北师大版九年级数学下册第三章3.3垂径定理课件
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| 名称 | 北师大版九年级数学下册第三章3.3垂径定理课件 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 623.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-10-14 11:29:54 | ||
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文档简介
课件51张PPT。第三章 圆3.3 垂径定理等腰三角形是轴对称图形吗？
如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？
如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？是轴对称图形，对称轴是直线CD.如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。 （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M。在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM, ∠AOC=∠BOC证明：连接OA,OB,则OA=OB.∵∠AOD=1800-∠AOC,
∠BOD=1800-∠BOC,∴∠AOD=∠BOD.∵ CD是直径, CD⊥AB,∴AM=BM,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。几何语言垂径定理判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件缺一不可——
直径（半径），垂直于弦××√B想一想（1）左图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？是轴对称图形，对称轴是直线CD.如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.想一想已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，交AB于点M,且AM=BM.在△OAM和△OBM中,∵OA=OB，AM=BM,OM=OM，∴△OAM≌△OBM.∴∠AMO=∠BMO=900, ∠AOC=∠BOC证明：连接OA,OB,则OA=OB.∵∠AOD=1800-∠AOC,
∠BOD=1800-∠BOC,∴∠AOD=∠BOD.垂径定理的逆定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？不成立，因为圆的两条任意直径都互相平分，但不一定互相垂直.如图.垂径定理及其逆定理只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.解这个方程，得R=545.解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。∵OE⊥CD在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2=CF2 +OF2即 R2=3002+(R-90)2.所以，这段弯路的半径为545m.1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径。（结果精确到0.1米）。练习如图，过点O作AB的垂线，交AB于点C,交AB于点D.∵OC⊥AB设半径为Rm,根据题意，得18.72+（R-7.2）2=R2解得 R ≈27.9∴桥拱所在圆的半径约为27.9m.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？有三种情况：1、圆心在平行弦外；
2、圆心在其中一条弦上；
3、圆心在平行弦内。三种情况说理思路一样.证明：作直径MN⊥AB。以第一种情况为例“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长.直径CD=26寸.提示：连接OA,设圆的半径为x,
则（x-1）2+52=x2.
解得x=13.
所以CD=26.如图，已知⊙O的半径为30mm,弦AB=36mm,求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值.距离为24mm,
cos∠OAB=0.6.提示:过点O作AB的垂线，垂足为C.如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。
如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD交大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.解：连接OM,过M作AB⊥OM，交⊙O于A，B两点.判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） 错对错对（5）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.（ ）
对（6）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分( )（7）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧( )（8）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）判断：错错对在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB = 8，OA = 5，则AC= ，OC = .┏43在⊙O中，OC平分弦AB，AB=16，
OA=10，则∠OCA= °，
OC= .906如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求AB.└解：连接OA，在⊙O中，直径CD⊥AB，∴ AB =2AM，△OMA是直角三角形.∵ CD=20，∴ AO=CO=10.∴ OM=OC–CM=10–4=6.在Rt△OMA中，AO=10，OM=6，根据勾股定理，得：∴∴ AB=2AM=2×8=16.└已知：如图，⊙O中，AB为弦，C为AB的中点，OC交AB于D ，AB=6cm ，CD=1cm. 求⊙O 的半径OA.5cm.OABCDEFGH如图，⊙O与矩形ABCD交于点E,F,G,H, EF=10，HG=6，AH=4.求BE的长.BE=2.如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。解：连接OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．证明：∴四边形ADOE为矩形，又 ∵AC=AB，∴ AE=AD.∴ 四边形ADOE为正方形.如图，AB，AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝________.
【解析】由垂径定理得AN=CN，AM=BM，所以BC=2MN=6.
答案：6如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．19 B．16 C．18 D．20
答案:D?答案:B如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）A．AE＝OE B．CE＝DE
C．OE＝ CE D．∠AOC＝60°．答案:B如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为（ ）
A．5cm B．2．5cm C．2cm D．1cm答案:D 已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（ ）
A．17cm B．7 cm
C．12 cm D．17 cm或7 cm图(1) 图(2)答案：DA,B分别为CD和EF的中点，AB分别交CD,EF于点M,N，且AM=BN.求证：CD=EF.
故∠AFC=∠BGE=90°
又由OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，且AM=BN，∴△AFM≌△BGN，
∴AF=BG，∴OF=OG，
∴DC=EF. 已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？在Rt△OAD中，由勾股定理，得OD=OC-DC=R-2.4解得 R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得∴此货船能顺利通过这座拱桥.OD=R-2.4=3.9-2.4=1.5DH=OH-OD已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R=2 ，AB = , 求OE、DE的长.
⑵若半径R=2 ，OE=1 ，求AB、DE的长.
⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你能总结出什么规律吗？方法总结对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：⑴d + h = r⑵在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度. 200mm.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度. DC450mm.垂径定理及其逆定理只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.小结：学完本课后你有哪些收获？1、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.
2、解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.小结：学完本课后你有哪些收获？作业：
习题3.3 1、2、3、4题。
如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？
如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？是轴对称图形，对称轴是直线CD.如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。 （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M。在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM, ∠AOC=∠BOC证明：连接OA,OB,则OA=OB.∵∠AOD=1800-∠AOC,
∠BOD=1800-∠BOC,∴∠AOD=∠BOD.∵ CD是直径, CD⊥AB,∴AM=BM,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。几何语言垂径定理判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件缺一不可——
直径（半径），垂直于弦××√B想一想（1）左图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？是轴对称图形，对称轴是直线CD.如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.想一想已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，交AB于点M,且AM=BM.在△OAM和△OBM中,∵OA=OB，AM=BM,OM=OM，∴△OAM≌△OBM.∴∠AMO=∠BMO=900, ∠AOC=∠BOC证明：连接OA,OB,则OA=OB.∵∠AOD=1800-∠AOC,
∠BOD=1800-∠BOC,∴∠AOD=∠BOD.垂径定理的逆定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？不成立，因为圆的两条任意直径都互相平分，但不一定互相垂直.如图.垂径定理及其逆定理只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.解这个方程，得R=545.解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。∵OE⊥CD在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2=CF2 +OF2即 R2=3002+(R-90)2.所以，这段弯路的半径为545m.1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径。（结果精确到0.1米）。练习如图，过点O作AB的垂线，交AB于点C,交AB于点D.∵OC⊥AB设半径为Rm,根据题意，得18.72+（R-7.2）2=R2解得 R ≈27.9∴桥拱所在圆的半径约为27.9m.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？有三种情况：1、圆心在平行弦外；
2、圆心在其中一条弦上；
3、圆心在平行弦内。三种情况说理思路一样.证明：作直径MN⊥AB。以第一种情况为例“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长.直径CD=26寸.提示：连接OA,设圆的半径为x,
则（x-1）2+52=x2.
解得x=13.
所以CD=26.如图，已知⊙O的半径为30mm,弦AB=36mm,求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值.距离为24mm,
cos∠OAB=0.6.提示:过点O作AB的垂线，垂足为C.如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。
如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD交大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.解：连接OM,过M作AB⊥OM，交⊙O于A，B两点.判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） 错对错对（5）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.（ ）
对（6）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分( )（7）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧( )（8）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）判断：错错对在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB = 8，OA = 5，则AC= ，OC = .┏43在⊙O中，OC平分弦AB，AB=16，
OA=10，则∠OCA= °，
OC= .906如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求AB.└解：连接OA，在⊙O中，直径CD⊥AB，∴ AB =2AM，△OMA是直角三角形.∵ CD=20，∴ AO=CO=10.∴ OM=OC–CM=10–4=6.在Rt△OMA中，AO=10，OM=6，根据勾股定理，得：∴∴ AB=2AM=2×8=16.└已知：如图，⊙O中，AB为弦，C为AB的中点，OC交AB于D ，AB=6cm ，CD=1cm. 求⊙O 的半径OA.5cm.OABCDEFGH如图，⊙O与矩形ABCD交于点E,F,G,H, EF=10，HG=6，AH=4.求BE的长.BE=2.如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。解：连接OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．证明：∴四边形ADOE为矩形，又 ∵AC=AB，∴ AE=AD.∴ 四边形ADOE为正方形.如图，AB，AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝________.
【解析】由垂径定理得AN=CN，AM=BM，所以BC=2MN=6.
答案：6如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．19 B．16 C．18 D．20
答案:D?答案:B如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）A．AE＝OE B．CE＝DE
C．OE＝ CE D．∠AOC＝60°．答案:B如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为（ ）
A．5cm B．2．5cm C．2cm D．1cm答案:D 已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（ ）
A．17cm B．7 cm
C．12 cm D．17 cm或7 cm图(1) 图(2)答案：DA,B分别为CD和EF的中点，AB分别交CD,EF于点M,N，且AM=BN.求证：CD=EF.
故∠AFC=∠BGE=90°
又由OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，且AM=BN，∴△AFM≌△BGN，
∴AF=BG，∴OF=OG，
∴DC=EF. 已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？在Rt△OAD中，由勾股定理，得OD=OC-DC=R-2.4解得 R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得∴此货船能顺利通过这座拱桥.OD=R-2.4=3.9-2.4=1.5DH=OH-OD已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R=2 ，AB = , 求OE、DE的长.
⑵若半径R=2 ，OE=1 ，求AB、DE的长.
⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你能总结出什么规律吗？方法总结对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：⑴d + h = r⑵在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度. 200mm.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度. DC450mm.垂径定理及其逆定理只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.小结：学完本课后你有哪些收获？1、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.
2、解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.小结：学完本课后你有哪些收获？作业：
习题3.3 1、2、3、4题。