2025-2026学年北师大版数学八年级上册期末测试模拟题三
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八上·即墨期末）某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．（2025八上·贵阳期末）下列点中，在正比例函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八上·罗湖期中）已知正比例函数y=mx（m≠0）中，y随x的增大而减小，那么一次函数y=mx-m的图象大致是如图中的（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·南山期中）用加减消元法解二元一次方程组时，下列消元正确的是（ ）
A．①×5+② B．①+②×3 C．①-②×2 D．①+②×2
5．（2025八上·临澧期末）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E．液压杆．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．将一副三角板按如图所示的方式放置，有下列结论：①∠1=∠3；②如果∠2=30°，那么AC∥DE；③如果∠2=45°，那么BC∥AD；④如果∠4=∠C，那么∠2=30°.其中正确的是( )
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
7．（2025八上·南山期中）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验.如图1，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数F拉力（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：cm）之间的关系如图2所示.（温馨提示：当铁块位于水面上方时，；当石块入水后，）.下列说法不正确的是（ ）
A．铁块的高度为4cm
B．铁块入水之前，烧杯内水的高度为10cm
C．当铁块下降的高度为8cm时，该铁块所受到的浮力为3.25N
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时铁块距离烧杯底
8．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”其大意为甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊.如果乙给甲9 只羊，那么甲的羊数比乙的羊数多1倍；如果甲给乙9 只羊，那么两人的羊数相同，二人闲坐动脑筋，在地上算了很长时间.请问甲、乙各有多少只羊 设甲有x 只羊，乙有y只羊，则下列说法正确的是 ( )
A．列方程为x+9=2(x-18+9)
B．列方程组为
C．列方程组为
D．甲有27只羊，乙有18只羊
9．数据45，50，51，53，53，57，60的下四分位数是( )
A．50 B．53 C．57 D．45
10．如图，已知AB∥CD，点E在B，D连线的右侧，∠ABE与∠CDE 的平分线相交于点 F，则下列说法中正确的是 ( )
①∠ABE+∠CDE+∠E=360°；②若∠E=80°，则∠BFD=140°；③若 则 6∠BMD+∠E=360°；④若∠E= 则
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·淮安）点沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是 ．
12．（2025·天津市）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）．
13．（2025八上·成都期中）已知关于x，y的方程组的解为的解是，则方程组的解为 .
14．（2025·福建）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的.胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力 F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F=kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数.如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克.
15．（2020·朝阳）已知关于x、y的方程 的解满足 ，则a的值为 .
16．（2024八上·福田期末）如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八上·兰州期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024七下·广州期末）解下列方程组：
（1）
（2）
19．（2025·长春）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）甲机器人停工保养的时间为 分钟， ；
（2）求所在直线对应的函数表达式；
（3）若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟．
20．（2023·西宁）一次函数的图象与x轴交于点A，且经过点.
（1）求点A和点B的坐标；
（2）直接在图6的平面直角坐标系中画出一次函数的图象；
（3）点P在x轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标.
21．（2024·南通）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
22．（2025·北京）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛.对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩(单位：s)的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：
b.丙运动员 10次测试成绩：
12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9
c.四名运动员 10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平均数 12.5 12.5 p 12.5
中位数 m 12.5 12.8 12.45
方差 0.056 n 0.034 0.056
（1） 表中m的值为 ；
（2）表中n 0.056(填“＞”“=”或“＜”)；
（3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强.
评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为 .
23．（2024·淄博）如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
24．（2025七下·嵊州期末） 如图，直线 ，直角三角板的 角顶点 A 在直线 MN 上，直角顶点 C 和另一顶点 B 在两条平行线之间. 的平分线 AD 交直线 PQ 于点 D，设 的度数为 .
（1） 如图 1，若 ，求 的值.
（2） 过点 C 的直线分别交 MN， PQ 于点 E， F（点 E 不与点 A 重合）.
① 若 ，如图 2，请判断 EF 与 AB 的位置关系，并说明理由.
② 若 的角平分线交直线 PQ 于点 G，求 的度数（用含 的代数式表示）.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由统计图可知，该班40名同学一周参加体育锻炼时间出现次数最多的是小时，故众数是9，由于样本容量为40且所有数据已按照从小到大的顺序排列，观察可得处在第、位的是，故中位数是，
故选：A．
【分析】
众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是几个；中位数是指把一组数据按照从小到大的顺序排列后，最中间的一个或最中间两个数据的平均值．
2．【答案】C
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、将 代入 得，，则点 不在正比例函数的图象上，不符合题意；
B、将 代入 得，，则点 不在正比例函数 的图象上，不符合题意；
C、将 代入 得，，点 在正比例函数 的图象上，符合题意；
D、将 代入 得，，则点不在正比例函数 的图象上，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将四个选项中的点分别代入解析式，结果与纵坐标相等则点在图象上.
3．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=mx（m≠0）中，y随x的增大而减小 ，
∴m<0，
∴一次函数y=mx-m的图象经过第一、二，四象限，
故答案为：B.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
4．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解 A：①x5+②无法消去任何未知数，不符合题意
B：①+②×3①+②×2不符合题意
C：①-②×2可以消去x，符合题意
D：①+②x2①+②×2，不符合题意
故答案为：C
【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵点是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】先求出，根据等腰三角形“等边对等角”性质得到，利用三角形内角和定理以及对顶角的性质得到，然后根据两直线平行，同位角相等得到的度数.
6．【答案】D
【知识点】余角；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：①∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，故①正确.
②∵ ∠2=30°，
∴∠1=60°.
又 ∵ ∠E= 60°，
∴ ∠1=∠E，
∴ AC∥DE，故②正确.
③∵ ∠2=45°，
∴ ∠3=45°=∠B，
∴ BC∥AD，故③正确.
④∵ ∠4=∠C，
∴ AC∥DE，
∴ ∠1=∠E=60°，
∴ ∠2=90°-60°=30°，
故④正确.
故选 D.
【分析】根据“同角的余角相等”得①正确；根据“内错角相等，两直线平行”得②③正确；根据“同位角相等，两直线平行”得AC∥DE，从而得∠1=∠E，再根据∠1、∠2互余计算∠2的度数.
7．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由图2得，当x=6时，铁块接触水面
∴铁块下降了6cm
∵铁块入水之前，水面高度为10cm，B正确
当x=10时，铁块完全浸没于水中
∴铁块下降4cm时，即铁块高4cm，A正确
设图中AB：F=kx+b，将(6，4)，(10，2.5)代入解析式可得
，解得：
∴
将x=8代入可得，y=3.25，C正确
将y=3代入可得，，D错误
故答案为：C
【分析】根据图象信息，结合一次函数性质即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：已知甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意，
得
即x+9=2(x-18-9)，
故A，B选项错误，C选项正确；
解方程组得
即甲有63只羊，乙有45 只羊，
故D选项错误.
故选 C.
【分析】根据“甲+9=2（乙-9），乙+9=甲-9”列方程求解即可.
9．【答案】A
【知识点】四分位数
【解析】【解答】解：由这组数据共7个，则
∴这组数据的下四分位数为第2个数据50
故答案为：A.
【分析】根据四分位数的概念即可求解.
10．【答案】C
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：①如图，过点 E 作 EG∥AB，过点F作FH∥AB，则AB∥EG∥FH∥CD，
所以∠ABE+∠BEG= 180°，∠CDE+∠DEG= 180°，
所以∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG = 360°， 即∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，故①正确.
②因为∠BED=80°，∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，
所以∠ABE+∠CDE=280°.
因为 AB∥FH∥CD，
所以 ∠ABF = ∠BFH， ∠CDF =∠DFH，
所 以 ∠BFD = ∠BFH + ∠DFH = 故②正确.
③同理可得，∠BMD =∠ABM+
所以6∠BMD=2(∠ABF+∠CDF) = ∠ABE+∠CDE，
所以6∠BMD+∠BED=360°，故③正确.④由题意无法判断④是否正确，所以①②③正确.
故选：C.
【分析】过点 E 作 EG∥AB，过点F作FH∥AB，则AB∥EG∥FH∥CD，利用平行线同旁内角互补的性质得出∠ABE+∠CDE+∠E=360°，再结合角平分线的性质以及角度之间的关系分别求解∠BFD和∠M的度数.
11．【答案】(-1，5)
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 点沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是(-1，1+4)，即(-1，5)，
故答案为：(-1，5).
【分析】根据点的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.
12．【答案】2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移个单位长度可得：y=3x-1+m
∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限
∴-1+m>0，解得m>1
故答案为：2（答案不唯一，满足即可）
【分析】根据函数图象的平移规律可得平移后的直线为y=3x-1+m，再根据一次函数图象与系数的关系建立不等式，解不等式即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：设m=x+1，n=y+3，
则方程组可化为，
对比已知方程组得解是 ，
可得：，
即，
∴
故答案为：.
【分析】观察两个方程组的结构可知，利用换元法将第二个方程组转化为已知解的第一个方程组的形式即可得出答案.
14．【答案】0.8
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解： 将F=0.5g，x=6.5-6=0.5代入F=kx，
得0.5g=0.5k，
解得k=g，
∴F与x的函数关系式为F=gx，
将x=6.8-6=0.8，F=mg代入F=gx，
得mg=0.8g，
解得m=0.8，
故答案为：0.8.
【分析】
利用待定系数法求出F与x的函数关系式，将x=6.8-6=0.8，F=mg代入求出m的值即可.
15．【答案】5
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②，得
3x+3y=6-3a，
∴x+y=2-a，
∵ ，
∴2-a=-3，
∴a=5.
故答案为：5.
【分析】①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可.
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长到，使得，连接，，
，由等腰三角形的性质可得，
，
∴
，，
，
，，
，
，，
，
点为的中点，
，，
，∴，
在中，由勾股定理得：.
故答案为：．
【分析】延长到，使得，连接，，，由等腰三角形的性质可得，，由“”可证，可得，，在中，利用勾股定理即可求解．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先根据算术平方根，立方根，乘方以及绝对值化简每个式子，再求解即可；
（2）根据二次根式的乘法以及平方差公式化简，再求解即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：
由②可设，
代入①，得：，
解得：，
，
，
∴这个方程组的解是，
（2）解：
由①，得，③
由②，得，
即，④
将④代入③，得，
解得：．
将代入④，得：，
这个方程组的解是：．
【知识点】解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
19．【答案】（1）20；3800
（2）解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件，
∴所在直线对应的函数表达式为：
（3）110
【知识点】一次函数的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：（1）由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟；
∵，
∴（件）；
故答案为：20，3800；
（3）当时，
∴，
解得：，
∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟.
故答案为：110；
【分析】(1)由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解m的值即可；
(2)由甲乙机器人的效率为每分钟55件，可得AB所在直线对应的函数表达式求出y值即可；
(3) 把 代入解析式，求出x值，进一步即可得到答案.
20．【答案】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点A
∴令
解得
∴点A的坐标是
∵点在一次函数的图象上
把代入得
∴
∴点B的坐标是；
（2）解： 一次函数的图象如下图：
（3）由（1）知：A（2，0），B（4，4），
∴AB==，
若是以为腰的等腰三角形，
①当AB=AP=，则OP=+2，
∴P（+2，0）
②当AB=BP时，AP=4，
∴OP=4+2=6，
∴P（6，0），
∴点P的坐标为（+2，0）或（6，0）.
符合条件的点P坐标是，.
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由可求出y=0时x值，即得A的坐标，把点代入中求出m值，即得B的坐标；
（2）利用描点法直接画函数图象即可；
（3）分两种情况：①当AB=AP，②当AB=BP，据此分别解答即可.
21．【答案】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
根据题意，得，
解得：，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元.
（2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，
根据题意，得80a+60（10﹣a）≤700，
解得：a≤5，
设每天分拣快递的件数为w万件，
∴w=22a+18（10﹣a）＝4a+180，
∵一次项系数k=4>0，w随着a的增大而增大，
∴当a＝5时，每天分拣快递的件数最多为w=4×5+180=200（万件），
∴10-a=10-5=5，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台， 能使每天分拣快递的件数最多 ．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据”信息一“列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，根据”用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台“列出关于a的一元一次不等式，解不等式求出a的取值范围，设每天分拣快递的件数为w，则根据”信息二“得w＝4a+180，接下来利用一次函数的性质得a=5时，w最大，即可求解.
22．【答案】（1）12.5
（2）＜
（3）乙、丁、甲、丙
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）将甲的成绩按从小到大的顺序排列为：12.1，12.1，12.5，12.5，12.5，12.5，12.5，12.7，12.7，12.9
处在最中间的两个数为12.5，12.5
∴
故答案为：12.5
（2）由题意可得：
故答案为：<
（3）丙的平均数
=12.7
∴丙的平均数最大，则实力最弱
∵方差0.024< 0.034<0.056
∴乙实力最强，
∵丁的测试成绩中位数为12.45，
∴第5，6次成绩和为24.9，
∴前5次测试成绩小于平均数，甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次，
∴丁比甲强
∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙
故答案为：乙、丁、甲、丙.
【分析】（1）根据中位数的定义即可求出答案.
（2）根据方差的定义求出n的值，再比较大小即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
23．【答案】①（或②）
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：当选取①时，
∵ ， ， ，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
证明：当选取②时，
∵ ， ， ，
，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
；
当选 ③ 时，无法证明出 ，进而无法推出 。
故答案为：①（或②）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定．
选择①或②，首先利用SSS或SAS证明出，然后得出对应角度相等和对应边长相等，进一步证明出，此时即可得出，最后根据“内错角相等、两直线平行”即可得出。
24．【答案】（1）解：∵AD 平分
∴
∵
∴
∵， ，
∴，
x的值为60
（2）解：①EF与 AB 的位置关系是平行
∵
∴
∴
∴
∴ 是的外角，
∴
∴
∴
②E在A的左侧， ；
E在A的右侧，
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】(1)根据平行线及角平分线性质进行求解即可；
（2）①根据平行性质得到 ，求出，根据平行线判定定理得出结果；
②讨论E分别在A的左侧和右侧时，即可得出答案.
1 / 12025-2026学年北师大版数学八年级上册期末测试模拟题三
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八上·即墨期末）某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由统计图可知，该班40名同学一周参加体育锻炼时间出现次数最多的是小时，故众数是9，由于样本容量为40且所有数据已按照从小到大的顺序排列，观察可得处在第、位的是，故中位数是，
故选：A．
【分析】
众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是几个；中位数是指把一组数据按照从小到大的顺序排列后，最中间的一个或最中间两个数据的平均值．
2．（2025八上·贵阳期末）下列点中，在正比例函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、将 代入 得，，则点 不在正比例函数的图象上，不符合题意；
B、将 代入 得，，则点 不在正比例函数 的图象上，不符合题意；
C、将 代入 得，，点 在正比例函数 的图象上，符合题意；
D、将 代入 得，，则点不在正比例函数 的图象上，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将四个选项中的点分别代入解析式，结果与纵坐标相等则点在图象上.
3．（2025八上·罗湖期中）已知正比例函数y=mx（m≠0）中，y随x的增大而减小，那么一次函数y=mx-m的图象大致是如图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=mx（m≠0）中，y随x的增大而减小 ，
∴m<0，
∴一次函数y=mx-m的图象经过第一、二，四象限，
故答案为：B.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
4．（2025八上·南山期中）用加减消元法解二元一次方程组时，下列消元正确的是（ ）
A．①×5+② B．①+②×3 C．①-②×2 D．①+②×2
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解 A：①x5+②无法消去任何未知数，不符合题意
B：①+②×3①+②×2不符合题意
C：①-②×2可以消去x，符合题意
D：①+②x2①+②×2，不符合题意
故答案为：C
【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
5．（2025八上·临澧期末）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E．液压杆．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵点是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】先求出，根据等腰三角形“等边对等角”性质得到，利用三角形内角和定理以及对顶角的性质得到，然后根据两直线平行，同位角相等得到的度数.
6．将一副三角板按如图所示的方式放置，有下列结论：①∠1=∠3；②如果∠2=30°，那么AC∥DE；③如果∠2=45°，那么BC∥AD；④如果∠4=∠C，那么∠2=30°.其中正确的是( )
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】余角；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：①∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，故①正确.
②∵ ∠2=30°，
∴∠1=60°.
又 ∵ ∠E= 60°，
∴ ∠1=∠E，
∴ AC∥DE，故②正确.
③∵ ∠2=45°，
∴ ∠3=45°=∠B，
∴ BC∥AD，故③正确.
④∵ ∠4=∠C，
∴ AC∥DE，
∴ ∠1=∠E=60°，
∴ ∠2=90°-60°=30°，
故④正确.
故选 D.
【分析】根据“同角的余角相等”得①正确；根据“内错角相等，两直线平行”得②③正确；根据“同位角相等，两直线平行”得AC∥DE，从而得∠1=∠E，再根据∠1、∠2互余计算∠2的度数.
7．（2025八上·南山期中）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验.如图1，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数F拉力（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：cm）之间的关系如图2所示.（温馨提示：当铁块位于水面上方时，；当石块入水后，）.下列说法不正确的是（ ）
A．铁块的高度为4cm
B．铁块入水之前，烧杯内水的高度为10cm
C．当铁块下降的高度为8cm时，该铁块所受到的浮力为3.25N
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时铁块距离烧杯底
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由图2得，当x=6时，铁块接触水面
∴铁块下降了6cm
∵铁块入水之前，水面高度为10cm，B正确
当x=10时，铁块完全浸没于水中
∴铁块下降4cm时，即铁块高4cm，A正确
设图中AB：F=kx+b，将(6，4)，(10，2.5)代入解析式可得
，解得：
∴
将x=8代入可得，y=3.25，C正确
将y=3代入可得，，D错误
故答案为：C
【分析】根据图象信息，结合一次函数性质即可求出答案.
8．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”其大意为甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊.如果乙给甲9 只羊，那么甲的羊数比乙的羊数多1倍；如果甲给乙9 只羊，那么两人的羊数相同，二人闲坐动脑筋，在地上算了很长时间.请问甲、乙各有多少只羊 设甲有x 只羊，乙有y只羊，则下列说法正确的是 ( )
A．列方程为x+9=2(x-18+9)
B．列方程组为
C．列方程组为
D．甲有27只羊，乙有18只羊
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：已知甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意，
得
即x+9=2(x-18-9)，
故A，B选项错误，C选项正确；
解方程组得
即甲有63只羊，乙有45 只羊，
故D选项错误.
故选 C.
【分析】根据“甲+9=2（乙-9），乙+9=甲-9”列方程求解即可.
9．数据45，50，51，53，53，57，60的下四分位数是( )
A．50 B．53 C．57 D．45
【答案】A
【知识点】四分位数
【解析】【解答】解：由这组数据共7个，则
∴这组数据的下四分位数为第2个数据50
故答案为：A.
【分析】根据四分位数的概念即可求解.
10．如图，已知AB∥CD，点E在B，D连线的右侧，∠ABE与∠CDE 的平分线相交于点 F，则下列说法中正确的是 ( )
①∠ABE+∠CDE+∠E=360°；②若∠E=80°，则∠BFD=140°；③若 则 6∠BMD+∠E=360°；④若∠E= 则
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：①如图，过点 E 作 EG∥AB，过点F作FH∥AB，则AB∥EG∥FH∥CD，
所以∠ABE+∠BEG= 180°，∠CDE+∠DEG= 180°，
所以∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG = 360°， 即∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，故①正确.
②因为∠BED=80°，∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，
所以∠ABE+∠CDE=280°.
因为 AB∥FH∥CD，
所以 ∠ABF = ∠BFH， ∠CDF =∠DFH，
所 以 ∠BFD = ∠BFH + ∠DFH = 故②正确.
③同理可得，∠BMD =∠ABM+
所以6∠BMD=2(∠ABF+∠CDF) = ∠ABE+∠CDE，
所以6∠BMD+∠BED=360°，故③正确.④由题意无法判断④是否正确，所以①②③正确.
故选：C.
【分析】过点 E 作 EG∥AB，过点F作FH∥AB，则AB∥EG∥FH∥CD，利用平行线同旁内角互补的性质得出∠ABE+∠CDE+∠E=360°，再结合角平分线的性质以及角度之间的关系分别求解∠BFD和∠M的度数.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·淮安）点沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是 ．
【答案】(-1，5)
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 点沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是(-1，1+4)，即(-1，5)，
故答案为：(-1，5).
【分析】根据点的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.
12．（2025·天津市）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移个单位长度可得：y=3x-1+m
∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限
∴-1+m>0，解得m>1
故答案为：2（答案不唯一，满足即可）
【分析】根据函数图象的平移规律可得平移后的直线为y=3x-1+m，再根据一次函数图象与系数的关系建立不等式，解不等式即可求出答案.
13．（2025八上·成都期中）已知关于x，y的方程组的解为的解是，则方程组的解为 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：设m=x+1，n=y+3，
则方程组可化为，
对比已知方程组得解是 ，
可得：，
即，
∴
故答案为：.
【分析】观察两个方程组的结构可知，利用换元法将第二个方程组转化为已知解的第一个方程组的形式即可得出答案.
14．（2025·福建）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的.胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力 F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F=kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数.如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克.
【答案】0.8
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解： 将F=0.5g，x=6.5-6=0.5代入F=kx，
得0.5g=0.5k，
解得k=g，
∴F与x的函数关系式为F=gx，
将x=6.8-6=0.8，F=mg代入F=gx，
得mg=0.8g，
解得m=0.8，
故答案为：0.8.
【分析】
利用待定系数法求出F与x的函数关系式，将x=6.8-6=0.8，F=mg代入求出m的值即可.
15．（2020·朝阳）已知关于x、y的方程 的解满足 ，则a的值为 .
【答案】5
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②，得
3x+3y=6-3a，
∴x+y=2-a，
∵ ，
∴2-a=-3，
∴a=5.
故答案为：5.
【分析】①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可.
16．（2024八上·福田期末）如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长到，使得，连接，，
，由等腰三角形的性质可得，
，
∴
，，
，
，，
，
，，
，
点为的中点，
，，
，∴，
在中，由勾股定理得：.
故答案为：．
【分析】延长到，使得，连接，，，由等腰三角形的性质可得，，由“”可证，可得，，在中，利用勾股定理即可求解．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八上·兰州期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先根据算术平方根，立方根，乘方以及绝对值化简每个式子，再求解即可；
（2）根据二次根式的乘法以及平方差公式化简，再求解即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2024七下·广州期末）解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
由②可设，
代入①，得：，
解得：，
，
，
∴这个方程组的解是，
（2）解：
由①，得，③
由②，得，
即，④
将④代入③，得，
解得：．
将代入④，得：，
这个方程组的解是：．
【知识点】解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
19．（2025·长春）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）甲机器人停工保养的时间为 分钟， ；
（2）求所在直线对应的函数表达式；
（3）若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟．
【答案】（1）20；3800
（2）解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件，
∴所在直线对应的函数表达式为：
（3）110
【知识点】一次函数的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：（1）由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟；
∵，
∴（件）；
故答案为：20，3800；
（3）当时，
∴，
解得：，
∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟.
故答案为：110；
【分析】(1)由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解m的值即可；
(2)由甲乙机器人的效率为每分钟55件，可得AB所在直线对应的函数表达式求出y值即可；
(3) 把 代入解析式，求出x值，进一步即可得到答案.
20．（2023·西宁）一次函数的图象与x轴交于点A，且经过点.
（1）求点A和点B的坐标；
（2）直接在图6的平面直角坐标系中画出一次函数的图象；
（3）点P在x轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标.
【答案】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点A
∴令
解得
∴点A的坐标是
∵点在一次函数的图象上
把代入得
∴
∴点B的坐标是；
（2）解： 一次函数的图象如下图：
（3）由（1）知：A（2，0），B（4，4），
∴AB==，
若是以为腰的等腰三角形，
①当AB=AP=，则OP=+2，
∴P（+2，0）
②当AB=BP时，AP=4，
∴OP=4+2=6，
∴P（6，0），
∴点P的坐标为（+2，0）或（6，0）.
符合条件的点P坐标是，.
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由可求出y=0时x值，即得A的坐标，把点代入中求出m值，即得B的坐标；
（2）利用描点法直接画函数图象即可；
（3）分两种情况：①当AB=AP，②当AB=BP，据此分别解答即可.
21．（2024·南通）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
【答案】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
根据题意，得，
解得：，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元.
（2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，
根据题意，得80a+60（10﹣a）≤700，
解得：a≤5，
设每天分拣快递的件数为w万件，
∴w=22a+18（10﹣a）＝4a+180，
∵一次项系数k=4>0，w随着a的增大而增大，
∴当a＝5时，每天分拣快递的件数最多为w=4×5+180=200（万件），
∴10-a=10-5=5，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台， 能使每天分拣快递的件数最多 ．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据”信息一“列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，根据”用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台“列出关于a的一元一次不等式，解不等式求出a的取值范围，设每天分拣快递的件数为w，则根据”信息二“得w＝4a+180，接下来利用一次函数的性质得a=5时，w最大，即可求解.
22．（2025·北京）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛.对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩(单位：s)的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：
b.丙运动员 10次测试成绩：
12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9
c.四名运动员 10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平均数 12.5 12.5 p 12.5
中位数 m 12.5 12.8 12.45
方差 0.056 n 0.034 0.056
（1） 表中m的值为 ；
（2）表中n 0.056(填“＞”“=”或“＜”)；
（3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强.
评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为 .
【答案】（1）12.5
（2）＜
（3）乙、丁、甲、丙
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）将甲的成绩按从小到大的顺序排列为：12.1，12.1，12.5，12.5，12.5，12.5，12.5，12.7，12.7，12.9
处在最中间的两个数为12.5，12.5
∴
故答案为：12.5
（2）由题意可得：
故答案为：<
（3）丙的平均数
=12.7
∴丙的平均数最大，则实力最弱
∵方差0.024< 0.034<0.056
∴乙实力最强，
∵丁的测试成绩中位数为12.45，
∴第5，6次成绩和为24.9，
∴前5次测试成绩小于平均数，甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次，
∴丁比甲强
∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙
故答案为：乙、丁、甲、丙.
【分析】（1）根据中位数的定义即可求出答案.
（2）根据方差的定义求出n的值，再比较大小即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
23．（2024·淄博）如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
【答案】①（或②）
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：当选取①时，
∵ ， ， ，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
证明：当选取②时，
∵ ， ， ，
，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
；
当选 ③ 时，无法证明出 ，进而无法推出 。
故答案为：①（或②）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定．
选择①或②，首先利用SSS或SAS证明出，然后得出对应角度相等和对应边长相等，进一步证明出，此时即可得出，最后根据“内错角相等、两直线平行”即可得出。
24．（2025七下·嵊州期末） 如图，直线 ，直角三角板的 角顶点 A 在直线 MN 上，直角顶点 C 和另一顶点 B 在两条平行线之间. 的平分线 AD 交直线 PQ 于点 D，设 的度数为 .
（1） 如图 1，若 ，求 的值.
（2） 过点 C 的直线分别交 MN， PQ 于点 E， F（点 E 不与点 A 重合）.
① 若 ，如图 2，请判断 EF 与 AB 的位置关系，并说明理由.
② 若 的角平分线交直线 PQ 于点 G，求 的度数（用含 的代数式表示）.
【答案】（1）解：∵AD 平分
∴
∵
∴
∵， ，
∴，
x的值为60
（2）解：①EF与 AB 的位置关系是平行
∵
∴
∴
∴
∴ 是的外角，
∴
∴
∴
②E在A的左侧， ；
E在A的右侧，
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】(1)根据平行线及角平分线性质进行求解即可；
（2）①根据平行性质得到 ，求出，根据平行线判定定理得出结果；
②讨论E分别在A的左侧和右侧时，即可得出答案.
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