湖北省十堰市区县普通高中联合体2025-2026学年高二上学期期中测评数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖北省十堰市区县普通高中联合体2025-2026学年高二上学期期中测评数学试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 777.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-23 14:51:50 | ||
图片预览
文档简介
2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题
一、单选题
1．某直线的斜率为，则此直线的倾斜角为（ ）
A．0 B． C． D．
2．如图：在平行六面体中，为与的交点.若，，，则可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知事件两两互斥，若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
4．某次朗诵比赛，9位评委分别给某选手评分，最后去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效分.7个有效分与9个原始分比较，一定不变的数字特征是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．在三棱锥中，、、两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．为了关注学生的健康成长，某学校开展了一次高一年级学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则从图中能得出的信息是（ ）
A．样本中A层次身高的女生少于男生
B．样本中B层次身高的学生人数最多
C．样本中D层次身高的学生人数占总人数的17%
D．样本中E层次身高的男生有6人
9．下列四种抽样中，不是简单随机抽样的是（ ）
A．从一个不透明的盒中，抽取2个球（盒中每个球的大小和质感一样）
B．一节公开课，老师点了7位同学回答问题或板书
C．根据某校学生的学籍号，教务处利用电脑软件抽取了20名学生
D．利用投掷硬币的方法，选出一个班级中所有掷出正面的学生
10．已知：，：，则下列说法正确的是（ ）
A．的充要条件是或
B．若，则
C．若直线不经过第四象限，则
D．若将直线关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则
11．如图，在长方体中，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，，P，D三点共线
B．当时，
C．当时，平面
D．当时，平面
三、填空题
12．已知一组数据1，3，5，的平均数为4，则这组数据的方差为 .
13．如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况，设事件“参加数学兴趣小组”，事件“参加语文兴趣小组”，事件“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生，则事件所代表的区域是 （填区域编号）.
14．已知实数，，，满足，则的最小值为 .
四、解答题
15．某多选题有，，，四个选项.
(1)若已知有且仅有两个选项正确，则随机任选两项，能全对的概率是多少；
(2)若已知有且仅有三个选项正确，则随机任选两项，能得分（不是0分）的概率是多少？
16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
（1）求证：A1E⊥BD；
（2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
17．平面直角坐标系内，点，，
(1)求直线的方程和线段长度；
(2)求三角形的面积；
(3)求的角平分线所在直线的方程.
18．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数；
(2)求样本成绩的众数，中位数和平均数；
(3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差.
19．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知点为中点，点在线段上，且满足，平面交于点.
(1)求证平面；
(2)求的值；
(3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
1．C
2．B
3．B
4．B
5．A
6．D
7．D
8．ABC
9．BD
10．ABD
11．ACD
12．5
13．4
14．
15．（1）随机选两项共有6种选法，
其中只有1种全对，所以全对的概率为；
（2）从四个选项中随机任选两项，共有种情况，
能得分的情况相当于从三个正确选项中随机选两个，共有种，
所以能得分（不是0分）的概率是.
方法二：假设正确答案为，其概率为.
随机选两项共有6种，
其中3种可得分，所以能得分概率为，
若正确答案为其它，同理可得.
所以能得分概率为.
方法三：假设选的是，其概率为.
正确答案的可能选项共有4种，
其中有2种可以得分，所以得分概率为，其它同理可得.
所以能得分概率为.
16．以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．
设E(0，a，e)(0≤e≤a)．
（1）＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，
＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴，即A1E⊥BD；
（2）设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．
∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)
∴， ， ，.
∴,
取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)．
由平面A1BD⊥平面EBD得⊥.
∴2－＝0，即e＝.
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.
17．（1），
，
；
（2）点到直线的距离为：，
所以，即三角形的面积为；
（3）设的角平分线所在直线的斜率为，显然斜率存在，
则此直线方程为，
在角平分线上取不同于的一点，
，，，
直线方程为，即，
则由角平分线性质可知：点到的距离相等，
所以， 解得：，
由图形观察可知为外角平分线，
为内角平分线，
所以的角平分线所在直线为：.
18．（1）由每组小矩形的面积之和为1，得，解得，
成绩在内的频率为，在内的频率为，
显然第75百分位数，由，解得，
所以第75百分位数为84.
（2）由，得样本成绩的众数为75，
成绩落在[40,70)内的频率为，
成绩落在内的频率为，
故中位数在[70,80)内，由，得样本成绩的中位数为75，
由.
得样本成绩的平均数为74.
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，
所以，
总方差为.
19．（1）在四棱锥中，底面是正方形，平面，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，于是
即平面，而平面，所以平面.
（2）设，则，，
由四点共面，得，
因此，解得，所以.
（3）由（2）得，则，设，
于是点，，而，
设平面的法向量为，则，取，得，
点到平面的距离，解得或，
所以线段上存在一点满足条件，点的坐标为或.
一、单选题
1．某直线的斜率为，则此直线的倾斜角为（ ）
A．0 B． C． D．
2．如图：在平行六面体中，为与的交点.若，，，则可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知事件两两互斥，若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
4．某次朗诵比赛，9位评委分别给某选手评分，最后去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效分.7个有效分与9个原始分比较，一定不变的数字特征是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．在三棱锥中，、、两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．为了关注学生的健康成长，某学校开展了一次高一年级学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则从图中能得出的信息是（ ）
A．样本中A层次身高的女生少于男生
B．样本中B层次身高的学生人数最多
C．样本中D层次身高的学生人数占总人数的17%
D．样本中E层次身高的男生有6人
9．下列四种抽样中，不是简单随机抽样的是（ ）
A．从一个不透明的盒中，抽取2个球（盒中每个球的大小和质感一样）
B．一节公开课，老师点了7位同学回答问题或板书
C．根据某校学生的学籍号，教务处利用电脑软件抽取了20名学生
D．利用投掷硬币的方法，选出一个班级中所有掷出正面的学生
10．已知：，：，则下列说法正确的是（ ）
A．的充要条件是或
B．若，则
C．若直线不经过第四象限，则
D．若将直线关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则
11．如图，在长方体中，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，，P，D三点共线
B．当时，
C．当时，平面
D．当时，平面
三、填空题
12．已知一组数据1，3，5，的平均数为4，则这组数据的方差为 .
13．如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况，设事件“参加数学兴趣小组”，事件“参加语文兴趣小组”，事件“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生，则事件所代表的区域是 （填区域编号）.
14．已知实数，，，满足，则的最小值为 .
四、解答题
15．某多选题有，，，四个选项.
(1)若已知有且仅有两个选项正确，则随机任选两项，能全对的概率是多少；
(2)若已知有且仅有三个选项正确，则随机任选两项，能得分（不是0分）的概率是多少？
16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
（1）求证：A1E⊥BD；
（2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
17．平面直角坐标系内，点，，
(1)求直线的方程和线段长度；
(2)求三角形的面积；
(3)求的角平分线所在直线的方程.
18．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数；
(2)求样本成绩的众数，中位数和平均数；
(3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差.
19．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知点为中点，点在线段上，且满足，平面交于点.
(1)求证平面；
(2)求的值；
(3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
1．C
2．B
3．B
4．B
5．A
6．D
7．D
8．ABC
9．BD
10．ABD
11．ACD
12．5
13．4
14．
15．（1）随机选两项共有6种选法，
其中只有1种全对，所以全对的概率为；
（2）从四个选项中随机任选两项，共有种情况，
能得分的情况相当于从三个正确选项中随机选两个，共有种，
所以能得分（不是0分）的概率是.
方法二：假设正确答案为，其概率为.
随机选两项共有6种，
其中3种可得分，所以能得分概率为，
若正确答案为其它，同理可得.
所以能得分概率为.
方法三：假设选的是，其概率为.
正确答案的可能选项共有4种，
其中有2种可以得分，所以得分概率为，其它同理可得.
所以能得分概率为.
16．以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．
设E(0，a，e)(0≤e≤a)．
（1）＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，
＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴，即A1E⊥BD；
（2）设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．
∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)
∴， ， ，.
∴,
取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)．
由平面A1BD⊥平面EBD得⊥.
∴2－＝0，即e＝.
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.
17．（1），
，
；
（2）点到直线的距离为：，
所以，即三角形的面积为；
（3）设的角平分线所在直线的斜率为，显然斜率存在，
则此直线方程为，
在角平分线上取不同于的一点，
，，，
直线方程为，即，
则由角平分线性质可知：点到的距离相等，
所以， 解得：，
由图形观察可知为外角平分线，
为内角平分线，
所以的角平分线所在直线为：.
18．（1）由每组小矩形的面积之和为1，得，解得，
成绩在内的频率为，在内的频率为，
显然第75百分位数，由，解得，
所以第75百分位数为84.
（2）由，得样本成绩的众数为75，
成绩落在[40,70)内的频率为，
成绩落在内的频率为，
故中位数在[70,80)内，由，得样本成绩的中位数为75，
由.
得样本成绩的平均数为74.
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，
所以，
总方差为.
19．（1）在四棱锥中，底面是正方形，平面，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，于是
即平面，而平面，所以平面.
（2）设，则，，
由四点共面，得，
因此，解得，所以.
（3）由（2）得，则，设，
于是点，，而，
设平面的法向量为，则，取，得，
点到平面的距离，解得或，
所以线段上存在一点满足条件，点的坐标为或.
同课章节目录