广东省清远市2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷
1．（2025高二上·清远期中）直线经过两点，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：设斜率为k，则k=.
故答案为：A.
【分析】根据已知两点的斜率公式代入即可.
2．（2025高二上·清远期中）已知向量，若与垂直，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为与垂直，
所以，
则，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据两向量垂直数量积为0和数量积的坐标表示，从而可得的值，再根据向量坐标运算和向量的模长公式，从而得出的值.
3．（2025高二上·清远期中）圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由题意，圆，
所以，圆心，半径，
又因为圆，
所以圆心，半径，
则两圆圆心距，
所以两圆外切.
故答案为：B.
【分析】根据两圆位置关系判断方法，从而得出圆心距与半径的关系式，进而判断出圆与圆的位置关系.
4．（2025高二上·清远期中）棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ）
A．1 B．－1 C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，
所以．
故答案为：A．
【分析】由结合数量积的定义，从而得出的值．
5．（2025高二上·清远期中）如图，在正方体中，点在线段上，点在线段上，且，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为1，
以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则.
所以，即与所成角的余弦值为.
故答案为：D
【分析】建系，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标.利用向量法求异面直线的夹角余弦即可.
6．（2025高二上·清远期中）“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：当，
则直线分别为和直线满足平行，即充分性成立；
若直线和直线平行，
当时，直线分别为和，不满足条件；
当时，满足，
则，
解得或；
当时，两直线重合，则不满足条件，
所以，即必要性成立，
综上所述，“”是“直线和直线平行”的充要条件.
故答案为：C．
【分析】根据直线平行的等价条件，即两直线的斜率相等，纵截距不等，从而求出的值，再结合充分条件和必要条件的判断方法，从而找出正确的选项．
7．（2025高二上·清远期中）已知直线，若直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：因为直线，
所以，
令，解得，
所以直线过定点，
因为圆的圆心，半径，
又因为，
所以点在圆内，
则圆心到直线的距离（时取等号），
所以（时取等号），
则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】先求出直线所过的定点的坐标，再根据时取得最小值结合圆的弦长公式，从而得出的最小值.
8．（2025高二上·清远期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：方法一：作点关于轴的对称点，
则直线与圆有交点．
又因为，所以直线的方程为，即，
由题意，知圆的圆心为，半径为1，
又因为直线与圆有交点，
所以圆心到直线的距离小于等于1，
则，
解得．
方法二：作点关于轴的对称点，
则直线与圆有交点，
所以临界情况为直线与圆相切．
设切点为，令，
易得，
所以．
因为直线的斜率为，
所以直线的斜率．
易得直线的方程为．所以．
故答案为：A.
【分析】作点关于轴的对称点，利用两种方法求解.
方法一：利用直线与圆的位置关系计算出圆心到反射光线的距离，从而得出实数t的取值范围.
方法二：利用反射光线与圆相切作临近值，再借助两点距离公式、两角和与差的正切公式，从而计算出反射光线的斜率的取值范围，再利用截距的意义计算出t的取值范围.
9．（2025高二上·清远期中）下列说法中，正确的有（ ）
A．直线在y轴上的截距为-2
B．直线的倾斜角为120°
C．直线(m∈R)必过定点(0，-3)
D．点(5，-3)到直线y+2=0的距离为7
【答案】A,C
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式；直线的斜截式方程；恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】A、直线中，当时，，该选项正确，符合题意；
B、直线的斜率，所以倾斜角为，该选项错误，不合题意；
C、直线，当时，，所以直线恒过定点，该选项正确，符合题意；
D、点到直线的距离，该选项错误，不合题意.
故答案为：AC.
【分析】将一般式直线方程，化为斜截式可判断A；利用斜率公式可判断B；利用点斜式方程可求定点，可判断C；代入点到直线的距离可判断D.
10．（2025高二上·清远期中）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
B．若空间中任意一点O，有，则四点共面
C．若空间向量，满足，则与夹角为钝角
D．若空间向量，，则在上的投影向量为
【答案】A,B,D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；共面向量定理；用空间向量研究直线与平面的位置关系；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于A：若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，
易得，所以，则，故A正确；
对于B：在中，
因为，所以四点共面，故B正确；
对于C：当， 反向共线时， 也成立，但与夹角不为钝角，故C错误；
对于D，因为在上的投影向量为，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】根据题意，由方向向量和平面法向量的定义结合向量共线定理，从而得出线面垂直，则判断出选项A；由空间向量基本定理判断出选项B；由向量平行结合数量积求向量夹角公式以及三角函数值在各象限的符号，则判断出选项C；由数量积求投影向量的方法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项．
11．（2025高二上·清远期中）如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ）
A．三棱锥的体积是定值
B．存在点P，使得与所成的角为
C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D．若，则P的轨迹的长度为
【答案】A,C,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
是定值，故A正确；
B、以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，设，则
，使得与所成的角满足：，
因为，故，故，
而，故B错误；
C、平面的法向量，
直线与平面所成角的正弦值为：，
因为，所以
故，
而，，
故即的取值范围为，故C正确；
D、，由，
可得，化简可得，
在平面内，令，得，令，得，
则P的轨迹的长度为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值即可判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解即可判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解即可判断C；由，可得，即可求解判断D.
12．（2025高二上·清远期中）若方程 表示圆，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】方程 表示圆
则
【分析】由已知圆的一般方程，利用，即可求出实数 的取值范围.
13．（2025高二上·清远期中）对于任意实数x，y，z，的最小值为 .
【答案】
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：由题意，结合空间直角坐标系中任意两点间的距离公式，
可得表示的几何意义是空间内任意一点与原点及定点，的距离之和，
显然，当三点共线且在线段上时，最小，
则最小值为.
故答案为：.
【分析】设，记点及，则所求式子的几何意义为，再根据三点共线时距离最短，从而得出的最小值.
14．（2025高二上·清远期中）在平面直角坐标系中，设，若沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，，则的余弦值为 ．
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，过点作于点，
可知，
沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，
则，
所以，
由，
可得，
则，
所以，
可得．
故答案为：.
【分析】在平面直角坐标系中，过点作于点，则折成二面角后，，由，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则以及数量积的定义，从而得出角的余弦值．
15．（2025高二上·清远期中）求下列各圆的方程.
（1）圆心为点，且过点；
（2）过，，三点．
【答案】（1）解：由题意，知半径，
所以圆的方程为：.
（2）解：设圆的一般方程为：.
将，，，
代入得：，
所以圆的方程为：.
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件和两点距离公式求出圆的半径，从而得出圆的标准方程.
（2）设出圆的一般方程，将三点代入解出待定系数，从而得出圆的一般方程.
（1）由题意知半径，
所以圆的方程为：.
（2）设圆的一般方程为：.
将，，代入得：
，
所以圆的方程为：.
16．（2025高二上·清远期中）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
【答案】（1）证明： 如图，连接交于点O，连接，
则点O为的中点，且D是的中点，
则为的中位线，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：取的中点F，
因为在正中，D是的中点，故，
因为三棱柱为正三棱柱，
所以平面ABC，
又因为D是的中点，F是的中点，
所以，
所以平面，所以，，
以D为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，．
故，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，即．
设直线与平面所成角为，
可得，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）证明线线平行需利用中位线，再证明线面平行即可；
（2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用线面角的向量法求解即可.
（1）如图，连接交于点O，连接，
则点O为的中点，且D是的中点，
则为的中位线，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）取的中点F，
因为在正中，D是的中点，故，
因为三棱柱为正三棱柱，
所以平面ABC，
又因为D是的中点，F是的中点，
所以，
所以平面，所以，，
以D为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，．
故，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，即．
设直线与平面所成角为，
可得，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17．（2025高二上·清远期中）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，.
（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.
（2）求四边形ABCD的面积.
（3）求边AB上的高所在直线方程.
【答案】（1）解：的顶点，，，则对角线AC中点为，
于是得对角线BD的中点是，设，因此有，，解得：，
所以平行四边形ABCD的顶点.
（2）解：因，，即有直线BC斜率，直线BC的方程：，即，
因此，点A到直线BC的距离为，而，
从而得，
所以四边形ABCD的面积为.
（3）解：依题意，直线AB的斜率，则边AB上的高所在直线的斜率为，
于是有：，即.
所以边AB上的高所在直线的方程为.
【知识点】平面内中点坐标公式；平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】(1)利用中点坐标公式结合平行四边形的性质计算可得 .
(2)求出用斜率公式求出斜率，用点斜式求出直线BC的方程；再利用点到直线距离公式求出顶点A到直线BC的距离及线段BC的长即可计算得解.
(3)求出直线AB的斜率利用斜率乘积为-1即可求得边AB上的高所在直线方程.
（1）的顶点，，，则对角线AC中点为，
于是得对角线BD的中点是，设，因此有，，解得：，
所以平行四边形ABCD的顶点.
（2）因，，即有直线BC斜率，直线BC的方程：，即，
因此，点A到直线BC的距离为，而，
从而得，
所以四边形ABCD的面积为.
（3）依题意，直线AB的斜率，则边AB上的高所在直线的斜率为，
于是有：，即.
所以边AB上的高所在直线的方程为.
18．（2025高二上·清远期中）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在平面ABC上的投影为AC的中点D，且．
（1）求点C到侧面的距离；
（2）在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：因为点在底面ABC上的投影为AC的中点，所以平面ABC，
又平面ABC，故，，
因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，点为AC的中点，故，
所以，，两两垂直，故以点为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
.
因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，，所以，，
因为侧面为菱形，所以，
又，所以，
则，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，故，
所以点到平面的距离为.
（2）解：假设存在满足条件的点E，
则存在，使得，
则，
因为直线DE与侧面所成角的正弦值为，
所以，
即，解得，
又，故，
因此存在满足条件的点，且，即．
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）先由题意证得，，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，再求出与平面的一个法向量，利用点到平面的距离公式即可得解；
（2）先利用空间向量的线性运算求得关于的表达式：假设存在满足条件的点E，且，从而得到坐标，再代入空间向量线面夹角公式得到关于的方程，联立可求得，由此即可求出的长.
（1）因为点在底面ABC上的投影为AC的中点，所以平面ABC，
又平面ABC，故，，
因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，点为AC的中点，故，
所以，，两两垂直，故以点为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
.
因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，，所以，，
因为侧面为菱形，所以，
又，所以，
则，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，故，
所以点到平面的距离为.
（2）假设存在满足条件的点E，
则存在，使得，
则，
因为直线DE与侧面所成角的正弦值为，
所以，
即，解得，
又，故，
因此存在满足条件的点，且，即．
19．（2025高二上·清远期中）已知定点，，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线与，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）解：设动点的坐标为，
因为，，且，
所以，
整理得，即：，
所以动点的轨迹的方程为，
（2）解：当直线与轴重合时，，，，
当直线不与轴重合，设直线的方程为，
则直线的方程为，
设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，，圆的半径为，
则，，，
所以，
，
所以，
当时，，
当时，，
当且仅当时等号成立，
综上所述，四边形面积的最大值为7.
【知识点】圆的一般方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）设动点坐标为，代两点间距离公式化简即可求得其轨迹方程；
（2）需先讨论直线斜率是否存在，先求出其中一条直线斜率不存在时，四边形的面积；再设出两条直线的方程，用点线距公式得圆心到两直线的距离，由垂径定理求得两条弦长，然后得到四边形面积的表达式.要求这个复合函数的最值，需先讨论当时的面积，再当时利用基本不等式求出其最大值.然后得出四边形的最大值.
（1）设动点的坐标为，
因为，，且，
所以，
整理得，即：，
所以动点的轨迹的方程为，
（2）当直线与轴重合时，，，，
当直线不与轴重合，设直线的方程为，
则直线的方程为，
设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，，圆的半径为，
则，，，
所以，
，
所以，
当时，，
当时，，
当且仅当时等号成立，
综上所述，四边形面积的最大值为7.
1 / 1广东省清远市2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷
1．（2025高二上·清远期中）直线经过两点，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·清远期中）已知向量，若与垂直，则（ ）.
A． B． C． D．
3．（2025高二上·清远期中）圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
4．（2025高二上·清远期中）棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ）
A．1 B．－1 C． D．
5．（2025高二上·清远期中）如图，在正方体中，点在线段上，点在线段上，且，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·清远期中）“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2025高二上·清远期中）已知直线，若直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
8．（2025高二上·清远期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·清远期中）下列说法中，正确的有（ ）
A．直线在y轴上的截距为-2
B．直线的倾斜角为120°
C．直线(m∈R)必过定点(0，-3)
D．点(5，-3)到直线y+2=0的距离为7
10．（2025高二上·清远期中）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
B．若空间中任意一点O，有，则四点共面
C．若空间向量，满足，则与夹角为钝角
D．若空间向量，，则在上的投影向量为
11．（2025高二上·清远期中）如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ）
A．三棱锥的体积是定值
B．存在点P，使得与所成的角为
C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D．若，则P的轨迹的长度为
12．（2025高二上·清远期中）若方程 表示圆，则实数 的取值范围为 ．
13．（2025高二上·清远期中）对于任意实数x，y，z，的最小值为 .
14．（2025高二上·清远期中）在平面直角坐标系中，设，若沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，，则的余弦值为 ．
15．（2025高二上·清远期中）求下列各圆的方程.
（1）圆心为点，且过点；
（2）过，，三点．
16．（2025高二上·清远期中）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
17．（2025高二上·清远期中）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，.
（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.
（2）求四边形ABCD的面积.
（3）求边AB上的高所在直线方程.
18．（2025高二上·清远期中）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在平面ABC上的投影为AC的中点D，且．
（1）求点C到侧面的距离；
（2）在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
19．（2025高二上·清远期中）已知定点，，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线与，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，求四边形面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：设斜率为k，则k=.
故答案为：A.
【分析】根据已知两点的斜率公式代入即可.
2．【答案】D
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为与垂直，
所以，
则，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据两向量垂直数量积为0和数量积的坐标表示，从而可得的值，再根据向量坐标运算和向量的模长公式，从而得出的值.
3．【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由题意，圆，
所以，圆心，半径，
又因为圆，
所以圆心，半径，
则两圆圆心距，
所以两圆外切.
故答案为：B.
【分析】根据两圆位置关系判断方法，从而得出圆心距与半径的关系式，进而判断出圆与圆的位置关系.
4．【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，
所以．
故答案为：A．
【分析】由结合数量积的定义，从而得出的值．
5．【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为1，
以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则.
所以，即与所成角的余弦值为.
故答案为：D
【分析】建系，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标.利用向量法求异面直线的夹角余弦即可.
6．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：当，
则直线分别为和直线满足平行，即充分性成立；
若直线和直线平行，
当时，直线分别为和，不满足条件；
当时，满足，
则，
解得或；
当时，两直线重合，则不满足条件，
所以，即必要性成立，
综上所述，“”是“直线和直线平行”的充要条件.
故答案为：C．
【分析】根据直线平行的等价条件，即两直线的斜率相等，纵截距不等，从而求出的值，再结合充分条件和必要条件的判断方法，从而找出正确的选项．
7．【答案】C
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：因为直线，
所以，
令，解得，
所以直线过定点，
因为圆的圆心，半径，
又因为，
所以点在圆内，
则圆心到直线的距离（时取等号），
所以（时取等号），
则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】先求出直线所过的定点的坐标，再根据时取得最小值结合圆的弦长公式，从而得出的最小值.
8．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：方法一：作点关于轴的对称点，
则直线与圆有交点．
又因为，所以直线的方程为，即，
由题意，知圆的圆心为，半径为1，
又因为直线与圆有交点，
所以圆心到直线的距离小于等于1，
则，
解得．
方法二：作点关于轴的对称点，
则直线与圆有交点，
所以临界情况为直线与圆相切．
设切点为，令，
易得，
所以．
因为直线的斜率为，
所以直线的斜率．
易得直线的方程为．所以．
故答案为：A.
【分析】作点关于轴的对称点，利用两种方法求解.
方法一：利用直线与圆的位置关系计算出圆心到反射光线的距离，从而得出实数t的取值范围.
方法二：利用反射光线与圆相切作临近值，再借助两点距离公式、两角和与差的正切公式，从而计算出反射光线的斜率的取值范围，再利用截距的意义计算出t的取值范围.
9．【答案】A,C
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式；直线的斜截式方程；恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】A、直线中，当时，，该选项正确，符合题意；
B、直线的斜率，所以倾斜角为，该选项错误，不合题意；
C、直线，当时，，所以直线恒过定点，该选项正确，符合题意；
D、点到直线的距离，该选项错误，不合题意.
故答案为：AC.
【分析】将一般式直线方程，化为斜截式可判断A；利用斜率公式可判断B；利用点斜式方程可求定点，可判断C；代入点到直线的距离可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；共面向量定理；用空间向量研究直线与平面的位置关系；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于A：若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，
易得，所以，则，故A正确；
对于B：在中，
因为，所以四点共面，故B正确；
对于C：当， 反向共线时， 也成立，但与夹角不为钝角，故C错误；
对于D，因为在上的投影向量为，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】根据题意，由方向向量和平面法向量的定义结合向量共线定理，从而得出线面垂直，则判断出选项A；由空间向量基本定理判断出选项B；由向量平行结合数量积求向量夹角公式以及三角函数值在各象限的符号，则判断出选项C；由数量积求投影向量的方法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项．
11．【答案】A,C,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
是定值，故A正确；
B、以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，设，则
，使得与所成的角满足：，
因为，故，故，
而，故B错误；
C、平面的法向量，
直线与平面所成角的正弦值为：，
因为，所以
故，
而，，
故即的取值范围为，故C正确；
D、，由，
可得，化简可得，
在平面内，令，得，令，得，
则P的轨迹的长度为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值即可判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解即可判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解即可判断C；由，可得，即可求解判断D.
12．【答案】
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】方程 表示圆
则
【分析】由已知圆的一般方程，利用，即可求出实数 的取值范围.
13．【答案】
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：由题意，结合空间直角坐标系中任意两点间的距离公式，
可得表示的几何意义是空间内任意一点与原点及定点，的距离之和，
显然，当三点共线且在线段上时，最小，
则最小值为.
故答案为：.
【分析】设，记点及，则所求式子的几何意义为，再根据三点共线时距离最短，从而得出的最小值.
14．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，过点作于点，
可知，
沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，
则，
所以，
由，
可得，
则，
所以，
可得．
故答案为：.
【分析】在平面直角坐标系中，过点作于点，则折成二面角后，，由，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则以及数量积的定义，从而得出角的余弦值．
15．【答案】（1）解：由题意，知半径，
所以圆的方程为：.
（2）解：设圆的一般方程为：.
将，，，
代入得：，
所以圆的方程为：.
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件和两点距离公式求出圆的半径，从而得出圆的标准方程.
（2）设出圆的一般方程，将三点代入解出待定系数，从而得出圆的一般方程.
（1）由题意知半径，
所以圆的方程为：.
（2）设圆的一般方程为：.
将，，代入得：
，
所以圆的方程为：.
16．【答案】（1）证明： 如图，连接交于点O，连接，
则点O为的中点，且D是的中点，
则为的中位线，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：取的中点F，
因为在正中，D是的中点，故，
因为三棱柱为正三棱柱，
所以平面ABC，
又因为D是的中点，F是的中点，
所以，
所以平面，所以，，
以D为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，．
故，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，即．
设直线与平面所成角为，
可得，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）证明线线平行需利用中位线，再证明线面平行即可；
（2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用线面角的向量法求解即可.
（1）如图，连接交于点O，连接，
则点O为的中点，且D是的中点，
则为的中位线，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）取的中点F，
因为在正中，D是的中点，故，
因为三棱柱为正三棱柱，
所以平面ABC，
又因为D是的中点，F是的中点，
所以，
所以平面，所以，，
以D为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，．
故，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，即．
设直线与平面所成角为，
可得，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17．【答案】（1）解：的顶点，，，则对角线AC中点为，
于是得对角线BD的中点是，设，因此有，，解得：，
所以平行四边形ABCD的顶点.
（2）解：因，，即有直线BC斜率，直线BC的方程：，即，
因此，点A到直线BC的距离为，而，
从而得，
所以四边形ABCD的面积为.
（3）解：依题意，直线AB的斜率，则边AB上的高所在直线的斜率为，
于是有：，即.
所以边AB上的高所在直线的方程为.
【知识点】平面内中点坐标公式；平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】(1)利用中点坐标公式结合平行四边形的性质计算可得 .
(2)求出用斜率公式求出斜率，用点斜式求出直线BC的方程；再利用点到直线距离公式求出顶点A到直线BC的距离及线段BC的长即可计算得解.
(3)求出直线AB的斜率利用斜率乘积为-1即可求得边AB上的高所在直线方程.
（1）的顶点，，，则对角线AC中点为，
于是得对角线BD的中点是，设，因此有，，解得：，
所以平行四边形ABCD的顶点.
（2）因，，即有直线BC斜率，直线BC的方程：，即，
因此，点A到直线BC的距离为，而，
从而得，
所以四边形ABCD的面积为.
（3）依题意，直线AB的斜率，则边AB上的高所在直线的斜率为，
于是有：，即.
所以边AB上的高所在直线的方程为.
18．【答案】（1）解：因为点在底面ABC上的投影为AC的中点，所以平面ABC，
又平面ABC，故，，
因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，点为AC的中点，故，
所以，，两两垂直，故以点为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
.
因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，，所以，，
因为侧面为菱形，所以，
又，所以，
则，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，故，
所以点到平面的距离为.
（2）解：假设存在满足条件的点E，
则存在，使得，
则，
因为直线DE与侧面所成角的正弦值为，
所以，
即，解得，
又，故，
因此存在满足条件的点，且，即．
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）先由题意证得，，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，再求出与平面的一个法向量，利用点到平面的距离公式即可得解；
（2）先利用空间向量的线性运算求得关于的表达式：假设存在满足条件的点E，且，从而得到坐标，再代入空间向量线面夹角公式得到关于的方程，联立可求得，由此即可求出的长.
（1）因为点在底面ABC上的投影为AC的中点，所以平面ABC，
又平面ABC，故，，
因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，点为AC的中点，故，
所以，，两两垂直，故以点为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
.
因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，，所以，，
因为侧面为菱形，所以，
又，所以，
则，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，故，
所以点到平面的距离为.
（2）假设存在满足条件的点E，
则存在，使得，
则，
因为直线DE与侧面所成角的正弦值为，
所以，
即，解得，
又，故，
因此存在满足条件的点，且，即．
19．【答案】（1）解：设动点的坐标为，
因为，，且，
所以，
整理得，即：，
所以动点的轨迹的方程为，
（2）解：当直线与轴重合时，，，，
当直线不与轴重合，设直线的方程为，
则直线的方程为，
设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，，圆的半径为，
则，，，
所以，
，
所以，
当时，，
当时，，
当且仅当时等号成立，
综上所述，四边形面积的最大值为7.
【知识点】圆的一般方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）设动点坐标为，代两点间距离公式化简即可求得其轨迹方程；
（2）需先讨论直线斜率是否存在，先求出其中一条直线斜率不存在时，四边形的面积；再设出两条直线的方程，用点线距公式得圆心到两直线的距离，由垂径定理求得两条弦长，然后得到四边形面积的表达式.要求这个复合函数的最值，需先讨论当时的面积，再当时利用基本不等式求出其最大值.然后得出四边形的最大值.
（1）设动点的坐标为，
因为，，且，
所以，
整理得，即：，
所以动点的轨迹的方程为，
（2）当直线与轴重合时，，，，
当直线不与轴重合，设直线的方程为，
则直线的方程为，
设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，，圆的半径为，
则，，，
所以，
，
所以，
当时，，
当时，，
当且仅当时等号成立，
综上所述，四边形面积的最大值为7.
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