图象来解决一些问题.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 1.一次函数的图象特点: 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,这条直线通常又称为直线y=kx+b.特别地,正比例函数y=kx(k≠0)是经过原点的一条直线. 2.一次函数图象的画法:两点法. 3.两条直线的位置关系 (1)k相同、b不相同时,两条直线互相平行. (2)k不相同时,两条直线相交;特别地,当b相同时,两条直线的交点在y轴上. (3)直线与y轴的交点取决于b的取值,b称为直线在y轴上的截距. (4)互相平行的两条直线之间可以通过平移得到. 　　课堂小结的设计一方面可以帮助学生梳理本节课所学的知识与方法,另一方面可以引导学生反思本节课的知识与方法,使学生形成知识的网络结构.
【达标测评】 1.教材P39练习. 2.教材P46习题12.2中的T3,T4,T5. 　　当堂检测,及时反馈学习效果.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 在本节课的教学中,坚持以学生为主体,采用自主探究——小组合作交流——问题升华的教学模式.既注重学生基础知识的掌握,又重视学生学习习惯、自主探究、合作学习能力的培养,同时每一个问题都向学生渗透“数形结合”的数学思想,每一个问题的解决都坚持给学生“自主探究问题”的机会.在学生想展示自己的做法时,给学生充足的时间进行合作交流;当学习达到高潮时,引导学生将问题延伸,升华思想;最后,精心设计问题,拓宽学生的知识面,培养创造性思维. ②[讲授效果反思] 本节课从正比例函数的图象特点入手,先引导学生猜想一次函数图象的特点,然后再让学生通过具体的操作——作一次函数的图象进行验证,这种教学方法不仅可以有效地激发学生的学习热情,而且可以较好地培养学生的探究能力和科研素养.接着再借助直观图象引导学生观察一次函数图象的特点,从而通过讨论交流等活动引导学生归纳出一次函数图象的画法以及两直线的位置关系,这种由直观到抽象、由特殊到一般的教学方法可以较好地提高课堂的教学效率,促进学生对新知识的理解和掌握. 　　反思,更进一步提升.
活动 三: 课堂 总结 反思 ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　 错题题号　　
第3课时　一次函数的性质
课题 第3课时　一次函数的性质 授课人
教 学 目 标 1.进一步复习和巩固一次函数和正比例函数的图象,使学生能熟练地作出一次函数的图象. 2.掌握一次函数y=kx+b(k≠0)的性质,能根据k与b的符号说出函数的有关性质. 3.通过一次函数的图象归纳函数的性质,体验数形结合方法的应用. 4.通过对一次函数的图象和性质的研究,体会数形结合思想在问题解决中的作用,并能熟练运用性质解决问题. 5.让学生全身心地投入到学习活动中,能积极地与同伴合作交流,并能进行探索活动,发展实践能力与创新精神.
教学 重点 　　对一次函数y=kx+b(k≠0)性质的理解和掌握.
教学 难点 　　对一次函数y=kx+b(k≠0)性质的探究.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件、直尺
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 已知一次函数y=3x+1,y=2x-3和y=x+4. (1)分别列出x,y的对应值表,观察当自变量x的值逐渐增大时,函数值y是增大还是减小 (2)画出图象,上述变化从图象上看,直线从左到右是上升还是下降 　　借助表格中的具体数据和直观的函数图象让学生初步获得对一次函数性质的感性认识,从而为新课的引入做铺垫.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 学生活动:学生自主探究得出答案,并与同学进行交流. 教师活动:组织学生进行合作交流,从而得到下列结论: (1)y随着x的增大而增大. (2)图象从左到右上升. 用类似的方法观察函数y=-3x-1,y=-2x+3和y=-x-4的图象的变化趋势,从中你有什么发现 学生活动:学生自主探究得出答案,并与同学进行交流. 教师活动:组织学生进行合作交流,从而得到下列结论: (1)y随着x的增大而减小. (2)图象从左到右下降. 教师点拨:从上面的探究交流活动中,你能发现一次函数有哪些特殊的性质 小结:教师引导学生归纳出一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的性质: (1)当k>0时,y随x的增大而增大(图象自左向右上升的); (2)当k<0时,y随x的增大而减小,(图象自左向右下降的). 教师点拨:一次函数的性质可借助一次函数的图象来帮助理解和记忆. 　　本环节的设计是为了组织学生进行自主探究与合作交流活动,通过这些活动的设计可有效地引导学生探究出一次函数的性质.
【应用举例】 例1　已知一次函数y=(2m+1)x+5,若y随x的增大而增大,求m的取值范围. 教师点拨:已知一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0),若k>0,则y随x的增大而增大. 学生活动:学生自主探究得出答案. 解:根据题意得2m+1>0,解得m>-. 例2　已知直线y=-2x+3经过点A(x1,y1)和B(x2,y2),当x1>x2时,y1与y2哪个大 教师点拨:y1与y2的大小可利用一次函数图象的变化情况确定. 学生活动:学生自主探究得出答案. 解:因为k=-2<0,所以y随x的增大而减小.又因为x1>x2,所以y1【拓展提升】 例3　当b>0时,函数y=x+b的图象经过哪几个象限 当b<0时呢 教师点拨:可借助示意图来帮助思考和解决问题. 学生活动:学生自主探究得出答案. 解:当b>0时,函数y=x+b的图象经过第一、二、三象限;当b<0时,函数y=x+b的图象经过第一、三、四象限. 思考:你能指出一次函数y=kx+b的图象经过哪些象限吗 请把你的想法与同学进行交流. 师生合作交流得到下面的结论: (1)k决定直线是一定经过第一、三象限还是一定经过第二、四象限. (2)b决定直线与y轴的交点的位置,b>0时,直线与y轴的交点在y轴的正半轴上;b<0时,直线与y轴的交点在y轴的负半轴上;b=0时,直线经过原点. 　　进一步巩固一次函数的性质,拓展学生的知识面,提高学生运用图象解决问题的能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 1.一次函数y=kx+b有下列性质: (1)当k>0时,图象一定经过第一、三象限,y随x的增大而增大,这时函数的图象从左到右上升; (2)当k<0时,图象一定经过第二、四象限,y随x的增大而减小,这时函数的图象从左到右下降. 2.k,b的取值对直线位置的影响: (1)k决定直线是一定经过第一、三象限还是经过第二、四象限. (2)b决定直线与y轴的交点的位置,b>0时,直线与y轴的交点在y轴的正半轴上;b<0时,直线与y轴的交点在y轴的负半轴上;b=0时,直线经过原点. 3.一次函数的性质可结合图象来理解记忆. 　　引导学生学会归纳与反思,进一步强化本节课所学的知识与方法,使学生切实理解并掌握一次函数的性质,并学会借助一次函数的图象来帮助自己理解知识和解决问题.
【达标测评】 1.教材P41练习. 2.教材P47习题12.2中的T8,T9. 　　当堂检测,及时反馈学习效果.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 探究和理解一次函数的性质是本节课的重点也是难点.由于本节课从直观的图象入手,因而使得学生对一次函数图象的特点及其性质有了较为深刻的感性认识.在此基础上,再通过“思维拓展”的设计就能比较容易地引导学生探究得出一次函数的性质. ②[讲授效果反思] 本节课所用的基本方法是由表达式画图象,再由图象得出性质,最后反过来由函数的性质研究其图象的其他特征.这样适合学生的思维方式,有利于学生更好地掌握新知识,效果比较显著.例题选取也比较典型,学生分析得比较到位,能够使学生更完整、灵活地理解与掌握一次函数的图象与性质. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　 错题题号　　 　　反思,更进一步提升.
第4课时　待定系数法
课题 第4课时　待定系数法 授课人
教 学 目 标 1.进一步复习和巩固一次函数和正比例函数的图象与性质,使学生能熟练地运用一次函数和正比例函数的图象与性质解决问题. 2.使学生理解并掌握用待定系数法确定函数表达式的方法,并能熟练地用待定系数法确定一次函数与正比例函数的表达式. 3.经历探索求一次函数与正比例函数的表达式的过程,感受待定系数法及方程思想在解题中的作用. 4.通过引入待定系数法的过程,向学生渗透转化的思想,并初步形成“数形结合”的思想方法,培养学生分析问题和解决问题的能力. 5.在解决问题的过程中,让学生体会数学的价值并感受成功的喜悦,建立自信心.
教学 重点 　　用待定系数法确定一次函数与正比例函数的表达式.
教学 难点 　　如何借助待定系数法得出关于一次函数y=kx+b(k≠0)中的k,b的方程或方程组.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 如何画一次函数y=x-3的图象 反过来,知道了一次函数的图象如何确定它的表达式 师生合作交流得到确定一次函数表达式的方法: 先设所求的一次函数的表达式为y=kx+b,然后在图象上找出两点的坐标,再将两点的坐标代入y=kx+b中得到关于k和b的方程组,解方程组求出k和b的值,从而确定出一次函数的表达式. 　　借助一次函数图象的画法,通过逆向思维法创设问题情境,引入新课,从而有效地激发学生对新知识的探究热情.
活动 二: 探究 与 应用 例　如果知道一个一次函数,当自变量x=4时,函数值y=5;当x=5时,y=2.写出函数表达式并画出它的图象. 教师点拨:由此函数是一次函数可以知道其表达式必为y=kx+b的形式,把x=4,y=5;x=5,y=2两组值分别代入就可求出k和b的值. 学生活动:学生自主探究得出答案. 解:设这个一次函数的表达式为y=kx+b. 根据题意得解得 所以此一次函数的表达式为y=-3x+17. 图象如图12-2-10. 图12-2-10 教师点拨:将一次函数的表达式先设为y=kx+b(k,b是待确定的系数),再根据已知条件列出关于k,b的方程组,求得k,b的值.这种确定表达式中系数的方法,叫作待定系数法. 师生合作交流得到如下知识: 利用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤: 第一步,设出一次函数表达式的一般形式; 第二步,找出解题所需要的条件; 第三步,列出方程或方程组; 第四步,解方程或方程组; 第五步,确定函数表达式. 　　例题教学的设计是为了巩固待定系数法,让学生学会用待定系数法求一次函数的表达式,使学生掌握用待定系数法求一次函数表达式的规范格式.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　已知一次函数的图象经过点(2,1)和点(3,2),求当x=5时,函数y的值. 教师点拨:要求x=5时函数y的值,其关键是求出一次函数的表达式. 学生活动:学生自主探究得出答案. 解:设一次函数的表达式为y=kx+b. 根据题意得解得 所以一次函数的表达式为y=x-1. 当x=5时,y=5-1=4. 例2　已知弹簧的长度y(厘米)在一定的限度内是所挂物体质量x(千克)的一次函数.现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米,挂4千克质量的重物时,弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的表达式. 教师点拨:本题的关键是设法找出两组x,y的值,从而可参考例1的解题方法来解题. 学生活动:学生自主探究得出答案. 解:设一次函数的表达式为y=kx+b. 根据题意得解得 所以一次函数的表达式为y=0.3x+6. 　　例1设计的意图是让学生学会借助一次函数的表达式来求函数自变量的取值或函数值. 例2设计的意图是让学生学会利用一次函数的表达式解决实际问题.
【拓展提升】 例3　已知直线AB和直线AC的位置如图12-2-11,试根据图象解答下列问题: 图12-2-11 (1)分别求出直线AB和直线AC的函数表达式; (2)求出它们的交点A的坐标; (3)求出这两条直线与x轴、y轴围成的四边形OBAD的面积. 教师点拨:(1)从图象信息上可知道B点、E点、C点、D点的坐标,从而利用待定系数法可以分别求出直线AB和直线CD的函数表达式. (2)由于交点A既在直线AB上也在直线AC上,因而A点的坐标同时满足两条直线的表达式,故而A点的坐标可由两条直线的表达式组成的方程组求得. (3)由于四边形OBAD的面积不能直接求出,故而应考虑利用割补的办法来进行计算.从图象上容易看出四边形OBAD的面积=△COD的面积-△ABC的面积,从而可求得四边形OBAD的面积. 师生合作交流探究得出答案. 解:(1)设直线AB的函数表达式为y=kx+b. 由图象可得B,E两点的坐标分别为B(1,0),E(0,-3),代入y=kx+b中得解得 所以直线AB的函数表达式为y=3x-3. 设直线CD的函数表达式为y=mx+n. 　　本题综合性较强,综合运用了函数表达式的求法、图象交点坐标的求法、解二元一次方程组以及几何图形面积的计算方法等,其难度较大,既是对学生综合思维能力的培养与锻炼,同时也是对学生知识面的拓展与提高.
活动 二: 探究 与 应用 由图象可知C,D两点的坐标分别为C(5,0),D(0,5),代入y=mx+n中得解得 所以直线CD的函数表达式为y=-x+5. (2)根据题意得解得所以交点A的坐标为(2,3). (3)由图象可知:S四边形OBAD=S△COD-S△ABC=.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.教材P42练习. 2.教材P47习题12.2中的T11,T12,T13. 　　当堂检测,及时反馈学习效果.
【课堂小结】 1.确定一次函数表达式的方法:待定系数法. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤: 第一步:设出一次函数表达式的一般形式; 第二步:找出解题所需要的条件; 第三步:列出方程或方程组; 第四步:解方程或方程组; 第五步:确定函数表达式. 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 反思本节课的教学,学生整体配合不错,兴趣较浓,从学生的练习情况看,新知识的方法接受得不错,特别是小组合作的时候课堂气氛很热烈,同学们都在积极参与,但是由于学生的基础参差不齐,部分学生独立解答还是有问题,比如:少部分同学会列方程组,但是答案是错的.这就需要在今后的教学中注重“分层次教学”,对于基础较差的同学多一点辅导,先让他们只做一些基础性的题目,慢慢培养他们学习数学的信心. ②[讲授效果反思] 函数表达式是函数知识的重点和难点,是函数图象及其性质的根基,也是解决函数问题的关键.确定函数表达式的基本方法是待定系数法.从课堂上的教学情况来看,学生对待定系数法比较容易接受,绝大多数学生能设法找出相关的条件列出方程或方程组来确定待定系数,但也有部分学生列不出方程或方程组,甚至解方程或方程组时还存在问题.针对这种情况,教师可以在教学之余适当地对一些学生进行个别辅导,从而帮助这部分学生切实掌握待定系数法. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　 错题题号　　 　　反思,更进一步提升.
第5课时　一次函数的简单应用——分段函数问题
课题 第5课时　一次函数的简单应用 ——分段函数问题 授课人
教学 目标 1.理解和掌握一次函数在实际生活中的应用,能利用一次函数解决分段函数的问题. 2.在探究问题的过程中,培养学生分析问题、解决问题的能力. 3.让学生经历探究的过程,在探究活动中发展学生的合作意识和探究能力.
教学 重点 　　确定变量之间的函数关系,正确列出函数表达式.
教学 难点 　　抽象出函数表达式,能正确进行变量之间的计算.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 探究 与 应用 【探究】 利用一次函数解决分段问题 例　为了鼓励市民节约用水,某市采用分档计费的方式计算水费.下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准: 计费档户年用水量x单价/(元/m3)第一档不超过220 m3时3.45第二档超过220 m3但不 超过300 m3的部分4.83第三档超过300 m3的部分5.83
(1)当220300时,你能写出水费y(单位:元)与用水量x(单位:m3)之间的函数表达式吗 (2)像上述例题这样计费有什么意义 设计计费规则时要注意什么 生活中还有哪些情况用到类似的计费方法 学生通过交流,得出问题(1)水费y(单位:元)与用水量x(单位:m3)之间的函数表达式为y=5.83x-603.6.问题(2)这样计费,有助于节约用水,杜绝浪费水资源. 　　1.通过探究,理解分段函数的计费标准,掌握对应的自变量与因变量之间的关系,提高学生分析的能力,培养学生的小组合作精神. 2.通过实际问题,增加节水意识,感受阶段收费在实际生活中的应用.
【应用举例】 例1　打车软件的出现很大程度上方便了我们的生活,了解到某快车普通时段的最新收费标准见下表: 里程收费/元2千米以下(含2千米)11.42千米以上,每增加1千米1.95
活动 一: 探究 与 应用 (1)求该快车的收费y(元)与行驶的里程数x(千米)之间的函数表达式; (2)上周一,李老师乘坐该快车从家到学校的车费是15.3元,李老师家距离学校多少千米 已知王老师家距离学校1.8千米,求王老师乘坐该快车从家到学校的车费. 解:(1)由题意,得 当02时,y=11.4+(x-2)×1.95=1.95x+7.5, 由上可得,该快车的收费y(元)与行驶的里程数x(千米)之间的函数表达式是y= (2)当y=15.3时,15.3=1.95x+7.5, 解得x=4, 所以李老师家距离学校4千米. 因为1.8<2, 所以王老师乘坐该快车从家到学校的车费是11.4元. 答:李老师家距离学校4千米,王老师乘坐该快车从家到学校的车费是11.4元. 　　对所学知识进行应用,促进学生巩固知识.
【拓展提升】 例2 　根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求,某市结合地方实际,对居民生活用电实行“阶梯电价”收费,具体收费标准见下表: 一户居民一个月 用电量的范围电费价格 (单位:元/千瓦时)不超过150千瓦时a超过150千瓦时但不超过 300千瓦时的部分b超过300千瓦时的部分a+0.3
该市居民甲用电100千瓦时,交电费60元;居民乙用电200千瓦时,交电费122.5元.该市一户居民某月用电x千瓦时,当月交电费y元. (1)上表中,a=　0.6　,b=　0.65　; (2)请直接写出y与x之间的函数表达式; (3)实行“阶梯电价”收费以后,该市一户居民月用电多少千瓦时时,其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元 解:(1)根据该市居民甲用电100千瓦时,交电费60元可得a=60÷100=0.6. 居民乙用电200千瓦时,交电费122.5元,则b=(122.5-0.6×150)÷(200-150)=0.65. 故a=0.6,b=0.65. 故答案为0.6,0.65. (2)当x≤150时,y=0.6x; 当150活动 一: 探究 与 应用 当x>300时,y=0.9(x-300)+0.6×150+0.65×150=0.9x-82.5. 综上可得y= (3)当居民月用电量x≤150时,若0.6x≤0.62x,则x≥0; 当居民月用电量x满足150300时,若0.9x-82.5≤0.62x, 解得x≤294,不合题意. 综上所述,实行“阶梯电价”后,该市一户居民月用电量不超过250千瓦时时,其月平均电价每千瓦时不超过0.62元.
活动 二: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.某城市市内电话的收费标准为3 min以内(含3 min)收费0.2元,超过3 min每增加1 min(不足1 min按1 min计算)收0.1元,那么当时间超过3 min时,电话费y(元)与时间t(min)之间的函数表达式为 (D) A.y=0.1t(t>3,t为整数) B.y=0.1t+0.2(t>3,t为整数) C.y=0.1t-0.2(t>3,t为整数) D.y=0.1(t-3)+0.2(t>3,t为整数) 2.小明从深圳往广州邮寄一件包裹,邮资收费标准为每千克0.9元,并每件另加收手续费3.5元. (1)求总邮资y(元)与包裹质量x(千克)之间的函数表达式; (2)若小明的包裹质量为5千克,则小明应付的总邮资为多少 (3)若小明所付总邮资为12.5元,则小明的包裹质量为多少 解:(1)依题意,得y=0.9x+3.5. (2)把x=5代入y=0.9x+3.5,得y=0.9×5+3.5=8(元). 答:若小明的包裹质量为5千克,则小明应付的总邮资为8元. (3)把y=12.5代入y=0.9x+3.5,得12.5=0.9x+3.5, 解得x=10. 答:若小明所付总邮资为12.5元,则小明的包裹质量为10千克. 3.为了提高公民的节水意识,合理利用水资源,各地采用价格调控手段达到节约用水的目的,某市规定如下用水收费标准:每户每月的用水量不超过6立方米时,水费按每立方米a元收费;超过6立方米时,超过的部分每立方米按c元收费.该市某户今年9,10月份的用水量和所交水费如下表所示: 月份用水量(立方米)水费(元)9512.510927
设该户每月用水量x(立方米),应交水费y(元). (1)求a,c的值; (2)分别写出当x≤6,x>6时,y与x之间的函数表达式; 　　检验学生对基础知识的掌握情况,检测后给学生反馈及矫正的时间,对本节课的学习进行查漏补缺.
(续表)
活动 二: 课堂 总结 反思 (3)若该户11月份用水量为8立方米,求该户11月份的水费是多少元. 解:(1)已知每户每月的用水量不超过6立方米时,水费按每立方米a元收费, 由9月份水费可知,5a=12.5, 解得a=2.5. 已知超过6立方米时,超过的部分每立方米按c元收费, 由10月份水费可知,6a+(9-6)c=27, 已知a=2.5, 解得c=4. (2)当x≤6时,由(1)得不超过6立方米时水费按每立方米2.5元收费, 此时y与x之间的函数表达式为y=2.5x. 当x>6时,由(1)得不超过6立方米时水费按每立方米2.5元收费,超过的部分按每立方米4元收费, 此时y与x之间的函数表达式为y=6×2.5+4(x-6)=4x-9, 所以当x≤6时,y与x之间的函数表达式为y=2.5x; 当x>6时,y与x之间的函数表达式为y=4x-9. (3)因为8>6, 所以y=4x-9=4×8-9=23, 所以该户11月份的水费是23元.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 利用生活中的实际情境,激发学生学习的积极性,让学生参与探究的全过程,从而会用一次函数解决实际问题,体会数学与实际生活的密切联系. ②[讲授效果反思] 教学中,以学生自主合作交流为主,让学生主动参与教学过程,积极的思考,建立模型思想,体会一次函数中两个变量之间的变化关系,使学生能根据题意正确列出函数表达式,并能根据其中一个变量求另一个变量的值. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　 错题题号　　 　　反思,更进一步提升.
第6课时　一次函数与一次方程、一次不等式
课题 第6课时　一次函数与一次方程、一次不等式 授课人
教 学 目 标 1.理解一次函数与一次方程、一次不等式的关系,能根据一次函数的图象求一元一次方程的解和一次不等式的解集. 2.通过对一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系及相关实际问题的解决,体会数形结合的思想. 3.通过对一次函数与一元一次不等式关系的探究及问题的解决,学会用函数的观点去解决问题. 4.通过对一次函数与一次方程、一次不等式关系的探究,让学生体会数学知识的融会贯通,发现数学的美,以激发学生学习数学的兴趣和克服困难的信心.
教学 重点 　　利用一次函数的图象与性质确定一元一次方程的解和一元一次不等式的解集.
教学 难点 　　探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 问题一:(1)解方程:2x+6=0. (2)已知一次函数y=2x+6,问x取何值时y=0 学生活动:学生自主探究得出答案并与同学进行交流. 教师点拨:问题(2)可转化为问题(1)来解决. 问题二:如图12-2-23,根据一次函数y=2x+6的图象,你能分别说出一元一次不等式2x+6>0和2x+6<0的解集吗 图12-2-23 学生活动:学生自主探究得出答案并与同学进行交流. 教师点拨:求2x+6>0的解集可转化为x取何值时y>0来解决;求2x+6<0的解集可转化为x取何值时y<0来解决. 　　该问题情境设计的目的一方面是引导学生初步感受一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,使学生体会数形结合思想在解题中的作用;另一方面是为新课的引入做铺垫.
活动 二: 探究 与 应用 例　已知一次函数y=kx+b的图象如图12-2-24. 图12-2-24 (1)试指出不等式kx+b<0的解集; (2)试指出方程kx+b=0的解; (3)试指出不等式kx+b>0的解集. 师生合作交流:师生合作交流得到答案. 变式 若方程2x+m=0的解为x=-3,则直线y=2x+m与x轴的交点坐标为　　　　,不等式2x+m>0的解集为　　　　,不等式2x+m<0的解集为　　　　. 引导学生归纳出如下结论: (1)一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标是方程kx+b=0的解; (2)一次函数y=kx+b的y>0时对应的x的取值范围就是不等式kx+b>0的解集; (3)一次函数y=kx+b的y<0时对应的x的取值范围就是不等式kx+b<0的解集. 　　本环节先通过变式思维的训练,引导学生探究出一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.例题设计的意图是巩固所学的知识,使学生初步学会运用新知识解决问题,变式思维设计的意图是在例题的基础上进行拓展提高,使学生能灵活运用所学的知识解决问题.
【应用举例】 例1　如图12-2-25,一次函数y=ax+b的图象与x轴的交点为A(2,0),交y轴于B(0,1),那么不等式ax+b<0的解集为 (C) 图12-2-25 A.x>1　　　　　　　B.x<1 C.x>2 D.x<2 例2　画出函数y=-3x+6的图象,结合图象: (1)求方程-3x+6=0的解; (2)求不等式-3x+6>0和-3x+6<0的解集. 教师点拨:方程-3x+6=0的解就是函数y=-3x+6的图象与x轴的交点的横坐标;不等式-3x+6>0的解集就是函数y=-3x+6>0时x的取值范围;不等式-3x+6<0的解集就是函数y=-3x+6<0时x的取值范围. 学生活动:学生自主探究得出答案. 解:图象如图12-2-26. 图12-2-26 由图象可知: (1)方程-3x+6=0的解为x=2. (2)不等式-3x+6>0的解集为x<2;不等式-3x+6<0的解集为x>2. 　　进一步巩固一次函数与一次不等式之间的关系,并能学以致用.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例3　已知一次函数y=kx+b的图象如图12-2-27,结合图象解答下列问题: 图12-2-27 (1)求当x≥2时,y的取值范围; (2)求不等式kx+b<-6的解集; (3)求方程kx+b=-6的解. 教师点拨:(1)当x≥2时y的取值范围就是一次函数的图象在x轴上方的部分对应的函数值;(2)不等式kx+b<-6的解集就是y<-6时x的取值范围;(3)方程kx+b=-6的解就是一次函数的函数值y=-6时对应的自变量x的值. 学生活动:学生自主探究得出答案. 解:由图象可知: (1)当x≥2时,y的取值范围为y≥0. (2)不等式kx+b<-6的解集表示的意思就是x取何值时,y<-6.由图象可知当x<0时,y<-6.所以不等式kx+b<-6的解集为x<0. (3)方程kx+b=-6的解表示的意思就是x取何值时,y=-6.由图象可知x=0时,y=-6.所以方程kx+b=-6的解为x=0. 例4　如图12-2-28,一次函数y=kx+b的图象经过点A(4,2),B(1,-1). (1)求一次函数的表达式; (2)结合图象,请直接写出关于x的不等式kx+b<2的解集; (3)若当1活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.教材P45练习. 2.教材P48习题12.2中的T16,T17,T18. 　　当堂检测,及时反馈学习效果.
【课堂小结】 1.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系. 2.利用一次函数图象来解题的关键步骤: 一是画出图象; 二是找出图象上的特殊点; 三是利用图象及性质解决问题. 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课主要采用“复习引入、归纳概括、巩固练习、拓展提升”的模式展开,把教学过程变成了学生对知识建构的自然生成过程,及学生自己探索提升的过程,让学生的能力得到了提高.同时,本节课老师还注重了基本数学方法的培养与基本数学思想的渗透,引导学生自主探索、合作交流来探究发现一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系,从“形”的角度解决,增强学生数形结合的意识. ②[讲授效果反思] 本节课是数形结合思想方法的具体体现,由于问题情境与探究活动两个环节设计得比较合理得当,因而本节课的教学效果比较好,学生较好地掌握了本节课的知识与解题方法.略显不足的地方就是由于容量较大,巩固拓展环节处理得比较仓促,学生掌握的效果不是太好,今后还需要再适当地进行巩固. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　 错题题号　　 　　反思,更进一步提升.