5.10 圆锥的侧面积 同步训练（含答案）2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

5.10 圆锥的侧面积
知识梳理
关键概念：
母线（l）：圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段长度；
底面半径（r）：圆锥底面圆的半径；
高（h）：圆锥顶点到底面圆心的距离，三者满足勾股定理：l = r + h 。
侧面展开图性质：
圆锥侧面展开是一个扇形，扇形的半径 = 圆锥母线（l）；
扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长（2πr）。
核心公式：
侧面积（S侧）：S侧 = πrl（推导：扇形面积 = 1/2×弧长×半径 = 1/2×2πr×l）；
全面积（S全）：S全 = 侧面积 + 底面圆面积 = πrl + πr 。
扇形与圆锥的关联：
若扇形圆心角为n°，半径为l（即圆锥母线），则扇形弧长 = nπl/180；
由弧长 = 底面周长，可得nπl/180 = 2πr，可用于互求n、l、r。
同步训练
一、单选题
1．已知圆锥的母线长为5，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于（ ）
A． B． C． D．
2．圆锥体的底面半径为2，全面积为，则其侧面展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆锥的侧面展开图的弧长为，圆心角为，则此圆锥的母线长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．小军用下图的方法测量一个圆锥的高，量出长度是厘米，圆锥实际的高（ ）．
A．小于厘米 B．大于厘米 C．等于厘米 D．不能确定
5．小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图及相关数据（单位：）如图所示，则所需铁皮的面积（接缝面积忽略不计）为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径R是5，则该圆锥的底面圆半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．用如图1的半径为的扇形纸板做成图2的圆锥形帽子（忽略接缝），已知帽子的底面周长为，则扇形纸板的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．圆锥的底面半径，高，则圆锥的侧面积是 ．
9．如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 m．
10．如图，用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 ．
11．如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是 ．
三、解答题
12．已知一个扇形的圆心角是，半径是．
(1)求这个扇形的面积：
(2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高h是多少
13．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．
(1)计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留）
(2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数．
14．图中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图１），制作这种外包装需要用如图２所示的等腰三角形材料，其中，，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合，圆锥底面圆的直径为．
(1)求图1中圆锥的母线的长．
(2)求加工材料剩余部分（图2中阴影部分）的面积．（结果保留π）
15．如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点．
(1)求证：与相切；
(2)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？
参考答案
1．C
【分析】根据题意，圆锥的侧面积等于母线长乘以底面圆的半径后乘以即可．
本题主要考查了圆锥的侧面积的计算公式．
【详解】解：根据题意，圆锥的侧面积等于母线长乘以底面圆的半径后乘以，
故，
故选：C.
2．D
【分析】本题主要考查了圆锥体侧面展开图的圆心角，先根据圆锥全面积公式求出母线长，再根据侧面展开图的弧长等于底面周长，建立方程求解圆心角．
【详解】解：∵圆锥全面积，其中，，
∴
即
∴
∴
设侧面展开图的圆心角为，则弧长
∵弧长等于底面周长
∴
∴
故侧面展开图的圆心角为，
故选D．
3．B
【分析】本题主要考查了圆锥、弧长公式等知识点，掌握圆锥的侧面展开图是扇形，其弧长等于圆锥底面的周长以及弧长公式是解题的关键．
由题意可知扇形的弧长为，然后将已知条件代入弧长公式求解即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为．
∵ 扇形弧长，其中 ，，
∴ ，解得：．
故选B．
4．A
【分析】本题主要考查了圆锥的高的定义及测量方法，解答本题的关键是掌握圆锥高的含义．从圆锥顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高，根据圆锥高的含义结合圆锥高的测量方法进行解答即可．
【详解】解：如图，
圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，
图中小军斜着测量得到的是圆锥的母线长度，量出长度是厘米，
所以圆锥实际的高小于厘米，
故选：．
5．B
【分析】本题主要考查了圆锥的三视图、圆锥侧面积的求法等知识，由该三视图中的数据确定圆锥的底面半径和母线长是解题的关键．
由三视图中数据可知该圆锥的底面半径为，圆锥母线长为，然后根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】解：由三视图中可知，该圆锥的底面半径为，圆锥母线长为，
∴圆锥侧面积．
故选：B．
6．A
【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键；由题意易得该扇形的弧长为，然后根据圆的周长公式可进行求解．
【详解】解：由题意得：该扇形的弧长为，
根据圆锥侧面展开图的特征可知：扇形弧长即为圆锥底面圆的周长，所以该圆锥底面圆的半径为；
故选A．
7．D
【分析】从图中可以看出帽子的底面圆周长就是扇形的弧长，根据此求出扇形的面积．
本题主要考查了扇形的面积公式．即，熟记相关的公式是解题的关键．
【详解】解：扇形面积，
故选：D．
8．
【分析】该题考查了勾股定理和圆锥侧面积公式，根据勾股定理先求出圆锥母线长．再根据圆锥侧面积公式求解即可．
【详解】解：由勾股定理得圆锥母线长．
∵圆锥底面周长，即圆锥侧面展开图的弧长为，
∴圆锥的侧面积．
故答案为：．
9．/
【分析】本题考查了与圆有关的计算、勾股定理、圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
先利用等腰直角三角形的性质得到，设圆锥的底面圆的半径为，利用弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：由题意，，，，
∴，
设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
即圆锥的底面圆的半径为．
故答案为：．
10．
【分析】此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，勾股定理。解题的关键是熟知圆的相关公式．
先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理 即可求出圆锥的高．
【详解】解：依题意，圆心角为，半径为的扇形的弧长为
∴圆锥的底面半径为，
故圆锥的高为，
故答案为：
11．
【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是，
以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，弧长是，
设展开后的圆心角是，则，
解得：，
∴展开后，
，，
则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段的长，
由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
12．(1)
(2)这个圆锥的高是
【分析】此题考查了扇形面积、弧长公式和勾股定理等知识，熟练掌握相关公式是关键．
（1）利用扇形面积公式计算即可；
（2）求出扇形所对的弧长和圆锥底面圆的半径，根据勾股定理即可求出答案．
【详解】（1）解∵扇形的圆心角为，半径为，
∴．
（2）扇形所对的弧长为．
设圆锥底面圆的半径为，
∴，
∴，
∴，
∴这个圆锥的高是．
13．(1)
(2)216度
【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，关键是扇形弧长公式的应用．
（1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解；
（2）根据扇形的弧长公式得到，求出n即可．
【详解】（1）解：∵母线长为、高为，
∴底面半径为，
侧面积为；
（2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为，
由题意得，
∴，
答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度．
14．(1)
(2)
【分析】本题考查圆锥与扇形的关系，扇形弧长公式，等腰直角三角形的性质，掌握“圆锥底面圆周长=扇形弧长”是解题关键．
（1）利用“圆锥底面圆周长=扇形弧长”，结合扇形圆心角，代入弧长公式求出母线AE 的长．
（2）先求等腰直角三角形的面积，再求扇形的面积，用三角形面积减去扇形面积得到阴影部分面积．
【详解】（1）解：根据题意，圆锥底面圆周长与长度一致，
故，
可得，
即．
（2）由条件可得，
故．
15．(1)证明见解析；
(2)能，理由见解析．
【分析】本题考查了三角形的内切圆性质，圆的切线性质，圆锥的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）过点作于点，利用等腰直角三角形的性质求出，即可证明；
（2）根据扇形的弧长求出圆锥的底面圆的半径为，作的内切圆，证明四边形是平行四边形，从而得到是等腰直角三角形，设圆的半径为，再利用 ，求出，由于，可以判断出可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面．
【详解】（1）证明：过点作于点，如图：
，
，
，
，
∵圆的半径为2，
∴点在圆上，
，
∴与相切；
（2）解：可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面，理由如下：
∵，
∴四边形是等腰梯形，
∵，
∴，
∴，
∴扇形的弧长，
∴圆锥的底面圆的周长为，
设圆锥的底面圆的半径为，则，
，
过点作的切线，交于点，交于点，连接，则，，如图：
在中，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
作的内切圆，如图：
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
，
是等腰直角三角形，
，
设圆的半径为，
，
，
解得：，
，
∴可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面．