2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第七章 命题与证明 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列命题不是公理的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行
2．用反证法证明命题“如果在钝角中，那么”时，应先假设（ ）
A． B． C． D．
3．如图，下列条件无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，直线，直线，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．等边对等角
B．周长相等的两个等腰三角形全等
C．等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合
D．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
6．如图，在和中，，，添加下列哪一个条件无法证明的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，，，，则为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是一段斜坡，是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿垂直于斜坡，在竿顶点D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E．当时，测得，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定直线的有（ ）
A．③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．②④
10．如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于、两点；再分别以、为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点和点重合，折痕为．若，则 ．
12．请举一个能说明命题“如果，那么”是假命题的x的值可以是 ．
13．如图，点在一条直线上，，，，若，，则的长度为 ．
14．如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有 ．（填序号）
15．小明、小亮、小颖三人参加一项比赛，比赛包括A，B，C三个项目，每个项目三人都要排出名次，第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，不存在并列情况．经过比赛，三人的部分得分见表：
参赛者 比赛项目
A B C 总分
小明 2
小亮 3
小颖 1
已知小亮在两个项目中得分相同，并且三人的总分各不相同，此次比赛 是冠军．（填“小明”、“小亮”、或“小颖”）
16．如图，在中，，，，点E、点F分别在、边上，且，则的最小值为 ．
三、解答题
17．如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题．请写出你选择的一个真命题加以证明．
已知：
求证：
证明：
18．方方给同桌小颖出了一道题：“当时，计算代数式的值，并猜想当x为任意实数时，代数式的值为非负数．”请你帮助小颖解答这道题，并验证该猜想的正确性．
19．教材中，提到了通过剪拼三角形的两个内角的方法得出三角形的内角和，数学小组的亮亮发现只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处也可以得出结论，下面是他的操作和理由：
操作：如图1，中的三个内角分别为，，．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合．
理由：由操作可知，
∴（____________，两直线平行）
∴______，（两直线平行，____________）
又，
∴______．
(1)将上面亮亮的理由补充完整；
(2)同组的明明发现，一个角也不撕，过点C作，延长到点E，也能证明三角形的内角和定理，请你帮助明明写出说理过程．
20．完成下面的推理说明：
已知： 如图，，、分别平分和．
求证：
证明：、分别平分和（已 知） ，
，
（ ）．
（ ），
（ ）．
（ ）．
（等式的性质） ．
（ ）．
21．如图，B，D，C，E在一条直线上，，，．求证：．
22．如图，直线，被直线所截．
(1)如果，你能得到哪些角之间的等量关系？
(2)写出能够证明的条件（能写几个就写几个）．
23．如图，点，，，在一条直线上，，，若 ，则．从①，②，③，这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由．
24．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用．
【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题：
(1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，再利用三角形的三边关系，即可求出中线的取值范围．
请你直接写出的取值范围：______；
(2)如图2，，点D为的中点，，，求；
(3)如图3，在和中，，，．连接，，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．请猜想和的数量关系并说明理由．2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第七章 命题与证明 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D B D A B B C D
1．C
本题考查公理与定理的区分．公理是不需要证明的基本命题，而定理是通过公理推导出的命题，据此可得答案．
解：A、B、D三个选项中的命题都是公理，
C选项中的命题需要证明，即该命题不是公理，
如则，
故选：C．
2．A
此题主要考查了反证法，熟记反证法的步骤是解题关键．
反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，在选项中找出对应的假设即可．
解：反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，
用反证法证明命题“如果在钝角中，那么”时，应先假设．
故选：A．
3．D
本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可．
解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意；
B、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意；
C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意；
D、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，故此选项符合题意；
故选：D．
4．B
本题主要考查平行线的性质，两直线平行同位角相等，垂直的性质，对顶角相等，解题的关键在于准确识别图中熟练掌握平行线的性质，准确识别同位角，利用平行线的性质算出，用补角、余角、对顶角推算出的度数．
如下图
∵
∴
∴
∵直线
∴
∴
故选：B．
5．D
本题主要考查了命题真假判断，结合全等三角形的判定，三角形的边角关系，等腰三角形的性质进行证明，线段垂直平分线的判定是解题的关键．
根据三角形的边角关系对A进行判断；根据全等三角形的判定方法对B进行判断；根据等腰三角形的性质对C进行判断；线段垂直平分线的判定可对D进行判断．
解：A、在一个三角形中，等边对等角，原命题为假命题，故本选项不符合题意；
B、周长相等的两个等腰三角形不一定全等，原命题为假命题，故本选项不符合题意；
C、等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，原命题为假命题，故本选项不符合题意；
D、到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项符合题意；
故选：D
6．A
本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断即可得解，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
解：、∵，
∴，
∴，则添加不能证明，故该选项符合题意；
、∵，
∴，
在和中，
，
∴，故该选项不符合题意；
、在和中，
，
∴，故该选项不符合题意；
、在和中，
，
∴，故该选项不符合题意；
故选：．
7．B
本题考查了平行线的性质、平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．设，，则，，，，过点作，过点作，根据平行线的性质可得，，再根据平行公理推论可得，，根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差可得，由此即可得．
解：设，，则，，
∴，，
如图，过点作，过点作，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
8．B
根据题意，得，，得到，于是得到，再证明，得到，解答即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，深刻理解垂下的意义，得到平行线成为解题的关键性突破口．
解：根据题意，得，，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
9．C
根据平行线的判定方法逐一进行判断即可．
解：①：既不是同位角，也不是内错角，不能判断，故①错误；
②：同位角相等，两直线平行，能判定直线，故②正确；
③：邻补角互补，不能判定直线，故③错误；
④：内错角相等，两直线平行，能判定直线，故④正确；
⑤：同旁内角互补，两直线平行，能判定直线，故⑤正确．
综上，②④⑤正确．
故选：C．
本题考查了平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理．
10．D
本题考查了角平分线的尺规作图、平行线的性质、三角形内角和定理、平角的定义，等腰三角形的性质等知识点．掌握这些是解题的关键．
由题意得：平分，所以，再结合，得，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后用平角的定义直接求解即可．
解：由题意得：平分，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
11．
本题考查了折叠的性质，平行线的性质．
根据折叠的性质和邻补角的定义求得的度数，然后利用平行线的性质求解即可．
解：如图，由折叠的性质知：．
∵，，
∴．
又，
∴．
故答案为：．
12．（答案不唯一）
本题考查举反例，要说明命题是假命题，可取使题设成立，但结论不成立的x的值即可．
解：当时，成立，但不成立，
∴能说明命题“如果，那么”是假命题的x的值可以是．
故答案为：
13．
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，线段和差，由，，则，，证明，所以，然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．①②④
本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理对条件进行逐一判断即可．
解：①∵，∴，符合题意；
②∵，∴，符合题意；
③∵，∴，不能判定，不符合题意；
④∵，∴，符合题意；
所以，可以判定的有①②④，
故答案为：①②④．
15．小亮
本题主要考查了逻辑推理．根据比赛规则和已知条件，小亮在项目A中得3分，且他在两个项目中得分相同，因此他在另一个项目（B或C）中也得3分．通过分析各种可能的情况，计算三人的总分，发现小亮的总分总是最高，因此小亮是冠军．
解：∵小亮在项目A中得3分，且他在两个项目中得分相同，
∴小亮在项目B或项目C中不可能得2分或1分，只能得3分，
∴小亮的总分至少为分，
∵小明在项目B中得2分，且每个项目三人都要排出名次，不存在并列情况，
∴小明的总分至多为分，
∵小颖在项目C中得1分，且每个项目三人都要排出名次，不存在并列情况，
∴小颖的总分至多为分，
∵三人的总分各不相同，
∴小亮的总分总是高于小明和小颖，即小亮是冠军．
故答案为：小亮．
16．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质及最短路径问题，解题的关键是构造辅助线与全等三角形，将转化为，进而利用两点之间线段最短求最小值．
作且，证得；将转化为，当、、共线时和最小为；在中用勾股定理计算．
解：过点作，且，连接、．
∵，
∴，
又∵，，
∴（），
∴．
∴，
由两点之间线段最短，当、、共线时，最小，最小值为．
在中，，，，
∴
故答案为：．
17．见详解
本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；根据全等三角形的性质与判定可进行求解．
解：若选择①③作为条件，②作为结论，则有：
已知：如图，在和中，，．
求证：．
证明：在和中，
，
∴，
∴．
若选择①②作为条件，③作为结论，是一个假命题，无法证明；
若选择②③作为条件，①作为结论，则有：
已知：如图，在和中，，．
求证：．
证明：在和中，
，
∴，
∴．
18．当时，代数式的值分别为；该猜想是正确的，见解析
先将分别代入代数式计算出对应的值，再对代数式进行变形，根据完全平方式的非负性验证猜想．
解：当时，；
当时，；
当时，．
猜想：当为任意实数时，代数式的值为非负数．
验证：该猜想是正确的．
本题通过代入计算和代数式变形，掌握利用完全平方公式变形代数式，根据完全平方式的非负性判断代数式的值的范围是解题的关键．
19．(1)内错角相等；180；同旁内角互补；180
(2)见解析
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由操作可知，从而得出，再由平行线的性质可得，再结合即可得解；
（2）由平行线的性质可得，，再结合即可得解．
（1）解：由操作可知，
∴（内错角相等，两直线平行）
∴，（两直线平行，同旁内角互补）
又，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴．
20．；；角平分线的定义；已知；两直线平行， 内错角相等；等量代换；内错角相等， 两直线平行
本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质，根据角平分线的定义可知，，根据两直线平行，内错角相等，可证，从而可证，再根据内错角相等，两直线平行证明结论成立．
证明：、分别平分和（已 知） ，
，
（角平分线的定义），
（已知），
（两直线平行，内错角相等）．
（等量代换）．
（等式的性质） ．
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行， 内错角相等；等量代换；内错角相等， 两直线平行．
21．见解析
本题考查了直线平行同位角相等，全等的性质和（）综合（或者）等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
先根据平行线的性质得出，再说明，然后用证明．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
又，
∴．
22．(1)，，，，，，，，，
(2)，，，，，，，，，，，，，等
本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得出，，，，，，根据对顶角相等得出，，，；
（2）根据平行线的判定即可得出答案．
（1）解：因为，
所以，，，，，，
根据对顶角相等得出：，，，；
（2）解：直接通过同位角，内错角，同旁内角证明的条件有，，，，，，，；
先通过对顶角相等，再利用同位角，内错角，同旁内角证明的条件有，，，，，
23．①（或③），见解析
本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答的关键．
先根据已知条件，再选择所给条件证明得到，然后利用平行线的判定可得答案．
解：选择①，
理由：
，
在和中
．
如果选择③
在和中，
选择②无法得出．
故答案为：①（或③）．
24．(1)
(2)
(3)，理由见解析
本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系，同角的补角相等，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；
（1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解；
（2）如图2，延长交的延长线于H，根据中点得，证得，求得，证得为线段的垂直平分线，然后即可求解；
（3）延长至点H，使，连接，先证得，得，，再根据平行线的性质证得，再证，然后即可求解；
（1）解：在中，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：如图2，延长交的延长线于H，
，
∵，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为线段的垂直平分线，
∴；
（3）解：；
理由如下：延长至点H，使，连接，如图：
，
∵F是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；(共5张PPT)
北师大版2024八年级上册
第七章 命题与证明 单元测试·培优卷
试卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 定理与证明
2 0.94 反证法证明中的假设
3 0.75 同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行
4 0.74 两直线平行同位角相等；根据平行线的性质求角的度数；垂线的定义理解；对顶角相等
5 0.65 线段垂直平分线的判定；判断命题真假；等边对等角；三线合一
6 0.65 两直线平行内错角相等；添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
7 0.65 根据平行线的性质求角的度数；平行公理推论的应用
8 0.65 两直线平行内错角相等；用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）；在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行
9 0.64 同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行
10 0.4 两直线平行内错角相等；作角平分线(尺规作图)；三角形内角和定理的应用
知识点分布
二、填空题 11 0.85 两直线平行内错角相等；折叠问题
12 0.75 举例说明假（真）命题
13 0.65 两直线平行内错角相等；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；线段的和与差
14 0.65 同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行
15 0.64 逻辑推理与论证
16 0.4 两直线平行内错角相等；全等的性质和SAS综合（SAS）；求最短路径(勾股定理的应用)；两点之间线段最短
知识点分布
三、解答题 17 0.85 判断命题真假；灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
18 0.75 已知字母的值 ，求代数式的值；运用完全平方公式进行运算
19 0.65 两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补；根据平行线判定与性质证明
20 0.65 两直线平行内错角相等；角平分线的有关计算；内错角相等两直线平行
21 0.65 两直线平行同位角相等；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
22 0.65 两直线平行同位角相等；同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行
23 0.64 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）；同位角相等两直线平行
24 0.4 全等三角形综合问题；根据平行线判定与性质证明；线段垂直平分线的性质；确定第三边的取值范围
