北京市中关村中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷（PDF版，无答案）

一、选择题共 10小题，每小题 4分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）已知集合U x | x 1 , A x | x 2 ,则 =（ ）
(A) , 2 (B) , 1 1,2
(C) , 2 (D) , 1 1,2
2 n（ ）若 (2 x) (n N*)的展开式中常数项为 32，则 n=（ ）
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
（3）若复数 z满足 z ( 1 i) | 1 i |2，则 z （ ）
（A） 1 i （B） 1 i
（C）1 i （D） 1 i
（4）已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn ， a1 3， a1 a2 a3，则 Sn 的最大值为（ ）
（A）7 （B）6 （C）5 （D）4
5 x
2 y2
（ ）已知椭圆 1上的点M到该椭圆一个焦点 F的距离为 4，N是MF 的中点, O为
36 25
坐标原点,那么线段ON的长是 （ ）
（A）6 （B）5 （C）4 （D）3
（6）如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 2， E,F 分别是DD1,BB1的中点. 用过点
F 且 平行于平面 ABE的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为 （ ）
（A） 2 5 （B） 6
（C） 5 （D 5）
2
（7）设动直线 l与 C : (x 1)2 y2 5交于 A,B两点，若弦长 AB 既存在最大值又存在
最小值，则在下列所给的方程中，直线 l的方程可以是（ ）
（A） x 2y a （B） ax y 2a
（C） ax y 2 （D） x ay a
（8）设 an 为等比数列，则“存在 i j k，使得ai a j ak ”是“ an 为递减数列”的（ ）
1
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C） 充分必要条件 （D） 既不充分也不必要条件

（9）已知平面直角坐标系 xoy中，OA OB 2 , AB 2 ,设C 6,8 则 2CA CB 的
取值范围是（ ）
（A） 16, 20 （B） 16, 22
（C） 18, 22 （D） 18,20
（10）给出下列四个结论：

①存在定义域为 0, + ∞ 且单调递增的函数 使得 + 2 = 1 恒成立；
2
②存在定义域为 0, + ∞ 且单调递减的函数 使得 2 = ln 恒成立；
③使得 ∈ ， + = sin cos 恒成立的函数 存在且有无穷多个；
④使得 ∈ ， = sin cos 恒成立的函数 存在且有无穷多个.
其中所有正确结论的序号为（ ）
（A） ①④ （B）②③ （C） ②④ （D）③④
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分。
(11) 2若抛物线 y =2px p>0 上任意一点到点 1,0 的距离与到直线 x 1 的距离相等，
则 p= ___________

(12)已知向量 a 2,0 , b 1 ,则 a b 的最大值为___________; a b与 a的夹角的取值
范围是___________
(13) 2 2已知双曲线 x my 1，若m 1，则双曲线的渐近线方程为______；若双曲线上存
在四个点 A、B、C、D使得四边形 ABCD 是正方形，则m的一个取值为______
(14)我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道形状抽象而
来.如图所示，在五面体 中， // // ，四边形 ， ， 为等腰梯
形，且平面 ⊥平面 .其中 = ， = ， = （ > > ），且 到平面
的距离为 ， 和 的距离为 ，若 = 4， = 10， = 6， = 3， = 4，则该“羡除”的
体积为
2
（15）在平面直角坐标系内，动点M 与定点 F(0,1)的距离和M 到定直线 l : y 3的距
离的和为 4．记动点M 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论：
①曲线W 过原点；
②曲线W 是轴对称图形，也是中心对称图形；
③曲线W 恰好经过 4个整点（横、纵坐标均为整数的点）；
④曲线W 围成区域的面积大于8 3．
则所有正确结论的序号是___________
三、解答题共 6小题，共 85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）在△ABC中， sin 2C 3 sinC．
（I）求 C：
（II）若b 6，且△ABC的面积为6 3，求△ABC的周长．
（17）如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， A1A 平面 ABC，M , N 分别为 BB1, AC的中点，
AA1 AB AC 1．
（Ⅰ）求证：MN //平面 A1B1C；
（Ⅱ）若 AB A1C，求二面角 A1 B1C C1的大小．
（18）已知 x1,x2是函 f (x) 2 3sin xcos x 3cos
2 x 3sin2 x a 1( 0,a 0)的两个相
邻极值点.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使 f (x)的解析式能
唯一确定.
(Ⅰ) 求 f (x)的解析式；
3

(Ⅱ) 若 f (x)在区间[ ,m]上有且仅有 2 个零点，求m的取值范围。
4
条件①： x x 2 1 ； 条件②： f (x1) 2 3； 条件③： f ( ) 3 . 注：如果选择的条件2 6
不符合要求，本题得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
2 2
（19）已知椭圆 E : x y
a2
2 1 (a b 0)的左顶点为 A, 上、下顶点分别为 Bb 1
, B2 ，直线 AB1
的方程为 x 3y 3 0 .
（Ⅰ）求椭圆 E的方程及离心率；
（Ⅱ） P 是椭圆上一点，且在第一象限内，M 是点 P 关于 x轴的对称点. 过 P作垂直于 y
轴的直线交直线 AB1于点Q，再过 Q作垂直于 x轴的直线交直线 PB2 于点 N. 求 MNQ的
大小.
（20）已知函数 f (x) (x2 ax 1)ln x (a R).
(Ⅰ) 若 a 2，求函数 f (x)的单调区间；
(Ⅱ) 若函数 f (x)在区间 (0，1)和 (1，+ )上各恰有一个零点，分别记为 x1和 x2 ,
（ⅰ）证明：函数 f (x)在两点 (x1,0) , (x2 ,0)处的切线平行；
S
（ⅱ）记曲线 y f (x)在点 (x1,0)处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 S，求 x2 x1
的最大值。
（21）已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列．该数列前 n项的最大值记为 A n，第 n项之
后各项 a n 1, a n 2 , 的最小值记为 Bn ， d n A n Bn．
（Ⅰ）若{a n}为 2,1, 4, 3, 2,1, 4, 3, ，是一个周期为 4的数列（即对任意 n N
* ，a n 4 an），
写出 d1 , d 2 , d 3 , d 4 的值；
（Ⅱ）设 d是非负整数．证明：dn d（ n 1,2,3, ）的充分必要条件为{an}是公差为 d
的等差数列；
（Ⅲ）证明：若 a1 2， dn 1（ n 1,2,3, ），则{an}的项只能是1或者 2，且有无穷多
项为1．
4