12.3 一次函数与二元一次方程 3课时打包 教案 2025-2026学年数学沪科版八年级上册

12.3　一次函数与二元一次方程
第1课时　二元一次方程的图象解法
课题 第1课时　二元一次方程的图象解法 授课人
教 学 目 标 1.使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系. 2.会将二元一次方程转化为一次函数,并能作出其对应的图象. 3.通过学生的思考和操作,提示出方程与图象之间的关系,引入二元一次方程的图象解法.同时培养学生初步的数形结合的意识和能力. 4.通过对二元一次方程与一次函数之间的关系的探究,培养学生数形结合的数学思想观念. 5.通过学生的自主探索,提示出方程和图象之间的对应关系,加强新旧知识的联系,培养学生的创新意识,激发学生学习数学的兴趣,使学生体验数学活动充满探索与创造.
教学 重点 　　二元一次方程和一次函数的关系.
教学 难点 　　将二元一次方程转化为一次函数,并作出其对应的图象.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【思考与交流】 前面我们已经研究了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,那么一次函数与二元一次方程之间有什么联系呢 学生活动:学生讨论交流. 　　从学生已有的知识经验入手,通过类比的方法引导学生探究一次函数与二元一次方程之间的关系,这样既拓展了学生的知识面,也激发了学生的求知欲和探究热情,同时也非常自然地引入了新课.
活动 二: 探究 与 应用 【探究活动】 活动一:我们知道二元一次方程3x+2y=6可以转化成一次函数的形式:y=-x+3,对于这个函数,任意给出自变量x的一些值,可以求得对应的y值,列表如下: x…-3-2-10123…y……
学生活动:学生自主探究并进行交流. 教师点拨:将表中每一对x,y的值代入方程3x+2y=6都成立,所以每组有序实数对(x,y)都是方程3x+2y=6的解.可见,二元一次方程3x+2y=6有无数多组解,解的全体叫作二元一次方程的解集. 活动二:试以上述表格中的有序实数对(x,y)为点的坐标,在坐标平面内描点作图. 学生活动:学生自主探究并进行交流. 教师点拨:从图象上可以看出是一条直线,这条直线就是一次函数y=-x+3的图象. 师生合作交流:师生合作交流归纳出下列知识: 一般地,一个二元一次方程可以转化成一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的形式,所以,每个二元一次方程都对应一个一次函数,也对应一条直线. 试一试:画出二元一次方程3x+4y=12所对应的直线. 教师点拨:画二元一次方程3x+4y=12所对应的直线时,可先将方程转化为一次函数y=-x+3,然后再作出一次函数y=-x+3的图象即可. 学生活动:学生自主探究得出答案. 解:先将二元一次方程3x+4y=12转化为一次函数y=-x+3,然后确定出一次函数的图象与坐标轴的两个交点为点(4,0)与点(0,3),最后经过交点作出图象如图12-3-4. 图12-3-4 思考:一次函数图象上的点的坐标与相应的二元一次方程的解有什么关系 学生活动:学生自主探究并与同学讨论交流. 教师活动:组织学生分组讨论交流并引导学生归纳出下列结论: 二元一次方程的每组解都是相应一次函数图象上的点的坐标;反之,一次函数图象上的任一点的坐标都是相应二元一次方程的解. 　　通过“探究活动”与“讨论与交流”活动的设计引导学生进行操作、尝试与探究,在学生通过自主探究获得初步的感性认识的基础上,组织学生进行合作交流,从而引导学生归纳出二元一次方程与一次函数之间的关系.
活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解的是 (C) 图12-3-5 　　进一步巩固一次函数与二元一次方程之间的关系,并能学以致用.
【拓展提升】 例2　已知一次函数y=2x-3. (1)试判断点(2,1)是否在该函数的图象上; (2)试判断是不是方程2x-y=3的解. 　　例2的设计是为了巩固新知识,使学生进一步理解和掌握新知识.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.教材P50练习T1,T2. 2.教材P54习题12.3中的T1. 　　当堂检测,及时反馈学习效果.
【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课的重点是探究一次函数与二元一次方程之间的关系,由于同学们已经有了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的知识经验做储备,因此学习本节课的知识时可通过类比的方法来学习,这样探究、理解并掌握本节课的知识就比较容易了. ②[讲授效果反思] 本节课从学生已有的知识经验入手,运用类比的方法引导学生进行操作探究,从而较好地完成了本节课的教学任务,使学生理解并掌握了本节课所学的新知识.从课堂上的教学情况来看,学生对方程组的解的确定还有点困惑,需要在下节课的教学中进一步复习和巩固. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　 错题题号　　 　　反思,更进一步提升.
第2课时　二元一次方程组的图象解法
课题 第2课时　二元一次方程组的图象解法 授课人
教 学 目 标 1.认识二元一次方程的图象表示法,从图形的角度理解二元一次方程的解,了解二元一次方程组的图象解法. 2.学生在活动中体会“从特殊到一般”的认识事物的方法,体验数形结合的研究方法. 3.经历用图象法解二元一次方程组的过程,培养学生解决问题的能力. 4.在探究学习的过程中培养学生的合作精神、探究意识.
教学 重点 　　利用图象法来判断二元一次方程组的解的情况.
教学 难点 　　利用图象法解决生活中的问题.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 上节课我们学习了二元一次方程与一次函数的关系,现在共同回顾学过的知识点: (1)一次函数与二元一次方程是可以相互转化的,它们虽然形式不同,但实质是相同的. (2)一次函数y=kx+b的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解. (3)以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上. (4)二元一次方程对应的一次函数的图象是一条直线,它有无数组解. 那么二元一次方程组的解与方程组中两个方程对应的函数图象有怎样的关系 　　复习图象法解二元一次方程有关知识,意在温故而知新,在引导学生回忆和巩固所学知识的同时引入新课.
活动 二: 探究 与 应用 例1　(1)在平面直角坐标系中画出直线l1:y=-x+1与直线l2:y=2x+6的图象; (2)如果直线l1和l2相交于点P,写出点P的坐标为(　　,　　); (3)检验点P的坐标是不是下面方程组的解 学生活动:学生探究得出答案并与同学交流. 师生合作交流:师生合作交流得到下列结论: 两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解. 教师点拨:二元一次方程组的解可以通过作图象的方法来求解,反之,方程组的解就是图象交点的坐标. 　　本环节先通过图象法解方程组,从而直观上让学生初步感受一次函数图象上点的坐标与相应方程组的解之间的关系,在此基础上,引导学生归纳出一次函数的图象与相应方程组的解之间的关系以及方程组中未知数前面的系数之比、常数项之比与方程组的解之间的关系,学生对新知识的理解和掌握也就容易多了.
活动 二: 探究 与 应用 例2　利用函数图象法解方程组: 师生合作交流:师生合作交流得出答案. 例3　利用函数图象解方程组: 学生活动:学生自主探究得出答案. 【探究活动】 活动一:观察上述函数图象,分析图象的特点与方程组的解的情况之间有什么关系 学生活动:学生自主探究并与同学进行交流. 教师活动:组织学生进行交流,并引导学生归纳出如下结论: 两直线相交时,相应的方程组只有一组解;两直线重合时,相应的方程组有无数组解;两直线平行时,相应的方程组无解. 活动二:上述例题直观地说明二元一次方程组的解有三种情况.当把其中的各个二元一次方程组化为标准形式:后,比较一下每例中两个方程中x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比,从中你发现了怎样的规律 学生活动:学生自主探究并与同学进行交流. 教师活动:组织学生进行交流,并引导学生归纳出如下结论: 对于方程组(1)当≠时,方程组有唯一一组解;(2)当==时,方程组有无数组解;(3)当=≠时,方程组无解. 　　例2设计的目的是引导学生探究出一次函数图象的交点与二元一次方程组的解之间的关系.
【应用举例】 例1　既不解方程组也不画图,你能判断下列方程组的解的情况吗 (1) (2) (3) (4) 学生活动:学生自主探究得出答案. 解:(1)因为≠,所以原方程组有唯一一组解. (2)因为==,所以原方程组有无数组解. (3)因为=≠,所以原方程组无解. (4)因为≠,所以原方程组有唯一一组解.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例2　某单位有职工几十人,想在节假日期间组织到外地H处去旅游,当地有甲、乙两家旅行社,它们服务质量基本相同,到H地旅游的价格都是每人100元,经联系协商,甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠;乙旅行社表示单位先交1000元后,给予每位游客六折优惠.问该单位选择哪家旅行社,使其支付的旅游总费用较少. 教师点拨:选择哪个旅行社的关键是先求出旅游的总费用与游客人数之间的函数表达式,然后利用图象比较出它们的大小关系,从而确定出选择的方案. 解:设该单位参加旅游的有x人,甲旅行社的总费用为y1元,乙旅行社的总费用为y2元.根据题意得 y1=80x,y2=60x+1000. 解方程组 得 从而可得两个函数图象的交点坐标为(50,4000). 在同一直角坐标系内作出两个函数的图象,如图12-3-12,观察图象可得: 当x=50时,y1=y2,选择甲、乙旅行社都一样; 当x<50时,y1y2,选择乙旅行社费用较少. 图12-3-12 　　本环节的设计目的:一是为了巩固图象法在解题中的作用,二是为了进一步培养学生运用数学知识解决实际问题的能力,使学生养成学数学用数学的习惯和理念.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.教材P52练习. 2.教材P54,P55习题12.3中的T2,T3,T4. 　　当堂检测,及时反馈学习效果.
【课堂小结】 1.一次函数的图象与相应二元一次方程组的解之间的关系: 两直线相交时,相应的方程组只有一组解;两直线重合时,相应的方程组有无数组解;两直线平行时,相应的方程组无解. 2.对于二元一次方程组其解的情况如下: (1)当≠时,方程组有唯一一组解; (2)当==时,方程组有无数组解; (3)当=≠时,方程组无解. 　　提纲挈领,重点突出.
活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 对于本节课的学习同学们可以先借助图象法解二元一次方程组,从而直观上初步感受一次函数的图象与相应方程组的解之间的关系,在此基础上,再通过与他人的讨论交流探究出一次函数的图象与相应二元一次方程组的解之间的关系以及二元一次方程组中未知数前面的系数之比、常数项之比与方程组的解之间的关系. ②[讲授效果反思] 从课堂教学的情况上看,学生对二元一次方程组中未知数前面的系数之比、常数项之比与方程组的解之间的关系理解不够透彻,还存在着较大的问题,今后还需要在教学和作业中进一步巩固和训练. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　 错题题号　　 　　反思,更进一步提升.
第3课时　一次函数的简单应用——双函数图象问题
课题 第3课时　一次函数的简单应用——双函数图象问题 授课人
教 学 目 标 1.进一步训练学生的识图能力,能通过函数图象获取信息,解决简单的实际问题. 2.在函数图象信息获取过程中,进一步培养学生的数形结合意识,发展形象思维. 3.在解决实际问题的过程中,进一步发展学生分析问题、解决问题的能力和数学应用意识. 4.在现实问题的解决中,使学生初步认识数学与人类生活的密切联系,从而培养学生学习数学的兴趣.
教学 重点 　　一次函数图象的应用.
教学 难点 　　从函数图象中正确读取信息.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一平面直角坐标系内大致是 (　　) 图12-3-16 2.函数y=3x+2的图象与x轴的交点坐标是　　　　,与y轴的交点坐标是　　　　. 3.直线y=-x-2向右平移2个单位长度得到直线　　　　. 　　学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 如图12-3-17,l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系,l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系. 图12-3-17 　　
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 根据上面情境中图象填空: (1)当销售量为2 t时,销售收入=　　　　元,销售成本=　　　　元. (2)当销售量为6 t时,销售收入=　　　　元,销售成本=　　　　元. (3)当销售量等于　　　　时,销售收入等于销售成本. (4)当销售量　　　　时,该公司盈利(收入大于成本);当销售量　　　　时,该公司亏损(收入小于成本). (5)l1对应的函数表达式是　　　　,l2对应的函数表达式是　　　　. 教师强调:当涉及两个函数问题时,要注意横、纵轴对于每个函数的不同意义. 探究分析: 1.横轴、纵轴表示的意义:横轴表示的是　　　　,纵轴表示的是　　　　. 2.直线与坐标轴的交点表示的意义: (1)l1与y轴的交点坐标是　　　　,表示的意义是　　　　; (2)l2与y轴的交点坐标是　　　　,表示的意义是　　　　. 想一想: 上题中,l1对应的一次函数y=k1x+b1中,k1和b1的实际意义各是什么 l2对应的一次函数y=k2x+b2中,k2和b2的实际意义各是什么 　　1.培养学生的识图能力和探究能力,调动学生学习的自主意识.通过一连串精心设计的问题,引导学生根据实际问题建立适当的函数模型,利用函数图象的特征解决问题.在此过程中渗透数形结合的思想方法,提高学生的数学应用能力. 2.使学生进一步认识到k与b在实际问题中有特定的含义,这有助于学生从图象上看出k,b的值,也为学生结合k,b的实际意义确定函数表达式奠定基础.课堂讨论的过程中,学生的思维呈开放的状态,不同的见解、不同的思路在讨论中碰撞、反馈,可以激发学生的想象力,促进学生思维的有序发展,提高思维活动的有效性,从而收到较为显著的教学效果.
【应用举例】 例1　边防局接到情报,近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶.边防局迅速派出快艇B追赶(如图12-3-18①),图②中l1,l2分别表示两船相对于海岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)之间的关系. 图12-3-18 根据图象回答下列问题: (1)l1,l2中哪条直线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系 (2)A,B哪个速度快 (3)15 min内B能否追上A (4)如果一直追下去,那么B能否追上A (5)照此速度,在A逃到离海岸12 n mile前,B能否追上A (6)l1与l2对应的两个一次函数s=k1t+b1与s=k2t+b2中,k1,k2的实际意义各是什么 可疑船只A与快艇B的速度各是多少 　　通过问题串的展示、老师几个简单的提问、重音的强调使学生从视觉、听觉等多方位感知到直线与坐标轴交点的意义、两直线交点及表达式中k,b的实际意义、利用图象比较函数值的方法,使学生在教师的引导下逐步形成良好的识图能力,进一步体会数与形的关系,建立良好的知识联系.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例2　如图12-3-19,OB,AB分别表示甲、乙两人的运动路程与时间的关系图象,请根据图象回答下列问题: 图12-3-19 (1)甲、乙两人各自的运动路程与时间之间的函数表达式是: 甲:　　　　　　　　, 乙:　　　　　　　　; (2)甲的运动速度是　　　千米/时; (3)两人同时出发,相遇时,甲比乙多运动　　　　千米. 例3　某电视机厂要印刷产品宣传材料,甲印刷厂提出:每份材料收1元印刷费,另收1500元制版费;乙印刷厂提出:每份材料收2.5元印刷费,不收制版费. (1)分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的函数表达式. (2)在同一直角坐标系内作出它们的图象. (3)根据图象回答下列问题: ①当印制800份宣传材料时,选择哪家印刷厂比较合算 ②该电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传材料,找哪家印刷厂印制宣传材料能多些 例4　计划在生态公园内的坡地上造一片有A,B两种树的混合林,需要购买这两种树苗2000棵.种植A,B两种树苗的相关信息如下表: 价格(元/棵)成活率劳务费(元/棵)A1595%3B2099%4
设购买A种树苗x棵,造这片林的总费用为y元. 解答下列问题: (1)写出y(元)与x(棵)之间的函数表达式; (2)假设这批树苗种植后成活1960棵,则造这片林的总费用需多少元 　　拓展提升,提高学生应用知识的能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.图12-3-20表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中到甲港的距离随时间变化的图象,根据图象,下列结论错误的是 (　　) 图12-3-20 A.轮船的速度为20 km/h B.轮船比快艇先出发2 h C.快艇的速度为40 km/h D.快艇不能赶上轮船 2.今年春运会上,甲、乙两名同学同时参加了一项短跑比赛,路程s(m)与时间t(s)的关系如图12-3-21所示,那么: 图12-3-21 (1)这是一次　　　　m赛跑; (2)甲、乙两人中　　　　先到达终点; (3)乙在这次赛跑中的平均速度为　　　　.
(续表)
活动 三: 课堂 总结 反思 3.某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(时)的变化情况如图12-3-22所示,当成人按规定剂量服药后. 图12-3-22 (1)服药后　　　　小时,血液中含药量最高,达每毫升　　　　微克,接着逐步降低; (2)服药后5小时,每毫升血液中含药量为　　　　微克; (3)当0≤x≤2时,y与x之间的函数表达式是　　　　; (4)当x≥2时,y与x之间的函数表达式是　　　　; (5)如果每毫升血液中含药量为3微克或3微克以上时,治疗疾病最有效,那么这个有效时间范围是　　　　　　. 　　学以致用,当堂检测,及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收获、有所提高.
【课堂小结】 学生活动:通过这节课的学习,你有哪些收获 有何感想 学会了哪些方法 先想一想,再分享给大家. 教学说明:课堂总结是知识沉淀的过程,让学生对本节课所学知识进行梳理,养成反思与总结的习惯,培养自我反馈、自主发展的意识.
【作业布置】 教材P60复习题A组中的T10
【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过简单的函数图象应用题,回顾旧知的同时,导入新知的学习,让学生感受知识的连续性和延展性. ②[讲授效果反思] 本节课是在学生已经掌握了一次函数的图象和有关性质的基础上,对有关知识进行应用和拓展.在教学过程中,通过问题情境的创设,激发学生的学习兴趣,并注意通过有层次的问题串的精心设计,引导学生进行探究活动.在师生互动、生生互动的探究活动中,提高学生解决实际问题的能力. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　 错题题号　　 　　反思,更进一步提升.