(共43张PPT)
专题五 解析几何
第6讲 圆锥曲线中的最值和范围问题
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
（1）求椭圆的方程；
■热点突破
（1）求椭圆E的方程；
（1）求椭圆C的方程；
（2）记OP，OQ的斜率分别为k1，k2，求k1k2的取值范围；
（3）若直线l交椭圆C于A，B两点，点A，B的“和点”分别为A1，B1，且OA1⊥OB1，求△OAB面积的最大值.
规律总结 求解范围、最值问题的常见方法
（1）利用判别式来构造不等关系.
（2）利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.
（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式.
（4）利用基本不等式.
冲刺集训23 圆锥曲线中的最值和范围问题
冲刺集训23 圆锥曲线中的最值和范围问题
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F的直线l交椭圆C于P，Q两点（其中点P在x轴上方），求△AQF与△BPF的面积之比的取值范围.
（1）求p的值；
解得p＝2或p＝－2（舍）.所以p＝2.
（2）已知点T（0，3），直线AT，BT与拋物线Γ的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N. 抛物线Γ在C，D处的切线交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G.
①求证：点P为定点；
所以x3x4＝－4m＝－36，解得m＝9，
所以直线CD过定点（0，9）.即P的坐标为（0，9）.
②记△ENK，△GNK的面积分别为S1，S2，求S1＋S2的最小值.
3. （2025·湖北武汉市武昌区三模）图1是一种可以作出椭圆的工具.O是滑槽AB（AB足够长）的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON，MD＝2DN. 当栓子D在滑槽AB内做往复运动时，带动N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线为椭圆.当MN＝k（k＞0）时，记画出的曲线为Ck.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
（1）求曲线C3的方程；
（2）过坐标原点O的任一直线l与曲线C3交于E，F两点，与曲线C1交于A1，B1两点，过点A1的任一直线与C3交于P，Q两点.
①求证：｜EF｜＝3｜A1B1｜；
②求四边形PEQF面积的取值范围.(共41张PPT)
专题五 解析几何
第5讲 圆锥曲线的综合应用
（2）过点P的直线与椭圆有唯一公共点B（异于点A），求证：PF平分∠AFB.
故设x2＜x0＜x1，
则tan∠AOM＝tan∠BOM，即∠AOM＝∠BOM，
■热点突破
热点 确定某种条件下的曲线方程
（1）求抛物线Γ的方程和椭圆C的标准方程；
（2）过点F的直线l交抛物线Γ于M，N两点，交椭圆C于A，B两点，若｜MF｜·｜NF｜＝2｜AF｜·｜BF｜，求直线l的方程.
规律方法 求某种条件下曲线的方程，核心是根据曲线的几何特征（如动点满足的等量关系、已知点或图形的约束等），通过建立坐标系、转化关系、化简方程的步骤得到结果.
核心逻辑：将几何条件“翻译”为代数等式，通过代数运算化简得到方程，本质是“几何→代数→方程”的转化过程.
热点 求值（长度、面积、斜率等）
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点M（0，2）且斜率为k的直线与椭圆交于不同的两点A，B，点O在以线段AB为直径的圆外（O为原点），求k的取值范围.
规律方法 与斜率、角度有关的最值问题关键是建立关于斜率的目标函数，然后运用基本不等式或者函数求解有关的问题.
热点 证明问题
（1）求C的方程；
（2）若直线l交C于P，Q两点，∠PAQ的平分线与x轴垂直，求证：l的倾斜角为定值.
规律方法 圆锥曲线中的证明问题，核心是围绕曲线的定义、性质（如对称性、离心率、焦点、准线等）或几何关系（如垂直、平行、定值等），通过代数运算或几何推理验证结论.
核心逻辑：将几何证明转化为代数运算，通过方程联立、根与系数的关系等工具消去参数，最终验证结论成立，本质是“几何问题代数化”的过程.
冲刺集训22 圆锥曲线的综合应用
冲刺集训22 圆锥曲线的综合应用
（1）求C的方程；
2. （2025·福建厦门第三次质量检测）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线l1交C于A，B两点（A在第一象限），当l1垂直于x轴时，｜AB｜＝4.
（1）求C的方程.
（2）过F且与l1垂直的直线l2交C于D，E两点（D在第一象限），直线x＝1与直线AD和BE分别交于P，Q两点.
②是否存在以PQ为直径的圆与y轴相切？若存在，求l1，l2的方程；若不存在，请说明理由.
3. （2025·山东青岛二模）抛物线C：x2＝4y，F为C的焦点，过抛物线外一点N作抛物线C的两条切线，A，B是切点.
（1）若点N的纵坐标为－2，求证：直线AB恒过定点；
（2）若｜AB｜＝2，求△ABN面积的最大值；
（3）证明：｜FA｜·｜FB｜＝｜FN｜2.
（1）求双曲线C的方程；
（2）设过原点的直线l与C交于M，N两点且点M在第一象限，
①若以MN为直径的圆恰好过右焦点F2，求点M的坐标.(共33张PPT)
专题五 解析几何
第7讲 圆锥曲线的定点、定值问题
高考定位：（1）解析几何中的定点、定线问题是高考考查的热点，难度较大，是高考的压轴题，定点问题的类型一般为直线过定点与圆过定点等；定线问题的类型一般是证明或探究动点在直线上.（2）在解析几何题目中，有些几何量与参数无关，这类问题被称为定值问题.定值问题是高考的热点问题、难度较大，一般作为压轴题出现.
（2）过点（－2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得｜DQ｜为定值.
■热点突破
热点 定点问题
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.
规律方法 动线过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l过定点问题，解法：设动直线方程（斜率存在）为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k（x＋m），故动直线过定点（－m，0）.
（2）动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.
热点 定值问题
例2 （2025·江苏南京二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（－1，0），B（1，0），Q（－4，0），动点P满足｜PA｜＋｜PB｜＝4，记点P的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）.设直线AE，AF的斜率分别为k1，k2.
②设直线AF，BE相交于点M，求证：｜MA｜－｜MB｜为定值.
（1）可由特例得出一个值（此值一般就是定值），然后证明定值.将问题转化为证明待证式与参数（某些变量）无关.
（2）先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子与分母约分得定值.
规律方法 求解定值问题的两大途径
冲刺集训24 圆锥曲线的定点、定值问题
冲刺集训24 圆锥曲线的定点、定值问题
（1）求椭圆C的方程；
（1）求椭圆L的方程；
①求证：k1·k2为定值；
②直线ST是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由.
3. （2025·广东汕头一模）已知△APQ的三个顶点都在抛物线y2＝4x上，其中A（1，2）.
（1）当△APQ是直角三角形且∠A＝90°时，证明直线PQ过定点；
（2）设直线PQ过点T（5，－2），是否有在以弦PQ为底边的等腰△APQ？若存在，这样的三角形有几个？若不存在，请说明理由.
又f（0）＝－1＜0，f（1）＝4＞0，
所以f（m）在R上有且只有一个零点，即方程（*）在R上有且只有一根，
故存在以弦PQ为底边的等腰三角形APQ，且这样的三角形只有一个.
（2）过点P（2，0）的直线与椭圆E交于不同的两点M，N. 过M作直线x＝1的垂线，垂足为Q. 求证：直线NQ过定点.(共37张PPT)
专题五 解析几何
第4讲 直线与圆锥曲线的位置关系
（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足｜AP｜·｜AR｜＝3.
（ⅰ）设P（m，n），求R的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求｜PQ｜的最大值.
因为直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，
所以m2＋（n＋4）2＝18，
■热点突破
热点 弦长问题
（2）点F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，过点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，若△ABF1的周长为12，求直线l的方程.
规律方法 （1）设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等.
（2）涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ＞0易漏掉.
（3）｜AB｜＝x1＋x2＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立.
热点 中点弦问题
（1）求C的方程；
（3）证明：线段MN的中点为定点.
规律方法 （1）处理中点弦问题的常用方法：①根与系数的关系；②点差法；③常用结论.
（2）利用点差法需注意保证直线与曲线相交.
冲刺集训21 直线与圆锥曲线的位置关系
冲刺集训21 直线与圆锥曲线的位置关系
1. （2025·江西南昌二模）已知抛物线C：y2＝4x，过点D（4，0）作斜率大于0的直线l，与曲线C交于A，B两点.原点O关于AB的对称点记为M点.
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当M在抛物线C上时，求△ABM的面积.
②在l上是否存在点E，使得△EMN是等边三角形？若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由.
解得m2＝1，即m＝±1，
故直线MN的方程为y＝x＋2或y＝－x－2.
（2）当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线；(共61张PPT)
专题五 解析几何
第2讲 椭圆、双曲线的方程和性质
B. 2
D
B
B. ｜MA1｜＝2｜MA2｜
ACD
A. 2 B. 5
A
解析：由双曲线的定义得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，①
又｜PF1｜＋｜PF2｜＝3｜F1F2｜＝6c，②
设抛物线的准线为l，则l过点F1，过点P作PM⊥l于点M，
由抛物线的定义得｜PF2｜＝｜PM｜＝3c－a.
过点P作PN⊥x轴于点N，则｜F2N｜＝3c－a－2c＝c－a，
在Rt△PMF1中，｜MF1｜2＝｜PF1｜2－｜PM｜2＝（3c＋a）2－（3c－a）2，
在Rt△PF2N中，｜PN｜2＝｜PF2｜2－｜F2N｜2＝（3c－a）2－（c－a）2，
又｜PN｜＝｜MF1｜，所以｜PF1｜2－｜PM｜2＝｜PF2｜2－｜F2N｜2，即（3c＋a）2－（3c－a）2＝（3c－a）2－（c－a）2，
■热点突破
热点 定义与标准方程
A. 6 B. 5 C. 9 D. 8
A
D
C
规律方法 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
（1）双曲线的定义中忽略“绝对值”致错.
（2）椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2.
（3）确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置.
热点 椭圆与双曲线的性质
A. 1 B. 2 D. 3
B
D. 4
A
A. 1≤｜MF1｜·｜MF2｜≤4
C. 0≤｜MB｜≤2
AD
BC
（2）为提高效率可以用特殊值法，这里也需要积累一些比较常用的二级结论：
热点 椭圆与双曲线的离心率
D
D
D
C. 2
C
C
解析：不确定△ABC的哪两个顶点是椭圆E的焦点，因此要分类讨论.
冲刺集训19 椭圆、双曲线的方程和性质
冲刺集训19 椭圆、双曲线的方程和性质
A. 14 B. 12 C. 10 D. 8
解析：由题意可知，a2＝16，b2＝9，则c2＝25，则双曲线C的左、右焦点分别为F1（－5，0），F2（5，0），因为｜AF2｜－｜AF1｜＝8或｜AF1｜－｜AF2｜＝8，且｜AF2｜＝4，故｜AF1｜＝12.故选B.
B
B. 4 D. 8
D
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
A
C. 2 D. 3
D
C
B
A. 菱形 B. 等腰梯形 C. 正方形 D. 矩形
解析：不妨令AB∥CD，AB⊥x轴；当｜AB｜≠｜CD｜时，四边形ABCD为等腰梯形，当｜AB｜＝｜CD｜时，四边形ABCD为矩形，故B，D正确；因为E：x2－y2＝2 025为等轴双曲线，所以双曲线的两条渐近线之间的夹角为90°，故四边形ABCD的对角线必不可能相互垂直，故A，C错误.故选BD.
BD
A. 椭圆E关于x轴对称
BCD
B. ｜MC｜的最大值为3
D. 过点D（0，－1）的直线垂直AC交曲线Γ于E，F，则△AEF的周长为8
ABD
C. 直线x＋y＝3是曲线的一条切线
D. 若x＋y＝t是曲线的渐近线，则t＝－1
BCD
3（答案不唯一）
y＝
±x(共43张PPT)
专题五 解析几何
第1讲 直线与圆、圆与圆
高考定位：考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题）、圆与圆的位置关系，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.
A. （0，1） B. （1，3）
C. （3，＋∞） D. （0，＋∞）
B
A. 点P到直线AB的距离小于10
B. 点P到直线AB的距离大于2
ACD
2
x＝－1（或3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0）
■热点突破
热点 直线与圆
A. （2，3） B. （3，2）
C. （2，－3） D. （3，－2）
B
（2）（2025·北京西城一模）在平面直角坐标系xOy中，若从点A（0，t）发出的光线经过点B（1，0），且被x轴反射后将圆C：（x－4）2＋（y－3）2＝1平分，则实数t＝（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
C
A. 存在实数a，使圆O关于直线l对称
B. 直线l过定点（2，－2）
C. 对任意实数a，直线l与圆O均有两个不同的公共点
BCD
热点 圆与圆
A. x＋2y－23＝0 B. x＋2y＋23＝0
C. 3x＋4y－23＝0 D. 3x＋4y＋23＝0
C
A. 2
C. 4
C
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
C
B
A. 当a＝0时，圆O与圆C相切
C. 当0＜a＜1时，圆O与圆C相交
AB
规律方法 两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长.
冲刺集训18 直线与圆、圆与圆
冲刺集训18 直线与圆、圆与圆
A. 1 B. 2
B
A. 2 D. 4
B
A. 0 C. 1
D
A. 2 B. 4 C. 5 D. 10
B
A. k＝2，b＝－2
C. k＝1，b＝2 D. k＝1，b＝－2
解析：由于A（1，0）在圆（x－2）2＋y2＝1上，圆心为（2，0），要使A（1，0）关于直线y＝kx＋b的对称点在圆（x－2）2＋y2＝1上，则直线y＝kx＋b必经过圆心（2，0），故2k＋b＝0，结合选项可知只有D符合题意，故选D.
D
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
A. x＋y＝0 B. x＋y＝2
C. x－y＝2 D. y＝x＋2
D
A. 1 C. 2 D. 3
A
A. 1 D. 2
C
A. 圆C的半径为2
B. 满足｜OM｜＝5.5的点M有1个
D. 若点P在x轴上，则满足｜OM｜＝2｜PM｜的点P有两个
AC
解析：当k＞0时，如图，取线段AB中点D，连接CD，(共58张PPT)
专题五 解析几何
第3讲 抛物线的方程和性质
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
C
A. 2
C. 3
B
A. ｜AD｜＝｜AF｜ B. ｜AE｜＝｜AB｜
C. ｜AB｜≥6 D. ｜AE｜·｜BE｜≥18
ACD
A. l与☉A相切
C. 当｜PB｜＝2时，PA⊥AB
D. 满足｜PA｜＝｜PB｜的点P有且仅有2个
ABD
■热点突破
热点 抛物线的定义和标准方程
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
A. x0∈（0，2） B. y0∈（0，2）
C. x0∈（2，＋∞） D. y0∈（2，＋∞）
C
A. 若A（3，4），则｜AP｜＋｜PF｜≥5
B. 点P到直线m与到直线y＝－2的距离之和的最小值为2
D. 过直线m上一点E（点E不在x轴上）作抛物线的两条切线，切线分别交x轴于点A，B，△EAB外接圆面积的最小值为π
ACD
解析：抛物线C：x2＝4y，焦点F（0，1），准线l：y＝－1，A（3，4），如图1，过点P作准线l的垂线，垂足为Q，再过点A作准线l的垂线，垂足为B，
由抛物线的定义可知，｜AP｜＋｜PF｜＝｜AP｜＋｜PQ｜≥｜AB｜＝4－（－1）＝5，故A正确；如图2，过点P作准线l：y＝－1的垂线，垂足为Q，交直线n：y＝－2于点N，过点P作直线m：3x＋4y＋6＝0的垂线，垂足为H，过点F作直线m：3x＋4y＋6＝0的垂线，垂足为G，
图1
图2
根据过点P可作两条垂直的直线与圆M：x2＋（y－4）2＝r2相切，如图3，
图3
图3
图4
图4
规律方法 考查抛物线标准方程及定义，主要考查抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.
热点 抛物线的焦点弦
A. 16 B. 6 D. 4
C
B
A. ｜MN｜的最小值为4
B. 以线段MN为直径的圆与直线x＝－2相切
BCD
规律方法 抛物线的焦点弦的几个常见结论
设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），α是直线AB的倾斜角，则
热点 直线与抛物线
C. y0＝1
D. m＞－1
BC
A. 直线l经过一定点
ACD
4
（4，－4）
规律方法 （1）利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形（如三角形、直角梯形等）来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.
（2）处理直线与抛物线的问题的常用方法：
①根与系数的关系；②点差法；③常用结论.
冲刺集训20 抛物线的方程和性质
冲刺集训20 抛物线的方程和性质
B. 1 C. 2 D. 4
C
A. 2 D. 8
B
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
B
D. 2
A
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
D
B. 2
B
A. 3 B. 6 C. 9 D. 36
C
A. 若｜FA｜＝3｜FB｜，则直线AB的倾斜角为60°
B. 以线段AB为直径的圆与l相切
C. 存在直线AB，使得OA⊥OB
D. 若直线AO交l于点D，则BD⊥l
BD
解析：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线l：x＝－1.设直线AB的方程为x＝my＋1，A（x1，y1），B（x2，y2）.
A. p＝4
B. 若中点M的横坐标为4，则直线AB的斜率为2
C. 若OA⊥OB，则AB恒过点（0，8）
D. 若直线AB过点F，则kAP＋kBP＝0
ACD
（0，3）
1
