2025-2026学年北师大版数学八年级上册期末测试模拟题四
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·甘孜州）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象不经过的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵由题意得，
∴图象经过第一、二、三象限，
∴图象不经过第四象限．
故答案为：D
【分析】先根据一次函数的图象与性质得到，进而即可求解.
2．（2024·南充）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意分两种情况：
①当m+1＞0，即m＞-1时，y随x的增大而增大，
当x=5时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6，
∴5(m+1)+m2+1=6，
解得：m1=0，m2=-5(舍去)；
②当m+1＜0，即m＜-1时，y随x的增大而减小，
当x=2时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6，
∴2(m+1)+m2+1=6，
解得：m1=-3，m2=1(舍去)；
综上可得：当2≤x≤5时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6，则实数m的值为0或-3.
故答案为：A.
【分析】由题意分两种情况：
①当m+1＞0，即m＞-1时，y随x的增大而增大，②当m+1＜0，即m＜-1时，y随x的增大而减小，然后根据“当2≤x≤5时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6”可得关于m的方程，解之可求解.
3．（2023·广安）如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由浮力的知识可知当铁块完全浸没在水中时，浮力不变；当铁块的排水体积逐渐减小时，浮力减小；当铁块与水面无接触时，浮力将不再变化；
∴弹簧测力计的读数应先不变，再上升，再不变，
故答案为：A
【分析】根据浮力的知识即可得到弹簧测力计读数的变化情况，进而即可画出函数图象。
4．（2020·黑龙江）若 是二元一次方程组 的解，则x＋2y的算术平方根为（ ）
A．3 B．3，－3 C． D． ，－
【答案】C
【知识点】算术平方根；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将 代入二元一次方程 中，
得到： ，解这个关于x和y的二元一次方程组，
两式相加，解 得，将 回代方程中，解得 ，
∴ ，
∴x＋2y的算术平方根为 ，
故答案为：C．
【分析】将 代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x＋2y的算术平方根即可．
5．（2024·淄博）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．( )
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为；
②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后；
④，两地之间的距离是．
其中正确的结论有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①乙比甲晚出发，图像显示，当时，，即在甲出发50min后，甲乙相遇，
乙出发时，两人第一次相遇，
即乙的锻炼用时为，结论①正确；
②观察函数图象，可知：当时，取得最大值m，
即甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确；
③设甲的速度为，乙的速度为，
根据题意得：，
解得：，
∴，
甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误；
④，
，两地之间的距离是，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故答案为：B．
【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用等知识。
①根据条件“甲先出发、 乙因故比甲晚出发 ”，结合图象可以发现，在甲出发50min后，甲乙相遇。因此计算可得出乙出发时两人第一次相遇；
②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为；
③在50min的时候甲乙相遇，此时甲的行走路程是（50-10）xm，乙的路程是（50-30）ym，因此有方程（50-10）x=（50-30）y；在第86min的时候，此时乙到达B第，即乙的路程（86-30）y减去甲的路程（86-10）x就是3600m，因此有方程（86-30）y-（86-10）x=3600，最后列出二元一次方程组，解出，的值，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；
④利用路程=速度×时间，即可求出，两地之间的距离是．
6．（2023·泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得 ：。
故答案为：C。
【分析】根据甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等 ，可列方程为：9x=11y①，根据 两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可列方程为：（10y+x）-（8x+y）=13②，把①②联合成方程组。
7．（2017·百色）两条直线y=k1x+b1和y=k2x+b2相交于点A（﹣2，3），则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵两条直线y=kix+b1和y=k2x+b2相交于点A（﹣2，3），
∴x=﹣2、y=3就是方程组 的解．
∴方程组的 解为： ．
故选：B．
【分析】由题意，两条直线y=kix+b1和y=k2x+b2相交于点A（﹣2，3），所以x=﹣2、y=3就是方程组 的解．
8．（2025·广元）为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表：
书籍本数 2 3 4 5 6
人数 2 2 2 3 1
下列关于书籍本数的描述正确的是（ ）
A．众数是3 B．平均数是3 C．中位数是4 D．方差是1
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、∵5出现了3次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是5，故A不符合题意；
B、这组数据的平均数是，故B不符合题意；
C、将此组数据从小到大排列，处于最中间的两个数是4和4
∴这组数据的中位数是4，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一组数据中出现次数最多的数是众数，可对A作出判断；利用平均数公式可求出这组数据的平均数，可对B作出判断；利用求中位数的方法求出这组数据的中位数，可对C作出判断；利用方差公式进行计算，可对D作出判断
9．（2025八上·游仙期中）如图，将直尺与含30°角的直角三角尺摆放在一起，若∠2比∠1的2倍还多5°，则∠1的度数是（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵将直尺与含30°角的直角三角尺摆放在一起， ∠2比∠1的2倍还多5°，
∴∠2=2∠1+5°，
∵AB∥CD，
∴∠3=∠2，
∵∠4+∠3+30°=180°， ∠4+∠1=90°，
∴90°-∠1+∠2+30°=180°，即∠2=60°+∠1，
∴2∠1+5°=60°+∠1，
∴∠1=55°，
故选： B.
【分析】根据题意得出∠2=2∠1+5°，根据平行线的性质可得∠3=∠2，再根据三角形内角和定理和三角板得出∠4+∠3+30°=180°，∠4+∠1=90°，即可求出∠1的度数.
10．（2025八上·西湖月考）如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结．若记为α，为β，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；平行线的应用-证明问题；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：过点B作交的延长线于点G，如图：
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵点D是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：B．
【分析】过点B作交的延长线于点G，由同旁内角互补两直线平行得出BG∥AC，由二直线平行，内错角相等得 ，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得， 从而用“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等可得BG=CD，结合中点定义得BG=BD，再用“SAS”证，得，即可得．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·盘锦）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.”设有x只鸡，y只兔，根据题意，可列方程组为 .
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设有x只鸡，y只兔 ，
由题意得.
故答案为：.
【分析】设有x只鸡，y只兔 ，根据一只鸡一个头两只脚，一只兔一个头四只脚，及“上有三十五头，下有九十四足”列出方程组即可.
12．（2022·随州）已知二元一次方程组，则的值为 .
【答案】1
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】原方程组为，
由②-①得.
故答案为：1.
【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点：x，y的系数都相差1，因此由②-①，可求出x-y的值.
13．（2024·扬州）如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵
∴ 一次函数的图象与交于（-2，0）
则关于的方程的解为 x=-2
故答案为：.
【分析】本题考查的是一次函数与一次方程的关系，一次函数与x轴交点的横坐标就是对应的一次方程的解.
14．（2025·兰州） 射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如表，请根据表中信息估计新手是 ．（填写“甲”或“乙”）
甲 乙
平均成绩（单位：环） 6.58 7.67
方差s2 6.91 0.72
【答案】甲
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：
∵方差越大，成绩越不稳定，
∴新手是甲.
故答案为：甲 .
【分析】由表中信息可以看出，甲平均成绩较差，且方差更大，根据方差越大，成绩越不稳定；由此即可判断新手是甲，解答即可.
15．如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠E＝57°，∠AFC＝63°，则∠BAF的度数为 .
【答案】46°
【知识点】平行公理及推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解： 过点F作FG∥AB， 如图所示，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FG，
∴∠DCF=∠GFC， ∠BAF=∠GFA，
∵CF平分∠DCE，
∴设∠DCF=∠FCE=x， 则∠GFC=x， ∠GFA=∠AFC-∠GFC=63°-x，
∴∠BAF=∠AFG=63°-X，
在△CFH中，∠CHF=180°-∠FCE-∠AFC=180°-x-63°=117°-x，
∵AE平分∠BAF，
在△AEH中，
∵∠EHA=∠FHC，
解得： x=17°，
∴∠BAF=63°-17°=46°，
故答案为： 46°.
【分析】过点F作FG∥AB，根据平行线的性质得出∠DCF=∠GFC， ∠BAF=∠GFA， 设∠DCF=∠FCE=x， 则∠GFC=x， ∠GFA=∠AFC-∠GFC=63°-X，根据三角形内角和定理及对顶角相等建立方程求解即可.
16．（2024·宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线yx上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作的外接圆，D为圆心，连接CD，过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵∠ACB=90°，
∴AB是的直径，设AB=2AD=2BD=2r，
∴线段AB最小时，的半径r最小，
∵CD≥DF，
∴当CD⊥x轴时，CD最小，此时C、F重合，与x轴相切，
∵点A在直线上，且点A的横坐标为4，
∴A(4，3)，
∴AE=3，OE=4，
根据勾股定理，得OA=5，
∴OD=5-r，
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴∠DFO=∠AEO=90°，
∴DF∥AE，
∴，
∴，即，
解得：，
∴线段AB的最小值为，
故答案为：.
【分析】作的外接圆，连接CD，过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”得AB是的直径，设AB=2AD=2BD=2r，然后由“CD≥DF”可知当CD⊥x轴时，CD最小，此时C、F重合，与x轴相切，接下来求出点A的坐标，利用勾股定理得OA=5，从而有OD=5-r，易证，根据相似三角形对应边成比例得，解方程求出r的值，即可求出AB=2r的最小值.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八上·威宁期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减即可求出答案.
（2）根据平方差公式，完全平方公式化简，再计算加减即可求出答案.
（1）解：原式；
（2）原式．
18．（2025七下·杭州期中）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
②×3+①式得：8m=24，
解得：m=3，
将m=3代入②式得：6-n=4，
解得n=2，
∴此方程组的解为；
（2）解：
①×3-②式得：7x=14，
解得：x=2，
将x=2代入①式得：6-2y=7，
解得：，
∴此方程组的解为.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加法消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用减法消元法解二元一次方程组即可.
19．（2017八下·罗山期末）如图，直线l经过点A（1，6）和点B（﹣3，﹣2）．
（1）求直线l的解析式，直线与坐标轴的交点坐标；
（2）求△AOB的面积．
【答案】（1）解：设直线解析式为y=kx+b，
把点A（1，6）和点B（﹣3，﹣2）代入，
得， ，
解得：k=2，b=4，
所以，y=2x+4，
x=0时，y=4，
y=0时，x=﹣2，
则直线与x轴交点为（﹣2，0），与y轴交点为（0，4）
（2）解：△AOB的面积 2×6 2×2=8．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线l的解析式，解一元一次方程求出直线与坐标轴的交点坐标；（2）结合图形、根据三角形的面积公式计算即可．
20．如图，AB∥CD，过点 B 的直线 EF 交CD 于点G，在 AB，CD 之间作射线 BP，∠1 与∠2互余.
（1）试说明：BP⊥EF.
（2）作∠PBF 的平分线，交 CD 于点 H，若∠BHD=65°，求∠1的度数.
【答案】（1）证明：∵ AB∥CD，
∴∠ABG+∠2=180°，
∵ ∠1 +∠2=90°，
∴∠ABG-∠1=90°，
∴∠PBG=90°，
∴ BP⊥EF
（2）解：∵BH是∠PBF 的平分线 ，∠PBF=90°
∴∠HBG=∠PBF=45°，
∵∠BHD=65°，
∴∠2=180°-∠HBG-∠BHD=180°-45°-65°=70°，
∵ ∠1 +∠2=90°，
∴ ∠1=90°-∠2=20°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质∠ABG+∠2=180°，再根据∠1与∠2互余可得∠ABG-∠1=90°，进而得出∠PBG=90°，即可得证；
（2）先求∠HBG的度数，再根据三角形的内角和求∠2的度数，最后根据∠1与∠2互余，即可得出答案.
21．（2024·长春）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）a的值为 ；
（2）当x≤a时，求y与x之间的函数关系式；
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
【答案】（1）
（2）解：设当时，y与x之间函数关系式为，
图象经过，得
，
解得：，
∴．
（3）解：当时，，
∴先匀速行驶小时的速度为：，
∵，
∴汽车减速前没有超速．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)由题意可得：，
解得：．
故答案为：．
【分析】（1）根据题意：当以平均时速为行驶时，小时路程为千米，可得，即可求解；
（2）设当时，y与x之间函数关系式为，利用待定系数法求解即可得解；
（3）求出先匀速行驶小时的速度，然后比较即可得解．
22．（2025·潍坊） 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下．
【数据收集】
试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm）
56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60．
【数据整理】
把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，）
A B C D E
试验田玉米株频数 4 8 15 11 2
对照田玉米株频数 7 5 6 14 8
（1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由．
（2）【数据描述】
根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图．
补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数；
（3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可）
（4）【数据分析】
对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
试验田 49.5 51 49.73 15.10
对照田 52 52 50.28 40.05
根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况．
【答案】（1）解：不赞同.
理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20．
若组数为5，则组距为4，是合适的．
若分成10组，则组距为2，不仅繁琐，且会使某些组的频数为0，容易将性质相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律.
（2）解：
D组对应的圆心角为
（3）解：试验田中长势良好的玉米株数为，占比65%；
对照田中长势良好的玉米株数占比为；
所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田
（4）解：从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；
而从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中．
综合以上信息，试验田长势好于对照田.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据题意进行分析即可求出答案.
（2）根据题意补全图形即可，再根据360°乘以D组占比即可求出答案.
（3）根据试验田与对照田长势良好的玉米株数的占比，比较大小即可求出答案.
（4）根据各统计量的意义进行分析即可求出答案.
23．（2023·襄阳）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为元支，肉串的成本为元支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）
次数 数量（支） 总成本（元）
海鲜串 肉串
第一次 3000 4000 17000
第二次 4000 3000 18000
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
（1）求、的值；
（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串支，店主获得海鲜串的总利润为元，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求的最大值．
【答案】（1）解：根据表格可得：
，
解得，
的值为3，的值为2；
（2）解：当时，店主获得海鲜串的总利润；
当时，店主获得海鲜串的总利润；
；
（3）解：设降价后获得肉串的总利润为元，令．
，
，
，
，
，
随的增大而减小，
当时，的值最小，
由题意可得：，
，
即，
解得：，
的最大值是0.5．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据表格得等量关系，列二元一次方程组求解即可；
（2）分和两段分别表示出函数表达式，最后综述.
（3）表示出降价后获得的肉串的总利润z，以及本次消费肉串利润和海鲜串利润的差值W，根据一次函数的性质以及x的取值范围得到W的最小值，且W≥0，即可确定a的最大值.
24．（2025七下·杭州期末）综合与实践
【问题情境】
自行车的尾灯自身并不发光，但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去，从而起到提醒汽车驾驶员的目的. 这一效果正是利用了角反射器的原理. 最简单的角反射器是由两个互相垂直的平面镜组成的.
【数学探究】
如图，入射光线DE经过两次反射后，得到光线FG，已知，.
（1） 如图1，AB，BC是两个互相垂直的平面镜，，
①若，求的度数.
②试判断入射光线DE和反射光线FG是否平行，并说明理由.
（2） 如图2，改变镜子位置，设平面镜AB，BC的夹角，，，求的值（用含有或的代数式表示）.
【答案】（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②；
理由如下：∵，
，
∴，
∵
∴
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）①要求∠GFC就是要求∠EFB，那么放在中来看，只要知道∠BEF即可，而∠BEF=∠AED=70°，问题就迎刃而解了。
②这一问利用两个平角的和减去四个小角得到同旁内角（）互补，从而说明两直线平行；
（2）本题是在第（1）问的基础上对条件作一些改变，使相关的角的度数一般化，解题思路并不复杂，只需要用含字母的代数式分别表示出，再将两者相加即可得出结论。
1 / 12025-2026学年北师大版数学八年级上册期末测试模拟题四
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·甘孜州）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象不经过的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·南充）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
3．（2023·广安）如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·黑龙江）若 是二元一次方程组 的解，则x＋2y的算术平方根为（ ）
A．3 B．3，－3 C． D． ，－
5．（2024·淄博）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．( )
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为；
②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后；
④，两地之间的距离是．
其中正确的结论有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．（2023·泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得（ ）
A． B．
C． D．
7．（2017·百色）两条直线y=k1x+b1和y=k2x+b2相交于点A（﹣2，3），则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·广元）为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表：
书籍本数 2 3 4 5 6
人数 2 2 2 3 1
下列关于书籍本数的描述正确的是（ ）
A．众数是3 B．平均数是3 C．中位数是4 D．方差是1
9．（2025八上·游仙期中）如图，将直尺与含30°角的直角三角尺摆放在一起，若∠2比∠1的2倍还多5°，则∠1的度数是（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
10．（2025八上·西湖月考）如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结．若记为α，为β，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·盘锦）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.”设有x只鸡，y只兔，根据题意，可列方程组为 .
12．（2022·随州）已知二元一次方程组，则的值为 .
13．（2024·扬州）如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为 ．
14．（2025·兰州） 射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如表，请根据表中信息估计新手是 ．（填写“甲”或“乙”）
甲 乙
平均成绩（单位：环） 6.58 7.67
方差s2 6.91 0.72
15．如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠E＝57°，∠AFC＝63°，则∠BAF的度数为 .
16．（2024·宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线yx上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八上·威宁期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025七下·杭州期中）解方程组：
（1）
（2）
19．（2017八下·罗山期末）如图，直线l经过点A（1，6）和点B（﹣3，﹣2）．
（1）求直线l的解析式，直线与坐标轴的交点坐标；
（2）求△AOB的面积．
20．如图，AB∥CD，过点 B 的直线 EF 交CD 于点G，在 AB，CD 之间作射线 BP，∠1 与∠2互余.
（1）试说明：BP⊥EF.
（2）作∠PBF 的平分线，交 CD 于点 H，若∠BHD=65°，求∠1的度数.
21．（2024·长春）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）a的值为 ；
（2）当x≤a时，求y与x之间的函数关系式；
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
22．（2025·潍坊） 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下．
【数据收集】
试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm）
56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60．
【数据整理】
把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，）
A B C D E
试验田玉米株频数 4 8 15 11 2
对照田玉米株频数 7 5 6 14 8
（1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由．
（2）【数据描述】
根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图．
补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数；
（3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可）
（4）【数据分析】
对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
试验田 49.5 51 49.73 15.10
对照田 52 52 50.28 40.05
根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况．
23．（2023·襄阳）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为元支，肉串的成本为元支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）
次数 数量（支） 总成本（元）
海鲜串 肉串
第一次 3000 4000 17000
第二次 4000 3000 18000
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
（1）求、的值；
（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串支，店主获得海鲜串的总利润为元，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求的最大值．
24．（2025七下·杭州期末）综合与实践
【问题情境】
自行车的尾灯自身并不发光，但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去，从而起到提醒汽车驾驶员的目的. 这一效果正是利用了角反射器的原理. 最简单的角反射器是由两个互相垂直的平面镜组成的.
【数学探究】
如图，入射光线DE经过两次反射后，得到光线FG，已知，.
（1） 如图1，AB，BC是两个互相垂直的平面镜，，
①若，求的度数.
②试判断入射光线DE和反射光线FG是否平行，并说明理由.
（2） 如图2，改变镜子位置，设平面镜AB，BC的夹角，，，求的值（用含有或的代数式表示）.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵由题意得，
∴图象经过第一、二、三象限，
∴图象不经过第四象限．
故答案为：D
【分析】先根据一次函数的图象与性质得到，进而即可求解.
2．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意分两种情况：
①当m+1＞0，即m＞-1时，y随x的增大而增大，
当x=5时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6，
∴5(m+1)+m2+1=6，
解得：m1=0，m2=-5(舍去)；
②当m+1＜0，即m＜-1时，y随x的增大而减小，
当x=2时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6，
∴2(m+1)+m2+1=6，
解得：m1=-3，m2=1(舍去)；
综上可得：当2≤x≤5时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6，则实数m的值为0或-3.
故答案为：A.
【分析】由题意分两种情况：
①当m+1＞0，即m＞-1时，y随x的增大而增大，②当m+1＜0，即m＜-1时，y随x的增大而减小，然后根据“当2≤x≤5时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6”可得关于m的方程，解之可求解.
3．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由浮力的知识可知当铁块完全浸没在水中时，浮力不变；当铁块的排水体积逐渐减小时，浮力减小；当铁块与水面无接触时，浮力将不再变化；
∴弹簧测力计的读数应先不变，再上升，再不变，
故答案为：A
【分析】根据浮力的知识即可得到弹簧测力计读数的变化情况，进而即可画出函数图象。
4．【答案】C
【知识点】算术平方根；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将 代入二元一次方程 中，
得到： ，解这个关于x和y的二元一次方程组，
两式相加，解 得，将 回代方程中，解得 ，
∴ ，
∴x＋2y的算术平方根为 ，
故答案为：C．
【分析】将 代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x＋2y的算术平方根即可．
5．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①乙比甲晚出发，图像显示，当时，，即在甲出发50min后，甲乙相遇，
乙出发时，两人第一次相遇，
即乙的锻炼用时为，结论①正确；
②观察函数图象，可知：当时，取得最大值m，
即甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确；
③设甲的速度为，乙的速度为，
根据题意得：，
解得：，
∴，
甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误；
④，
，两地之间的距离是，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故答案为：B．
【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用等知识。
①根据条件“甲先出发、 乙因故比甲晚出发 ”，结合图象可以发现，在甲出发50min后，甲乙相遇。因此计算可得出乙出发时两人第一次相遇；
②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为；
③在50min的时候甲乙相遇，此时甲的行走路程是（50-10）xm，乙的路程是（50-30）ym，因此有方程（50-10）x=（50-30）y；在第86min的时候，此时乙到达B第，即乙的路程（86-30）y减去甲的路程（86-10）x就是3600m，因此有方程（86-30）y-（86-10）x=3600，最后列出二元一次方程组，解出，的值，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；
④利用路程=速度×时间，即可求出，两地之间的距离是．
6．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得 ：。
故答案为：C。
【分析】根据甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等 ，可列方程为：9x=11y①，根据 两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可列方程为：（10y+x）-（8x+y）=13②，把①②联合成方程组。
7．【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵两条直线y=kix+b1和y=k2x+b2相交于点A（﹣2，3），
∴x=﹣2、y=3就是方程组 的解．
∴方程组的 解为： ．
故选：B．
【分析】由题意，两条直线y=kix+b1和y=k2x+b2相交于点A（﹣2，3），所以x=﹣2、y=3就是方程组 的解．
8．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、∵5出现了3次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是5，故A不符合题意；
B、这组数据的平均数是，故B不符合题意；
C、将此组数据从小到大排列，处于最中间的两个数是4和4
∴这组数据的中位数是4，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一组数据中出现次数最多的数是众数，可对A作出判断；利用平均数公式可求出这组数据的平均数，可对B作出判断；利用求中位数的方法求出这组数据的中位数，可对C作出判断；利用方差公式进行计算，可对D作出判断
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵将直尺与含30°角的直角三角尺摆放在一起， ∠2比∠1的2倍还多5°，
∴∠2=2∠1+5°，
∵AB∥CD，
∴∠3=∠2，
∵∠4+∠3+30°=180°， ∠4+∠1=90°，
∴90°-∠1+∠2+30°=180°，即∠2=60°+∠1，
∴2∠1+5°=60°+∠1，
∴∠1=55°，
故选： B.
【分析】根据题意得出∠2=2∠1+5°，根据平行线的性质可得∠3=∠2，再根据三角形内角和定理和三角板得出∠4+∠3+30°=180°，∠4+∠1=90°，即可求出∠1的度数.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；平行线的应用-证明问题；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：过点B作交的延长线于点G，如图：
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵点D是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：B．
【分析】过点B作交的延长线于点G，由同旁内角互补两直线平行得出BG∥AC，由二直线平行，内错角相等得 ，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得， 从而用“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等可得BG=CD，结合中点定义得BG=BD，再用“SAS”证，得，即可得．
11．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设有x只鸡，y只兔 ，
由题意得.
故答案为：.
【分析】设有x只鸡，y只兔 ，根据一只鸡一个头两只脚，一只兔一个头四只脚，及“上有三十五头，下有九十四足”列出方程组即可.
12．【答案】1
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】原方程组为，
由②-①得.
故答案为：1.
【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点：x，y的系数都相差1，因此由②-①，可求出x-y的值.
13．【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵
∴ 一次函数的图象与交于（-2，0）
则关于的方程的解为 x=-2
故答案为：.
【分析】本题考查的是一次函数与一次方程的关系，一次函数与x轴交点的横坐标就是对应的一次方程的解.
14．【答案】甲
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：
∵方差越大，成绩越不稳定，
∴新手是甲.
故答案为：甲 .
【分析】由表中信息可以看出，甲平均成绩较差，且方差更大，根据方差越大，成绩越不稳定；由此即可判断新手是甲，解答即可.
15．【答案】46°
【知识点】平行公理及推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解： 过点F作FG∥AB， 如图所示，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FG，
∴∠DCF=∠GFC， ∠BAF=∠GFA，
∵CF平分∠DCE，
∴设∠DCF=∠FCE=x， 则∠GFC=x， ∠GFA=∠AFC-∠GFC=63°-x，
∴∠BAF=∠AFG=63°-X，
在△CFH中，∠CHF=180°-∠FCE-∠AFC=180°-x-63°=117°-x，
∵AE平分∠BAF，
在△AEH中，
∵∠EHA=∠FHC，
解得： x=17°，
∴∠BAF=63°-17°=46°，
故答案为： 46°.
【分析】过点F作FG∥AB，根据平行线的性质得出∠DCF=∠GFC， ∠BAF=∠GFA， 设∠DCF=∠FCE=x， 则∠GFC=x， ∠GFA=∠AFC-∠GFC=63°-X，根据三角形内角和定理及对顶角相等建立方程求解即可.
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作的外接圆，D为圆心，连接CD，过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵∠ACB=90°，
∴AB是的直径，设AB=2AD=2BD=2r，
∴线段AB最小时，的半径r最小，
∵CD≥DF，
∴当CD⊥x轴时，CD最小，此时C、F重合，与x轴相切，
∵点A在直线上，且点A的横坐标为4，
∴A(4，3)，
∴AE=3，OE=4，
根据勾股定理，得OA=5，
∴OD=5-r，
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴∠DFO=∠AEO=90°，
∴DF∥AE，
∴，
∴，即，
解得：，
∴线段AB的最小值为，
故答案为：.
【分析】作的外接圆，连接CD，过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”得AB是的直径，设AB=2AD=2BD=2r，然后由“CD≥DF”可知当CD⊥x轴时，CD最小，此时C、F重合，与x轴相切，接下来求出点A的坐标，利用勾股定理得OA=5，从而有OD=5-r，易证，根据相似三角形对应边成比例得，解方程求出r的值，即可求出AB=2r的最小值.
17．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减即可求出答案.
（2）根据平方差公式，完全平方公式化简，再计算加减即可求出答案.
（1）解：原式；
（2）原式．
18．【答案】（1）解：，
②×3+①式得：8m=24，
解得：m=3，
将m=3代入②式得：6-n=4，
解得n=2，
∴此方程组的解为；
（2）解：
①×3-②式得：7x=14，
解得：x=2，
将x=2代入①式得：6-2y=7，
解得：，
∴此方程组的解为.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加法消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用减法消元法解二元一次方程组即可.
19．【答案】（1）解：设直线解析式为y=kx+b，
把点A（1，6）和点B（﹣3，﹣2）代入，
得， ，
解得：k=2，b=4，
所以，y=2x+4，
x=0时，y=4，
y=0时，x=﹣2，
则直线与x轴交点为（﹣2，0），与y轴交点为（0，4）
（2）解：△AOB的面积 2×6 2×2=8．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线l的解析式，解一元一次方程求出直线与坐标轴的交点坐标；（2）结合图形、根据三角形的面积公式计算即可．
20．【答案】（1）证明：∵ AB∥CD，
∴∠ABG+∠2=180°，
∵ ∠1 +∠2=90°，
∴∠ABG-∠1=90°，
∴∠PBG=90°，
∴ BP⊥EF
（2）解：∵BH是∠PBF 的平分线 ，∠PBF=90°
∴∠HBG=∠PBF=45°，
∵∠BHD=65°，
∴∠2=180°-∠HBG-∠BHD=180°-45°-65°=70°，
∵ ∠1 +∠2=90°，
∴ ∠1=90°-∠2=20°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质∠ABG+∠2=180°，再根据∠1与∠2互余可得∠ABG-∠1=90°，进而得出∠PBG=90°，即可得证；
（2）先求∠HBG的度数，再根据三角形的内角和求∠2的度数，最后根据∠1与∠2互余，即可得出答案.
21．【答案】（1）
（2）解：设当时，y与x之间函数关系式为，
图象经过，得
，
解得：，
∴．
（3）解：当时，，
∴先匀速行驶小时的速度为：，
∵，
∴汽车减速前没有超速．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)由题意可得：，
解得：．
故答案为：．
【分析】（1）根据题意：当以平均时速为行驶时，小时路程为千米，可得，即可求解；
（2）设当时，y与x之间函数关系式为，利用待定系数法求解即可得解；
（3）求出先匀速行驶小时的速度，然后比较即可得解．
22．【答案】（1）解：不赞同.
理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20．
若组数为5，则组距为4，是合适的．
若分成10组，则组距为2，不仅繁琐，且会使某些组的频数为0，容易将性质相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律.
（2）解：
D组对应的圆心角为
（3）解：试验田中长势良好的玉米株数为，占比65%；
对照田中长势良好的玉米株数占比为；
所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田
（4）解：从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；
而从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中．
综合以上信息，试验田长势好于对照田.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据题意进行分析即可求出答案.
（2）根据题意补全图形即可，再根据360°乘以D组占比即可求出答案.
（3）根据试验田与对照田长势良好的玉米株数的占比，比较大小即可求出答案.
（4）根据各统计量的意义进行分析即可求出答案.
23．【答案】（1）解：根据表格可得：
，
解得，
的值为3，的值为2；
（2）解：当时，店主获得海鲜串的总利润；
当时，店主获得海鲜串的总利润；
；
（3）解：设降价后获得肉串的总利润为元，令．
，
，
，
，
，
随的增大而减小，
当时，的值最小，
由题意可得：，
，
即，
解得：，
的最大值是0.5．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据表格得等量关系，列二元一次方程组求解即可；
（2）分和两段分别表示出函数表达式，最后综述.
（3）表示出降价后获得的肉串的总利润z，以及本次消费肉串利润和海鲜串利润的差值W，根据一次函数的性质以及x的取值范围得到W的最小值，且W≥0，即可确定a的最大值.
24．【答案】（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②；
理由如下：∵，
，
∴，
∵
∴
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）①要求∠GFC就是要求∠EFB，那么放在中来看，只要知道∠BEF即可，而∠BEF=∠AED=70°，问题就迎刃而解了。
②这一问利用两个平角的和减去四个小角得到同旁内角（）互补，从而说明两直线平行；
（2）本题是在第（1）问的基础上对条件作一些改变，使相关的角的度数一般化，解题思路并不复杂，只需要用含字母的代数式分别表示出，再将两者相加即可得出结论。
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