汕尾市2025-2026学年度普通高中毕业班综合测试（一）
数学
本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚 准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.
2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.
3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破 弄皱，不得使用涂改液 修正带 刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 某圆台形无盖水桶的表面积为，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则该水桶的容积为（ ）（水桶壁与底的厚度忽略不计）
A. B. C. D.
4. 双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（ ）
A. B. 不存在
C. D.
5. 定义在上的函数满足，且当时，则（ ）
A. B. C. 2 D.
6. 某投资公司计划投资A，B两种理财产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成本成正比例，其关系如图1所示，B产品的利润与投资成本的算术平方根成正比例，其关系如图2所示（利润与投资成本单位：万元）.假设该公司有20万元资金，并全部投入两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（ ）
A. 5.6万元 B. 5万元 C. 6万元 D. 4.8万元
7. 四只鸽子飞回三个不同的笼子，则至少有一个空笼子的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知圆为的外接圆，是边上一点，且平分，若，则（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 若，则
B.
C. 若，则
D. 若，则有最大值2
10. 分别是等差数列的前项和，则（ ）
A. 是等差数列
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
11. 已知函数，则（ ）
A. 若，且的对称中心为，则的极大值点为
B. 若，且，则函数有两个零点
C. 若有两个极值点，且，则只有一个零点
D. 若且，直线是过函数对称中心的切线，定点满足，则过点与相切的直线有三条
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的弧度__________.
13. 圆的圆心是椭圆的上焦点，且与直线相切，圆面积的最大值为__________.
14. 已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为5，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为__________.
四 解答题
15. 已知在处有极小值.
（1）求的值；
（2）设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）.
16. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点.
（1）若，求点到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
17. 已知分别为三个内角的对边，若且.
（1）求角以及边的大小；
（2）若分别是的中点，且交于点，求.
18. 记为递增数列的前项和，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）记的前项和为，证明：.
19. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数的值；
（2）当时，证明：在内存在唯一极小值点；
（3）若是负整数，且对任意的恒成立，求的最大值.汕尾市2025-2026学年度普通高中毕业班综合测试（一）
数学参考答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. B 2. D 3. B 4. C 5. D 6. D 7. B 8. A
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. AB 10. AC 11. ACD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 6或
13.
14. 16
四 解答题
15. （1）
（2）.
16. （1）.
（2）.
17. （1），6
（2）
18. （1）
（2）
（3）方法一：，
所以，①
因为，
所以，②
①+②得，
即，所以.
方法二：因为是递增数列，所以是递减数列.
所以，
所以，
所以
.
19. （1）
（2）当时，，令，则，
当时，，
故，即在上单调递增.
，
由零点存在定理，在有唯一零点，
且时，单调递减；时，单调递增，
故在内存在唯一极小值点.
（3）.
