2025-2026北师大九年级数学上册期末考试综合复习（含解析）（考察范围：九年级上下册＋部分初一初二内容）甘肃专供

中小学教育资源及组卷应用平台
2025-2026北师大九年级数学上册期末考试综合复习（考察范围：九年级上下册＋部分初一初二内容）甘肃专供
一．选择题（共10小题）
1．若∠A为锐角，且tanA，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
2．从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为（　　）
A．9×108 B．9×109 C．9×1010 D．9×1011
3．一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（　　）
A．1080° B．540° C．2700° D．2160°
4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2向左平移1个单位长度得到的抛物线为（　　）
A．y＝（x+1）2 B．y＝（x﹣1）2 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
5．某校为了解学生对“生命，生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了24名学生进行综合测试．本次测试共有10道题目，答对题数情况如表：
答对题数（道） 6 7 8 9 10
人数 3 8 6 5 2
则本次测试学生答对题数的中位数和众数分别是（　　）
A．7和7 B．7和8 C．8和7 D．8和8
6．为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（　　）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100（1+x）
C．y＝50（1+x）2 D．y＝50（1﹣x）2
7．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）
A．32x+2×20x﹣2x2＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
8．如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P，Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0＜x＜8）之间的函数图象大致是下列图中的（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共6小题）
11．已知0，则的值为 　 　 ．
12．要使代数式有意义，x的取值范围是 　 　 ．
13．已知ab＝2，a+b＝3，求a2b+ab2的值是 　 　 ．
14．如图，用一个半径为10cm的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动．若重物上升15πcm，则滑轮旋转的角度为 　 　 °．
15．如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 　 　 ．
16．如图，点M在反比例函数y1（x＞0）的图象上，过点M作MA⊥x轴于点A，交反比例函数y2（x＞0）的图象于N点，连接OM，ON，若△MON的面积为1，则k的值为　 　 ．
三．解答题（共12小题）
17．计算：．
18．先化简：，再从1，2，3中选一个数作为a的值代入求值．
19．已知等腰三角形ABC，如图．
（1）用直尺和圆规作△ABC的外接圆；
（2）设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．
20．2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用A，B表示）和八年级的两名学生（用C，D表示）获得优秀奖．
（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是 　 　 ．
（2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．
21．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为7cm，双翼的边缘AC＝BD＝80cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
22．为了增强学生体质，某校在每周二、周四的课后延时服务时段开设了五类拓展课程：A篮球，B足球，C乒乓球，D踢毽子，E健美操．为了解学生对这些课程的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图的信息回答下列问题．
（1）本次抽取调查的学生共有 　 　 人；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，A篮球类所对应的圆心角为 　 　 ；
（4）八（1）班有甲、乙、丙、丁四位同学参加了乒乓球课程，为参加学校组织的乒乓球比赛，班主任从四人中随机抽取两人代表班级出战．利用画树状图或列表的方法求出甲和乙至少有一人被选上的概率．
23．如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为30m的篱笆围成．如图，墙长为16m，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为xm．请列出方程并解答：
（1）若苗圃园的面积为108m2，求x的值；
（2）苗圃园的面积能达到120m2吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由．
24．某批发商出售一种成本价为10元/件的商品，市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与销售价x（元/件）满足一次函数y＝﹣10x+400．这种商品每周的销售利润为w元．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）商家为了盘活资金，减少库存，要确保这种商品每周的销售量不少于180件，若这种商品每周的销售利润为2000元，则该商品每周的销售量是多少？
25．如图直线y1＝﹣x+m与双曲线（x＞0）交于A，B两点，点A的坐标为（1，2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）当y2＞y1时，直接写出x的取值范围．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．
27．如图（1），在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上（均不与端点重合），且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN．
【问题发现】
（1）如图（2），当n＝1时，BM与PD的数量关系为 　 　 ，CN与PD的数量关系为 　 　 ．
【类比探究】
（2）如图（3），当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMNP旋转至C，N，M三点共线时，请写出线段CN的长并说明理由．
28．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（1，2），B（﹣3，﹣2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点E为直线AB下方抛物线上任意一点，连接AE，BE，求△EAB面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）点D为抛物线对称轴上的一点，当以点A，B，D为顶点的三角形为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．
2025-2026北师大九年级数学上册期末考试综合复习（考察范围：九年级上下册＋部分初一初二内容）甘肃专供
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A A C D D B A B
一．选择题（共10小题）
1．若∠A为锐角，且tanA，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先利用锐角三角函数值得出∠A的度数，进而求出cosA的值．
【解答】解：∵tanA，
∴∠A＝30°，
则cosA．
故选：C．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关角的三角函数值是解题关键．
2．从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为（　　）
A．9×108 B．9×109 C．9×1010 D．9×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：9000000000＝9×109．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（　　）
A．1080° B．540° C．2700° D．2160°
【分析】根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数，根据内角和定理即可求得内角和．
【解答】解：多边形的边数是：360÷45＝8，
则多边形的内角和是：（8﹣2）×180＝1080°．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便．
4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2向左平移1个单位长度得到的抛物线为（　　）
A．y＝（x+1）2 B．y＝（x﹣1）2 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
【分析】直接利用抛物线平移规律：左加右减得出平移后的解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2向左平移1个单位长度得到的抛物线为：y＝（x+1）2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
5．某校为了解学生对“生命，生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了24名学生进行综合测试．本次测试共有10道题目，答对题数情况如表：
答对题数（道） 6 7 8 9 10
人数 3 8 6 5 2
则本次测试学生答对题数的中位数和众数分别是（　　）
A．7和7 B．7和8 C．8和7 D．8和8
【分析】将答对题数进行从小到大的排列，再求出第12和第13的平均数即是中位数；数据中出现次数最多的即是众数．
【解答】解：答对题数从小到大的排列为：6，6，6，7，7，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10．
所以中位数为：8，
众数为7，
故选：C．
【点评】本题考查了众数和中位数，解题的关键是根据众数和中位数的定义来解答．
6．为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（　　）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100（1+x）
C．y＝50（1+x）2 D．y＝50（1﹣x）2
【分析】根据题意，得出第一次降价后的价格为50（1﹣x）元，第二次降价后的价格为50（1﹣x）2元，再根据两次降价后的价格为y元，即可得出y与x的函数关系式．
【解答】解：由题意可得：
第一次降价后的价格为50（1﹣x）元，
∴第二次降价后的价格为50（1﹣x）2元，
又∵两次降价后的价格为y元，
∴y与x的函数关系式为：y＝50（1﹣x）2．
故选：D．
【点评】本题考查了根据实际问题列出二次函数的关系式，正确根据数量关系列出式子是解题关键．
7．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）
A．32x+2×20x﹣2x2＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
【分析】将六小块草坪合在一起可得出一个长方形，设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，根据矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO＝30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO＝30°即可．
【解答】解：连接DC，如图所示，
∵C（，0），D（0，1），∠DOC＝90°，
∴OD＝1，OC，
∴∠DCO＝30°，
∴∠OBD＝30°，
故选：B．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用三角函数得出∠DCO＝30°．
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】可先由二次函数y＝ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝ax+b的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，，得b＞0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项符合题意；
B、由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知a＞0，由直线可知a＜0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知a＜0，，得b＜0，由直线可知a＜0，b＞0，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数的图象，掌握二次函数与一次函数的图象是解题的关键．
10．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P，Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0＜x＜8）之间的函数图象大致是下列图中的（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①0＜x≤4时，根据四边形PBDQ的面积＝△ABD的面积﹣△APQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；②4≤x＜8时，根据四边形PBDQ的面积＝△BCD的面积﹣△CPQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【解答】解：①0＜x≤4时，
∵正方形的边长为4cm，
∴y＝S△ABD﹣S△APQ，
4×4 x x，
x2+8，
②4≤x＜8时，
y＝S△BCD﹣S△CPQ，
4×4 （8﹣x） （8﹣x），
（8﹣x）2+8，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．已知0，则的值为 　　 ．
【分析】根据比例的性质，可用a表示b、c，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：由比例的性质，得：
ca，ba，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出a表示b、c是解题关键，又利用了分式的性质．
12．要使代数式有意义，x的取值范围是 x≥0且x≠1　 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x≥0，且x﹣1≠0，
解得：x≥0且x≠1，
故答案为：x≥0且x≠1．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
13．已知ab＝2，a+b＝3，求a2b+ab2的值是 　6　 ．
【分析】将a2b+ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值．
【解答】解：a2b+ab2＝ab（a+b），
∵ab＝2，a+b＝3，
∴原式＝2×3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
14．如图，用一个半径为10cm的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动．若重物上升15πcm，则滑轮旋转的角度为 　270　 °．
【分析】根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：设滑轮旋转的角度为n，根据题意得：
，
即滑轮旋转的角度为270°．
故答案为：270．
【点评】本题主要考查了弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，．
15．如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 　　 ．
【分析】设AD交EH于点R，由矩形EFGH的边FG在BC上证明EH∥BC，∠EFC＝90°，则△AEH∽△ABC，得，其中BC＝8，AD＝6，AR＝6EH，可以列出方程，解方程求出EH的值即可．
【解答】解：设AD交EH于点R，
∵矩形EFGH的边FG在BC上，
∴EH∥BC，∠EFC＝90°，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ARE＝∠ADB＝90°，
∴AR⊥EH，
∴，
∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，
∴RD＝EFEH，
∵BC＝8，AD＝6，AR＝6EH，
∴，
解得EH，
∴EH的长为，
故答案为：．
【点评】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列方程是解题的关键．
16．如图，点M在反比例函数y1（x＞0）的图象上，过点M作MA⊥x轴于点A，交反比例函数y2（x＞0）的图象于N点，连接OM，ON，若△MON的面积为1，则k的值为　8　 ．
【分析】由过点M作MA⊥x轴于点A，利用反比例函数k的几何意义表示出三角形AON与三角形AOM面积，由三角形AOM面积减去三角形AON面积表示出三角形MON面积，将已知三角形MON面积代入求出k的值即可．
【解答】解：∵点M在反比例函数y1（x＞0）的图象上，过点M作MA⊥x轴于点A，交反比例函数y2（x＞0）的图象于N点，
∴S△AON，S△AOM＝5，
∵S△MON＝1，即51，
解得：k＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．
三．解答题（共12小题）
17．计算：．
【分析】根据绝对值的化简，零指数幂，负整数指数幂的运算法则，特殊角三角函数的值，即可求解，
【解答】解：原式2．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值的运算，实数的混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
18．先化简：，再从1，2，3中选一个数作为a的值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
【解答】解：原式
，
∵a（a﹣2）≠0且a﹣1≠0，
∴a≠0，a≠2，a≠1，
则a＝3，
所以原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19．已知等腰三角形ABC，如图．
（1）用直尺和圆规作△ABC的外接圆；
（2）设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．
【分析】（1）作出AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，以交点为圆心，交点到三角形的顶点为半径画圆可得△ABC的外接圆；
（2）作出劣弧BC所对的圆周角，易得该圆周角的度数，则∠BAC的度数是该圆周角的补角．
【解答】解：（1）（4分）
（2）
在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD，
∵∠BOC＝128°，
∴∠BDC∠BOC＝64°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝116°．
【点评】本题考查了三角形外接圆的确定及圆周角定理的应用；用到的知识点为：三角形外接圆的圆心是任意两边垂直平分线的交点；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补．
20．2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用A，B表示）和八年级的两名学生（用C，D表示）获得优秀奖．
（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是 　　 ．
（2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有8种结果，
所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
21．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为7cm，双翼的边缘AC＝BD＝80cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
【分析】如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，利用含30°的直角三角形的性质，求解AE，BF，从而可得答案．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，
∵在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，
∴，
同理可得，BF＝40cm，
又∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为7cm，
∴40+7+40＝87（cm）
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为87cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键．
22．为了增强学生体质，某校在每周二、周四的课后延时服务时段开设了五类拓展课程：A篮球，B足球，C乒乓球，D踢毽子，E健美操．为了解学生对这些课程的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图的信息回答下列问题．
（1）本次抽取调查的学生共有 　125　 人；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，A篮球类所对应的圆心角为 　72°　 ；
（4）八（1）班有甲、乙、丙、丁四位同学参加了乒乓球课程，为参加学校组织的乒乓球比赛，班主任从四人中随机抽取两人代表班级出战．利用画树状图或列表的方法求出甲和乙至少有一人被选上的概率．
【分析】（1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得本次抽取调查的学生人数．
（2）求出D课程的人数，补全条形统计图即可．
（3）用360°乘以本次调查中选择A的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
（4）画树状图可得出所有等可能的结果数以及甲和乙至少有一人被选上的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次抽取调查的学生共有20÷16%＝125（人）．
故答案为：125．
（2）D课程的人数为125﹣25﹣20﹣40﹣15＝25（人）．
补全条形统计图如图1所示．
（3）在扇形统计图中，A篮球类所对应的圆心角为360°72°．
故答案为：72°．
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙至少有一人被选上的结果有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙，共10种，
∴甲和乙至少有一人被选上的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
23．如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为30m的篱笆围成．如图，墙长为16m，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为xm．请列出方程并解答：
（1）若苗圃园的面积为108m2，求x的值；
（2）苗圃园的面积能达到120m2吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由．
【分析】（1）根据苗圃园的面积为108m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长为16m，即可确定结论；
（2）假设苗圃园的面积能达到120m2，根据苗圃园的面积为120m2，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣15＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即苗圃园的面积不能达到120m2．
【解答】解：（1）根据题意得：x（30﹣2x）＝108，
整理得：x2﹣15x+54＝0，
解得：x1＝6，x2＝9，
当x＝6时，30﹣2x＝30﹣2×6＝18＞16，不符合题意，舍去；
当x＝9时，30﹣2x＝30﹣2×9＝12＜16，符合题意．
答：x的值为9；
（2）苗圃园的面积不能达到120m2，理由如下：
假设苗圃园的面积能达到120m2，
根据题意得：x（30﹣2x）＝120，
整理得：x2﹣15x+60＝0，
∵Δ＝（﹣15）2﹣4×1×60＝﹣15＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即苗圃园的面积不能达到120m2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．某批发商出售一种成本价为10元/件的商品，市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与销售价x（元/件）满足一次函数y＝﹣10x+400．这种商品每周的销售利润为w元．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）商家为了盘活资金，减少库存，要确保这种商品每周的销售量不少于180件，若这种商品每周的销售利润为2000元，则该商品每周的销售量是多少？
【分析】（1）根据销售量、售价与销售利润之间的数量关系列出函数关系式即可求解；
（2）根据销售利润为2000元为等量关系列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）根据题意得w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣10x+400）＝﹣10x2+500x﹣4000；
（2）根据题意得﹣10x2+500x﹣4000＝2000，
解得x1＝20，x2＝30，
由y＝﹣10x+400≥180，解得x≤22．
∴x＝20，当x＝20时，y＝﹣10×20+400＝200．
答：该商品每周的销售量是200件．
【点评】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，明确题意，根据数量关系列出函数关系式及根据等量关系列出方程是解题的关键．
25．如图直线y1＝﹣x+m与双曲线（x＞0）交于A，B两点，点A的坐标为（1，2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）当y2＞y1时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）把A（1，2）代入y1＝﹣x+m得到m＝3，求得一次函数的解析式为y1＝﹣x+3，由于点A在双曲线（x＞0）上，求得k＝1×2＝2，得到反比例函数的表达式为y2；
（2）过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，得到AM＝2，BN＝1，MN＝1，根据梯形的面积公式即可得到结论；
（3）解方程组得到A（1，2），B（2，1），由图象得到当y2＞y1时，x的取值范围是1＜x＜2．
【解答】解：（1）把A（1，2）代入y1＝﹣x+m得，﹣1+m＝2，
∴m＝3，
∴一次函数的解析式为y1＝﹣x+3，
∵点A在双曲线（x＞0）上，
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数的表达式为y2；
（2）过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
∴AM＝2，BN＝1，MN＝1，
∴S△AOB＝S△AOM+S梯形AMNB﹣S△BON＝S梯形AMNB（2+1）×1；
（3）由题意得，
解得或，
∴A（1，2），B（2，1），
由图象可知：当y2＞y1时，x的取值范围是0＜x＜1或x＞2．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，正确地作出函数的解析式是解题的关键．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．
【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AC＝CD，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°．
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCOtan30°＝2．
∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝30°．
∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．
∴的长．
【点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．
27．如图（1），在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上（均不与端点重合），且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN．
【问题发现】
（1）如图（2），当n＝1时，BM与PD的数量关系为 BM＝PD ，CN与PD的数量关系为 CNPD ．
【类比探究】
（2）如图（3），当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMNP旋转至C，N，M三点共线时，请写出线段CN的长并说明理由．
【分析】（1）当n＝1时，AD＝AB，AP＝AM，则AD﹣AP＝AB﹣AM，所以BM＝PD，再证明A、N、C三点在同一条直线上，则，，即可得出；
（2）根据题意得出AD＝2AB，AP＝2AM，进而得出ACAD，ANAP，则，连接AC，通过证明△ANC∽△APD，即可得出结论；
（3）当点N在线段CM上时，根据勾股定理求出AC，则CM，即可得出CN＝CM﹣MN2；当点M在线段CN上时，同理可求CM，则CN＝CM+MN2．
【解答】解：（1）当n＝1时，AD＝AB，AP＝AM，
∴AD﹣AP＝AB﹣AM，
∴BM＝PD，
∵四边形ABCD和四边形AMNP都是矩形，且AD＝AB，AP＝AM，
∴四边形ABCD和四边形AMNP都是正方形，
∴AD＝CD，AP＝NP，∠D＝∠APN＝90°，
∵∠DAC＝∠DCA＝45°，∠PAN＝∠PNA＝45°，
∴∠DAC＝∠DAN，
∴A、N、C三点在同一条直线上，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：BM＝PD，；
（2）CN与PD之间的数量关系发生变化，，理由如下：
如图（1）在矩形ABCD和矩形AMNP中，
∵当n＝2时，AD＝2AB，AP＝2AM，
∴，，
∴，
如图（3），连接AC，
∵矩形AMNP绕点A顺时针旋转，
∴∠NAC＝∠PAD，
∴△ANC∽△APD，
∴，
∴CNPD；
（3）线段CN的长为或．理由如下：
如图3.1，当点N在线段CM上时，
∵AD＝4，AD＝2AB，
∴AB＝CD＝2，
∴AC，
∵AP＝2，AP＝2AM，
∴AM＝1，
∴CM，
∴CN＝CM﹣MN2；
如图3.2，当点M在线段CN上时，
同理可求CM，
∴CN＝CM+MN2；
综上所述：线段CN的长为2或2．
【点评】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
28．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（1，2），B（﹣3，﹣2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点E为直线AB下方抛物线上任意一点，连接AE，BE，求△EAB面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）点D为抛物线对称轴上的一点，当以点A，B，D为顶点的三角形为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△EAB面积＝S△EHA+S△EHBEH （xA﹣xB），即可求解；
（3）分AB＝AD、AB＝BD、AD＝BD三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2+3x﹣2；
（2）由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝x+1，
过点E作y轴的平行线交直线AB于点H，
设点E（x，x2+3x﹣2），则点H（x，x+1），
则△EAB面积＝S△EHA+S△EHBEH （xA﹣xB）（1+3）（x+1﹣x2﹣3x+2）＝﹣2x2﹣4x+6，
∵﹣2＜0，故△EAB面积有最大值，
当x＝﹣1时，△EAB面积的最大值为8，此时点E（﹣1，﹣4）；
（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x，设点D（，m），
由点A、B、D的坐标得：AB2＝32，AD2＝（1）2+（m﹣2）2，BD2＝（）2+（m+2）2，
当AB＝AD时，即32＝（1）2+（m﹣2）2，解得m＝2±；
当AB＝BD时，同理可得：m＝﹣2±；
当AD＝BD时，同理可得：m，
故点D的坐标为（，2）或（，2）或（，﹣2）或（，﹣2）或（，）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
第1页（共1页）