2025-2026学年九年级数学上册期末检测模拟卷（第1-4章）--苏科版（含答案）

2025-2026学年九年级数学上册期末检测卷（第1-4章）
一、选择题（8小题，每小题2分，共16分）
1．是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．某班名学生身高测量结果如下表：
身高
人数
该班学生身高的众数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转，使点A恰好旋转到点C的位置．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．某农户计划在一个长16m，宽9m的矩形菜地ABCD上，修建若干条同样宽的小径，竖直的与AB平行，水平的与AD平行，其余部分种草．已知草坪部分的总面积为，设小路宽为xm，若x满足方程，则修建的示意图可以是（ ）
A． B．
C． D．
7．课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出，，，…的线段（如图）．”记，，…，的内切圆的半径分别为，，…，，若，则的值是（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
8．如图，在中，∠B=90°，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
9．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
10．小明用，计算一组数据的方差，那么 ．
11．李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试、微型课、教学反思得分分别为90分、92分、88分．按照如图所示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为 分．
12.如图，四边形内接于，连接、，若的半径为3，，则的长为 ．（结果保留）
13．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影区域的概率是 ．
14．某口罩生产厂生产的口罩月平均日产量为个，月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从月起扩大产能，月平均日产量达到个．
（1）口罩日产量的月平均增长率为
按照这个增长率，预计月平均日产量为 个
15．如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知，用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形，则剪下的的周长为 ．
16．如图1是化学实验中制取蒸馏水的装置，图2为圆底烧瓶底部截面，阴影部分为液体部分，若瓶内液面的宽度，最大深度，则圆底烧瓶截面的半径为 ．
三、解答题（11小题，共68分）
17．解下列方程：
(1)； (2)； (3)； (4)．
18．如图，的两弦，交于点，且．
(1)如图1，求证：
(2)如图2，若点为的中点，连接交于点，，的半径为，求的长度．
19．如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标不数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球，小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转）．小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字，然后计算两个数字的和．
(1)用画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
(2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰胜：若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉胜，分别求出两人获胜的概率．
20．“尊老敬长”是刻在我们骨子里的传统，某地文旅商店在售卖一款冰箱贴时，对60岁以上老人购买冰箱贴给予每个两元的优惠，对其他人则按原价销售．某旅行团在此商店每人购买了一个冰箱贴，共花费了90元，售货员发现该旅行团人数和每个冰箱贴的原价恰好相同，该旅行团中有5名60岁以下成员，其余成员均在60岁以上．
(1)求冰箱贴的原价．
(2)一段时间后新品上市，这批冰箱贴需清仓处理，商店经历两次降价，降价百分率相同，降价后，60岁以上老人购买冰箱贴仍给予每个降价两元的优惠．若一名60岁以上老人购买一个冰箱贴付款6.1元，求降价的百分率．
21．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．
(1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留）
(2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数．
22．小明运用所学的一元二次方程的根与系数的关系，对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征进行了探究.定义：
倍根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个相等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
方根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．
(1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
(2)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？
23．小明和小丽在一次综合实践活动中，尝试用一张矩形纸条测量马克杯杯口的直径．他们的方法是：将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点．
(1)小明利用尺规作图找到圆心，进而度量出直径大小，请你用尺规作图在图1中确定圆心；
(2)小丽利用刻度尺测量纸条的宽为，请你根据上述数据计算纸杯的直径（请利用图2解答）．
24．【观察发现】
（1）如图1，在正方形中，点O为对角线的交点，点为正方形外一动点，且满足，连接．若正方形边长为4，则的最大值为______；
（2）如图2，已知 ABC和 ADE都是等边三角形，连接，求证：；
【拓展应用】
（3）如图3，某地有一个半径为的半圆形（半圆O）人工湖，其中是半圆的直径，在半圆上（不与重合），现计划在的左侧，规划出一个三角形区域，开发成垂钓中心，要求为入口，并沿修建一笔直的观光桥，根据规划要求观光桥的长度尽可能的长，问的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
25．在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外 方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学， 传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂，从古代的方圆象征到数 学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题．
(1)如图1，在正方形中，O为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切；
(2)如图2，在正方形中，分别与相切于点N，M， E，且，，求的半径；
26．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空：__________，__________用t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
27．点P为平面直角坐标系中一点，点Q为图形M上一点．我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．
(1)如图，⊙O半径为2，与x轴交于点A，B，点．
①在点P视角下，⊙O的“宽度”为___________，线段的“宽度”为___________；
②点为x轴上一点．若在点P视角下，线段的“宽度”为2，求m的取值范围；
参考答案
一、选择题
1．A
【详解】解：一元二次方程，
，
，
，即；，即；
，
，
故方程为 ，
故选：A
2．C
【详解】解：∵随机闭合开关中的两个，共有种等可能的情况：、、．能让灯泡发光的情况是，共种．
∴能让灯泡发光的概率为．
故选：C．
3．C
【详解】解：∵这组数据中出现次，次数最多，
∴众数是，
故选：．
4．C
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
5．D
【详解】解：如图：旋转可知，
，
则，
所以，
所以阴影部分的面积可转化为扇形的面积．
因为，，
所以扇形的面积为：，即阴影部分的面积为，
故选：D．
6．C
【详解】解：，即，
，不符合题意，舍去，
，
A.种植草坪部分的总面积，
，
选项A不符合题意；
B.种植草坪部分的总面积，
，
选项B不符合题意；
C.种植草坪部分的总面积，
，
选项C符合题意；
D.种植草坪部分的总面积，
，
选项D不符合题意；
故选：C．
7．A
【详解】解：设内切圆的圆心分别为设与的三边相切于点，如图，
则四边形为正方形，
又，
，
，
同样，在中，四边形为正方形，
又，
，
同理，，
，
则，
，
，
经检验，是增根，是原方程的根，
∴的值是24，
故选：A
8．C
【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到，
，
，
E是直角边的中点，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示，
，
当、、共线时，即与重合时，取得最小值，
又，
此时的值最小，
D是斜边的中点，
是 ABC的中位线，
，
此时，，
的最小值为4．
故选：C．
二、填空题
9．0
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴．
∴．
故答案为 0．
10．
【详解】解：由题意得，这10个数据的平均数为3，
∴，
故答案为：．
11．91
【详解】解：，
∴李老师的综合成绩为91；
故答案为：91．
12．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∴，
∴，
∴的长，
故答案为：．
13．
【详解】解：∵大正方形等分为25个小正方形，其中涂有黑色的小正方形有9个，且每个小正方形被击中的概率相同，
∴任意投掷飞镖1次，击中黑色区域的概率是．
故答案为：．
14．
【详解】（1）解：设口罩日产量的月平均增长率为，
依据题意可得：，
解得：，（不合题意舍去），
∴，
故答案为：．
（2）解：依据题意可得：（个），
故答案为：．
15．24
【详解】解：设与分别相切于点E、F，则，
与相切于点D，
，，
，
，
，
剪下的的周长为24，
故答案为：．
16．5
【详解】解：如图，连接，
由题意，，
，
设的半径为，则，
，
在中，，
即，
解得：，
的半径为
故答案为：5．
三、解答题
17．（1）解：
，
解得：，
（2）解：，
∴，
∴，
解得：，；
（3）解：，
∴，
∴，
即，
解得：，；
（4）解：，
，
∴，
即，
∴，
解得：，．
18．（1）∵，
∴，
∴，即，
∴．
（2）如图所示，连接，
∵点是的中点，
∴，且（垂径定理）．
在中，由勾股定理得：
，
又，故．
19．（1）解：用树状图表示出所有可能出现的结果如下：
（2）共有9种可能出现的结果，其中两次之和是3的倍数的有3种，是7的倍数的有3种，
所以两次之和是3的倍数的概率为，两次之和是7的倍数的概率为，
答：小杰获胜的概率为，小玉获胜的概率是．
20．（1）解：设冰箱贴的原价为x元，
由题意，得，整理，得，
解得（舍去），
答：冰箱贴的原价为10元．
（2）解：设降价的百分率为m，
由题意，得，整理，得，
解得（舍去），
答：降价的百分率为10%．
21．（1）解：如图所示：
在中，，，，
则由勾股定理可得；
圆锥底面圆的周长为，
圆锥侧面积为；
故答案为：，；
（2）解：由（1）知侧面积为，
设所需扇形卡纸的圆心角的度数，
，
解得，
答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为．
22．（1）设方程的两个根为，
一元二次方程是“倍根方程”，
不妨设，
∵x1+x2=6,x1x2=c，
，
，，
；
（2）设一元二次方程的两个实数根分别为、，
这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，
不妨设，
①当时，即，解得或（舍去），
，
②当时，即，
解得或（舍去），
这个方程的根是2和4，或和．
23．（1）解：如图：连接，分别作与的垂直平分线，交于一点，即是圆心，
下图即为所求：
（2）解：连接，过圆心作，
∵，
∴，
设，那么，
∵，，
∴在与中，，
∴，
解得：；
∴ ，
∴纸杯的直径为.
24．解：（1）以为直径作，连接，如图：
∵是正方形，
∴，
又∵，
∴点和点在上，
当在一条直线上时，即为直径时，最长，
∵正方形边长为4，
∴；
（2）∵ ABC和 ADE都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）过点作的垂线并截取点使，如图，以点为圆心，为半径，作半圆， 则点在半圆上运动，
理由如下：
作，交半圆于点，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即且，
∴当点在上运动时，点在上运动，
连接，当三点不共线时， ，
当三点共线时， ，此时长度取到最大值，
即∶如图中，点在位置时，，
∵，，
∴，，
∴，
即最大值为．
25．（1）设正方形边长为a，则半径为．
过O作于H，
∵O为正方形对角线交点，
∴
∴O到的距离等于边长的一半，即，等于半径，
∴与相切．
（2）连接．
∵在正方形中，，
∴．
∵分别与相切于点N，M，E，
∴．
∵
∴，
∴是的垂直平分线，
∵，
∴点在的垂直平分线是上，
∴三点在同一条直线，
∴
∵
∴
∴的半径为．
26．（1）解：∵在长方形中，，，
而，，
∴．
（2）解：在中，，
∴，
整理，得：，
解得或2．
把舍去，
所以，当时，的长度等于．
（3）解：∵，
∴，
即，
整理，得：，
解得：或4．
依题意，，
∴，
∴，故取．
因此，当时，五边形的面积等于．
27．（1）解：①如图所示：
由定义可知：在点P视角下，⊙O的“宽度”为：;
∵
∴在点P视角下，线段的“宽度”为：
故答案为：；
②点关于点的对称点坐标为
当点在点右侧时，
若，则，不符合题意；
若，则，不符合题意；
若，则，符合题意；
∴
当点在点左侧时，
则：
∴
解得：（舍去）
∴
综上所述：或