(共39张PPT)
专题三 数列
第2讲 数列（大题）
高考定位：（1）数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法.（2）数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证明不等式等.（3）以解答题的形式出现，难度中等.
■真题研析
（1）证明：{nan}为等差数列；
（2）设f（x）＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，求f'（－2）.
2. （2024·全国甲卷）记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4.
（1）求{an}的通项公式；
解：（1）∵4Sn＝3an＋4①，
∴当n＝1时，4S1＝4a1＝3a1＋4，得a1＝4，
当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4②，
由①－②得，4an＝3an－3an－1，
∴an＝－3an－1，
∴数列{an}是首项为4，公比为－3的等比数列.
∴an＝4×（－3）n－1.
（2）设bn＝（－1）n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
（1）若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
（2）若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
■热点突破
热点 数列求和问题
例1 （2025·江西景德镇三模）已知Sn，Tn分别是等差数列{an}和等比数列{bn}的前n项和，S5＝15，b2b4＝64，a2＝b1，S3＝T2.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若{bn}为递增数列，cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和An.
规律方法 （1）分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差.
（2）裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项.
（3）用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确地写出“Sn－qSn”的表达式.
热点 数列综合问题
例2 （2025·安徽华师联盟4月质检）已知数列{an}满足an≥0，且（2an＋2－an＋1－an）（an＋2－2an＋1＋an）＝0.
（1）若a4＝2a2＝4a1＝4，求满足条件的a3的值；
（2）设集合A＝{n｜an＝0}.
①若A＝{1，4，7}，证明：a2，a5，a8成等比数列；
②若A＝{i，j，k}（其中i＞j＞k＞3），且a2＝a1＋1，求ai＋1的最大值.
规律方法 数列与函数、不等式，以及数列新定义的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解.
冲刺集训13 数列（大题）
冲刺集训13 数列（大题）
1. （2025·山东济宁一模）已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，nan＋1＝（n＋1）an＋1，b1＋b2＋…＋bn＝2n－1.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
又因为b1＋b2＋…＋bn＝2n－1，则有
若n＝1，可得b1＝1；
若n≥2，则b1＋b2＋…＋bn－1＝2n－1－1，
两式相减得bn＝2n－2n－1＝2n－1；
且b1＝1符合上式，所以bn＝2n－1.
2. （2025·云南昆明一模）已知数列{an}，a1＝9，an＋1＝3an＋6·3n，Sn是{an}的前n项和.
（2）求Sn；
参考数据：ln 2≈0.69.
（1）若等比数列{bn}为“A数列”，求{bn}的公比q；
（2）若数列{an}为“A数列”，且a1＝1，A＝1.
综上所述：abc＝c的最小值为1.
（1）若{bn}为1，2，4，8，12，写出集合A，并求｜A｜的值；
（2）若{bn}为1，3，a，b，且｜A｜＝3，求{bn}和集合A；
（3）若数列{bn}项数为r，满足bn＋1＞bn（n＝1，2，…，r－1），求证：
“｜A｜＝r－1”的充要条件是“{bn}为等比数列”.(共54张PPT)
专题三 数列
第1讲 数列（小题）
高考定位：等差数列、等比数列是高考必考内容，主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式以及性质的应用，等差数列、等比数列的判断与证明，常以选择题、填空题或综合解答题的形式考查，属于中档题目.
■真题研析
A. －20 B. －15 C. －10 D. －5
B
C. S5＝8 D. an＋Sn＝8
AD
2
■热点突破
热点 等差、等比数列基本量的计算
A. －567 B. 567 C. 451 D. 699
B
A. 30 B. 40 C. 60 D. 120
C
A. 36 B. ±6 C. －6 D. 6
D
B. an＞n
C. a5＝6 D. a2 025＝81a25
ABD
规律方法 等差数列、等比数列问题的求解策略
（1）抓住基本量，首项a1、公差d或公比q.
（2）熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn（a，b是常数）的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝pqn－1（p，q≠0）的形式的数列为等比数列.
（3）由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除（即比值的方式）进行相关计算.
热点 数列的通项
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
B
解析：设{an}的公差为d，
因为S2n－1＝4n2－2an－1，
所以S3＝4×22－2a2－1＝15－2a2，
又S3＝a1＋a2＋a3＝3a2，故15－2a2＝3a2，解得a2＝3，又a1＝1，所以d＝a2－a1＝2，
所以an＝a1＋（n－1）d＝1＋2（n－1）＝2n－1.
故答案为an＝2n－1.
an＝2n－1
规律方法 求通项一定要灵活变通，不能死板，这需要掌握常见的方法：（1）累加、累乘法.（2）构造等差、等比数列.（3）消元法.（4）取对数、取倒数等.
热点 数列求和
A. 12 B. 14 C. 42 D. 84
C
A
A. a1＝2
D. {（－1）n－1an}的前50项和为－25
ABD
则Sn＝1＋2×4＋3×42＋…＋（n－1）×4n－2＋n×4n－1，①
4Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋（n－1）×4n－1＋n×4n，②
规律方法 求和问题一般从通项公式入手，具体数列具体分析，掌握常见的数列求和方法：（1）公式法.（2）分组求和法.（3）裂项相消法.（4）错位相减法.
冲刺集训12 数列（小题）
冲刺集训12 数列（小题）
C
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
B
A. 16 B. 32 C. 27 D. 81
解析：因为S4＝2S3－S2＋6，a2＝1，则S4－S3＝S3－S2＋6，
所以a4＝a3＋6，
因为a2＝1，所以q2＝q＋6，q＞0，
所以q＝3或q＝－2（舍去），
所以a5＝1×33＝27.
故选C.
C
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
C
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
C
A. －1 B. 1 C. 2 D. 3
解析：数列{an}的前n项和是Sn，若Sn＝
（－1）n＋1an＋n（n≥2），n∈N*，
则当n≥2时，Sn－1＝（－1）nan－1＋n－1，
两式相减可得an＝（－1）n＋1an－（－1）nan－1＋1（n≥2），
当n＝2 027时，a2 027＝a2 027＋a2 026＋1，解得a2 026＝－1，
当n＝2 026时，a2 026＝－a2 026－a2 025＋1，解得a2 025＝3.
故选D.
D
C
A. 49 B. 50 C. 99 D. 100
D
A. 数列{an}的公差为2
B. Sn取最小值时，n＝6
C. S4＝S7
D. 数列{｜an｜}的前10项和为50
AD
ACD
解析：设{an}的公比为q（q＞0），
又因为6a1，a3，4a2成等差数列，
所以2a3＝6a1＋4a2，可得q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1（舍去）.
故答案为3.
3
4－3n
6
14. （2025·湖北起点考试）已知数列{an}有30项，a1＝2，且对任意n∈{2，3，…，30}，都存在i∈{1，2，…，n－1}，使得an＝ai＋3.
解析：（1）由题意知，当n＝2时，i＝1，则a2＝a1＋3＝5；当n＝3时，i＝1或2，则a3＝a1＋3＝5或a3＝a2＋3＝8；当n＝4时，i＝1或2或3，则a4＝5或8或11；当n＝5时，i＝1或2或3或4，则a5＝5或8或11或14.
5，8，11，14
1 047
解析：（2）将数列{an}具有性质P的4项去掉，得到一个新的数列，记为{bn}，则{bn}有26项，b1＝a1＝2，对任意n∈{2，3，…，26}，都存在i∈{1，2，…，n－1}，使得bn＝bi＋3，且{bn}中不存在具有性质P的项.
下面证明数列{bn}是等差数列.
由题意可得，a1＝2，a2＝a1＋3，
a3＝ai＋3（i∈{1，2}），当a3＝a1＋3时，a3＝a2，a3具有性质P.
a4＝ai＋3（i∈{1，2，3}），当a4＝ai＋3（i＝1，2）时，a4具有性质P.
a5＝ai＋3（i∈{1，2，3，4}），当a5＝ai＋3（i＝1，2，3）时，a5具有性质P.
……
an＝ai＋3（i∈{1，2，3，…，n－1}），当an＝ai＋3（i＝1，2，3，…，n－2）时，an具有性质P.
当i＝n－1时，an＝an－1＋3，an不具有性质P.
