5.9 弧长及扇形的面积 同步训练（含解析）2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 5.9 弧长及扇形的面积 同步训练（含解析）2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 586.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-23 14:58:23 | ||
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文档简介
5.9 弧长及扇形的面积
知识梳理
关键概念：
弧长：圆上两点间的曲线段长度，取决于圆心角大小和圆的半径；
扇形：由圆心角（）和两条半径（）围成的圆的一部分；
圆环：两个同心圆所夹的区域，大圆半径为，小圆半径为（）。
核心公式：
弧长公式：（为圆心角的度数，为圆的半径）；
扇形面积公式：
直接用圆心角和半径：扇形；
用弧长和半径：扇形（为扇形对应的弧长）；
圆环面积公式：圆环。
公式关联与推导：
扇形面积与圆面积的关系：扇形面积是所在圆面积的（因圆心角占周角的）；
弧长与扇形面积的关联：由弧长公式变形得，代入扇形面积公式，可推导得。
同步训练
一、单选题
1．一个扇形的圆心角为，半径为3，则这个扇形的面积是（ ）
A． B． C． π D．π
2．如图，的半径为4，直径，互相垂直，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，某小区拟修建一个自行车棚，从侧面看，棚顶的支撑杆可看成．已知所在圆为，且，．则一根支撑杆的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将圆形纸片沿弦折叠使经过圆心，过点作直径于点，，连接，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．“太湖之星”摩天轮是世界第二大水上摩天轮，其示意图如图所示，该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心到的距离为，摩天轮迅速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，则此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（）
A． B． C． D．
6．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于，两点，若，则两圆之间的圆环的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D、E分别在、上，点C在上．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接，分别交于点，则图中阴影部分的面积是 ．
9．如图，已知，的弧长之差为，，若，则阴影部分的周长为 ．
10．将任意半径为的圆按如图所示的方式折叠得到一个月牙形，若折痕到圆心的距离，则月牙形与原圆面积之比为 ．
11．如图，点A、B、C均在上，直径，，则图中阴影部分的面积为 ．
12．如图，线段，，，的半径为1，当从点A沿着滚动到D点时圆心O经过的路径长是 ．
三、解答题
13．如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，求此扇形的面积是多少？
14．如图，是内接三角形，是的直径，，，求弦所对的弧长．
15．如图，中，，与相切于点，与交于点，与的延长线交于点，连接，已知．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为，求图中阴影部分的面积(结果保留)．
16．综合与探究
如图，四边形为的内接四边形，连接，，为等边三角形，，．
(1)求证：．
(2)①尺规作图：过点作，交的延长线于点．
②求证：．
(3)求的长．
参考答案
1．A
【分析】本题考查了扇形的面积公式．
根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：一个扇形的圆心角为，半径是，
这个扇形的面积是．
故选：A．
2．B
【分析】本题考查弧长的计算，先利用直径、互相垂直，得出，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：∵直径、互相垂直，
∴，
∴的长为，
故选：B．
3．C
【分析】本题主要考查了弧长公式的应用，掌握弧长公式（其中n为圆心角的度数，r为圆的半径）是解题的关键．
直接运用弧长公式求得的长度即可．
【详解】解：∵，，
∴，即一根支撑杆的长度为．
故选C．
4．D
【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理，弧长公式，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图是关键．
如图所示，连接，根据折叠，垂径定理，勾股定理，可证是等边三角形，，则，结合弧长公式即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∴，
由折叠可得，则，
∵，
∴，，
在中，设，则，，
∴，
解得，（负值舍去），
∴，
∴是等边三角形，
∴，则，
∴的长为，
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可．
【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为，
∴摩天轮的半径为，
∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B，
∴，
∴该轿厢所经过的路径长度为：．
故选：C．
6．D
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，连接，过点O作，得出 ，进而求出结论．
【详解】解：连接，过点O作，
，
，即，
，
由圆环的面积公式可得：
，
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了扇形面积与菱形面积的计算，解题的关键是利用菱形性质确定角度，结合三角函数求高，通过“阴影面积扇形面积菱形面积”计算．
连接，由菱形性质得；过作，用含角的直角边等于斜边的一半求；计算扇形与菱形的面积，作差得阴影面积．
【详解】解：连接，过作于．
∵ 四边形是菱形，，
∴ ，，
又，
∴ ，
由得，则，
∴，，
即,解得，即，
∴菱形的面积．
扇形的面积，
∴ 阴影面积，
故选：C．
8．
【分析】本题考查了内切圆的性质，三角形的内角和定理，扇形面积；根据题意先求得，再根据扇形面积公式，即可求解．
【详解】解：∵是的内切圆，
∴平分
∴
∵
∴
∴
∴图中阴影部分的面积是
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了弧长公式，解题的关键是理解题意，掌握弧长公式．
由弧长公式可得，进而得到，再由弧长公式进一步计算阴影部分的周长即可．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∴．
∵，
∴的弧长，
∴的弧长，
∴阴影部分的周长的弧长的弧长，
故答案为：．
10．
【分析】记圆心为，弦为，作于点，连接，，利用勾股定理推出，进而利用垂径定理得到，再根据解直角三角形，推出，最后结合扇形面积公式，对称的性质求解，即可解题．
【详解】解：记圆心为，弦为，作于点，连接，，如图所示：
，
由题意知，，，
，
，
，
，
同理可得，
，
弓形面积为：，
结合折叠性质可知，月牙形面积为，
则月牙形与原圆面积之比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，扇形面积公式，折叠的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
11．/
【分析】本题考查了圆周角定理和扇形面积公式；解题的关键是利用圆周角定理将已知的圆周角转换为圆心角，再代入扇形面积公式计算；先根据为公共弧，得，再根据扇形面积公式进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵ 为公共弧，直径，，
∴，半径，
∴
故答案为．
12．
【分析】根据题意，得出圆心O的运动规律，再结合弧长公式，分别求了各部分的长，再相加即可．
【详解】解：如图所示，图中的圆与、、都相切，连接结相关线段，图中的圆都是等圆，
∴
，
，
∴，，是等边三角形，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
四边形是矩形，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴的长为
∵，
∴，
∵、是的切线，
∴，
在与中，
∴，
∴，，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴（负值已舍去），
∴，
∴，
，
∴，
∴圆心O经过的路径长是：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了含度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，根据矩形的性质与判定求线段长，切线的性质定理，应用切线长定理求解，求某点的弧形运动路径长度等知识点，解题关键是熟知弧长的计算公式．
13．
【分析】本题考查的是圆周角定理，扇形的面积的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
如图，连接，证明为圆的直径，再利用勾股定理求解，再利用扇形面积公式计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
，
为圆的直径，，
，
，
．
14．弦所对的劣弧的长为，弦所对的优弧的长为
【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理；连接，可证明，由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，则，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴弦所对的劣弧的长为，弦所对的优弧的长为．
15．(1)相切，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质和判定，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键．
（1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可；
（2）根据全等的性质可得， 结合等腰三角形和直角三角形的性质可求出，， 利用勾股定理和含直角三角形的性质可求得的长，最后根据进行计算即可．
【详解】（1）证明：是的切线，理由如下：
如图所示，连接，
与相切于点，
，
在和中，
，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
， ，
，
．
16．(1)证明见解析
(2)①作图见解析②证明见解析
(3)
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、尺规作图、勾股定理、垂径定理；解题的关键是利用等边三角形和圆内接四边形的性质推导角度关系，通过角度相等证明三角形全等，进而找到边的关系．
（1）利用等边三角形性质得弧相等，再根据圆周角定理证明角相等；
（2）①尺规作图过点作平行线，利用全等三角形对应角相等，以及内错角相等，两直线平行的原理进行作图；②先通过平行线和圆内接四边形性质推导角度，证明，从而得边相等；
（3）根据（2）得出的全等，证明为等边三角形，求出长度，过点作于，利用和，以及勾股定理，求出的长度，过点作于，利用垂径定理求出半径长度，再用弧长公式计算即可．
【详解】（1）∵为等边三角形
∴
∴
∴
（2）①解：尺规作图如下：
步骤一：以点为圆心，任意长为半径作圆弧，交直线于点，交线段（或射线）于点；
步骤二：以点为圆心，以相同的长为半径作圆弧，交射线于点（使得，即点在射线上且等于步骤二中的半径）；
步骤三：以点为圆心，以线段的长为半径作圆弧，交步骤三中所作的圆弧于点（取与点位于直线相反侧的交点）；
步骤四：过点和点作直线，则直线即为所求的过点且平行于的直线，交的延长线于点．
原理：由作图可知，，故，内错角相等，所以 ．
②证明：∵为等边三角形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
即
∵四边形为的内接四边形
∴
∵在和中
∴
∴
（3）解：
由（2）得
∴，
∵
∴为等边三角形
∴
如图，过点作于，过点作于
∵，则
∴
∵在中，
∴
又∵
∴在中，
∴
∴
∵
∴
∴
∵在中，设，则
∴
整理得
或（舍）
∴
∴
知识梳理
关键概念：
弧长：圆上两点间的曲线段长度，取决于圆心角大小和圆的半径；
扇形：由圆心角（）和两条半径（）围成的圆的一部分；
圆环：两个同心圆所夹的区域，大圆半径为，小圆半径为（）。
核心公式：
弧长公式：（为圆心角的度数，为圆的半径）；
扇形面积公式：
直接用圆心角和半径：扇形；
用弧长和半径：扇形（为扇形对应的弧长）；
圆环面积公式：圆环。
公式关联与推导：
扇形面积与圆面积的关系：扇形面积是所在圆面积的（因圆心角占周角的）；
弧长与扇形面积的关联：由弧长公式变形得，代入扇形面积公式，可推导得。
同步训练
一、单选题
1．一个扇形的圆心角为，半径为3，则这个扇形的面积是（ ）
A． B． C． π D．π
2．如图，的半径为4，直径，互相垂直，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，某小区拟修建一个自行车棚，从侧面看，棚顶的支撑杆可看成．已知所在圆为，且，．则一根支撑杆的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将圆形纸片沿弦折叠使经过圆心，过点作直径于点，，连接，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．“太湖之星”摩天轮是世界第二大水上摩天轮，其示意图如图所示，该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心到的距离为，摩天轮迅速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，则此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（）
A． B． C． D．
6．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于，两点，若，则两圆之间的圆环的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D、E分别在、上，点C在上．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接，分别交于点，则图中阴影部分的面积是 ．
9．如图，已知，的弧长之差为，，若，则阴影部分的周长为 ．
10．将任意半径为的圆按如图所示的方式折叠得到一个月牙形，若折痕到圆心的距离，则月牙形与原圆面积之比为 ．
11．如图，点A、B、C均在上，直径，，则图中阴影部分的面积为 ．
12．如图，线段，，，的半径为1，当从点A沿着滚动到D点时圆心O经过的路径长是 ．
三、解答题
13．如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，求此扇形的面积是多少？
14．如图，是内接三角形，是的直径，，，求弦所对的弧长．
15．如图，中，，与相切于点，与交于点，与的延长线交于点，连接，已知．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为，求图中阴影部分的面积(结果保留)．
16．综合与探究
如图，四边形为的内接四边形，连接，，为等边三角形，，．
(1)求证：．
(2)①尺规作图：过点作，交的延长线于点．
②求证：．
(3)求的长．
参考答案
1．A
【分析】本题考查了扇形的面积公式．
根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：一个扇形的圆心角为，半径是，
这个扇形的面积是．
故选：A．
2．B
【分析】本题考查弧长的计算，先利用直径、互相垂直，得出，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：∵直径、互相垂直，
∴，
∴的长为，
故选：B．
3．C
【分析】本题主要考查了弧长公式的应用，掌握弧长公式（其中n为圆心角的度数，r为圆的半径）是解题的关键．
直接运用弧长公式求得的长度即可．
【详解】解：∵，，
∴，即一根支撑杆的长度为．
故选C．
4．D
【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理，弧长公式，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图是关键．
如图所示，连接，根据折叠，垂径定理，勾股定理，可证是等边三角形，，则，结合弧长公式即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∴，
由折叠可得，则，
∵，
∴，，
在中，设，则，，
∴，
解得，（负值舍去），
∴，
∴是等边三角形，
∴，则，
∴的长为，
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可．
【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为，
∴摩天轮的半径为，
∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B，
∴，
∴该轿厢所经过的路径长度为：．
故选：C．
6．D
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，连接，过点O作，得出 ，进而求出结论．
【详解】解：连接，过点O作，
，
，即，
，
由圆环的面积公式可得：
，
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了扇形面积与菱形面积的计算，解题的关键是利用菱形性质确定角度，结合三角函数求高，通过“阴影面积扇形面积菱形面积”计算．
连接，由菱形性质得；过作，用含角的直角边等于斜边的一半求；计算扇形与菱形的面积，作差得阴影面积．
【详解】解：连接，过作于．
∵ 四边形是菱形，，
∴ ，，
又，
∴ ，
由得，则，
∴，，
即,解得，即，
∴菱形的面积．
扇形的面积，
∴ 阴影面积，
故选：C．
8．
【分析】本题考查了内切圆的性质，三角形的内角和定理，扇形面积；根据题意先求得，再根据扇形面积公式，即可求解．
【详解】解：∵是的内切圆，
∴平分
∴
∵
∴
∴
∴图中阴影部分的面积是
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了弧长公式，解题的关键是理解题意，掌握弧长公式．
由弧长公式可得，进而得到，再由弧长公式进一步计算阴影部分的周长即可．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∴．
∵，
∴的弧长，
∴的弧长，
∴阴影部分的周长的弧长的弧长，
故答案为：．
10．
【分析】记圆心为，弦为，作于点，连接，，利用勾股定理推出，进而利用垂径定理得到，再根据解直角三角形，推出，最后结合扇形面积公式，对称的性质求解，即可解题．
【详解】解：记圆心为，弦为，作于点，连接，，如图所示：
，
由题意知，，，
，
，
，
，
同理可得，
，
弓形面积为：，
结合折叠性质可知，月牙形面积为，
则月牙形与原圆面积之比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，扇形面积公式，折叠的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
11．/
【分析】本题考查了圆周角定理和扇形面积公式；解题的关键是利用圆周角定理将已知的圆周角转换为圆心角，再代入扇形面积公式计算；先根据为公共弧，得，再根据扇形面积公式进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵ 为公共弧，直径，，
∴，半径，
∴
故答案为．
12．
【分析】根据题意，得出圆心O的运动规律，再结合弧长公式，分别求了各部分的长，再相加即可．
【详解】解：如图所示，图中的圆与、、都相切，连接结相关线段，图中的圆都是等圆，
∴
，
，
∴，，是等边三角形，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
四边形是矩形，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴的长为
∵，
∴，
∵、是的切线，
∴，
在与中，
∴，
∴，，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴（负值已舍去），
∴，
∴，
，
∴，
∴圆心O经过的路径长是：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了含度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，根据矩形的性质与判定求线段长，切线的性质定理，应用切线长定理求解，求某点的弧形运动路径长度等知识点，解题关键是熟知弧长的计算公式．
13．
【分析】本题考查的是圆周角定理，扇形的面积的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
如图，连接，证明为圆的直径，再利用勾股定理求解，再利用扇形面积公式计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
，
为圆的直径，，
，
，
．
14．弦所对的劣弧的长为，弦所对的优弧的长为
【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理；连接，可证明，由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，则，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴弦所对的劣弧的长为，弦所对的优弧的长为．
15．(1)相切，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质和判定，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键．
（1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可；
（2）根据全等的性质可得， 结合等腰三角形和直角三角形的性质可求出，， 利用勾股定理和含直角三角形的性质可求得的长，最后根据进行计算即可．
【详解】（1）证明：是的切线，理由如下：
如图所示，连接，
与相切于点，
，
在和中，
，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
， ，
，
．
16．(1)证明见解析
(2)①作图见解析②证明见解析
(3)
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、尺规作图、勾股定理、垂径定理；解题的关键是利用等边三角形和圆内接四边形的性质推导角度关系，通过角度相等证明三角形全等，进而找到边的关系．
（1）利用等边三角形性质得弧相等，再根据圆周角定理证明角相等；
（2）①尺规作图过点作平行线，利用全等三角形对应角相等，以及内错角相等，两直线平行的原理进行作图；②先通过平行线和圆内接四边形性质推导角度，证明，从而得边相等；
（3）根据（2）得出的全等，证明为等边三角形，求出长度，过点作于，利用和，以及勾股定理，求出的长度，过点作于，利用垂径定理求出半径长度，再用弧长公式计算即可．
【详解】（1）∵为等边三角形
∴
∴
∴
（2）①解：尺规作图如下：
步骤一：以点为圆心，任意长为半径作圆弧，交直线于点，交线段（或射线）于点；
步骤二：以点为圆心，以相同的长为半径作圆弧，交射线于点（使得，即点在射线上且等于步骤二中的半径）；
步骤三：以点为圆心，以线段的长为半径作圆弧，交步骤三中所作的圆弧于点（取与点位于直线相反侧的交点）；
步骤四：过点和点作直线，则直线即为所求的过点且平行于的直线，交的延长线于点．
原理：由作图可知，，故，内错角相等，所以 ．
②证明：∵为等边三角形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
即
∵四边形为的内接四边形
∴
∵在和中
∴
∴
（3）解：
由（2）得
∴，
∵
∴为等边三角形
∴
如图，过点作于，过点作于
∵，则
∴
∵在中，
∴
又∵
∴在中，
∴
∴
∵
∴
∴
∵在中，设，则
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整理得
或（舍）
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