湘教版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考培优卷（含答案）

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湘教版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考培优卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．将多项式分解因式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D．两直线平行，同位角相等
3．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．“荷花”是湖南省“省花”，其花粉直径约0.000083米，这里“0.000083”用科学记数法表示为（ ）．
A． B． C． D．
5．计算的结果是（ ）．
A． B． C． D．
6．设，，则可以表示为()
A． B． C． D．
7．对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．根据下列条件，能画出唯一的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
9．如图，将绕点旋转至，点在上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，是的中线，E是上的一点，连接，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的形状是 ．
12．若可分解为，则的值为 ．
13．如果是的一个因式，则的值为 ．
14．已知，则 ．
15．已知：，则的值为 ．
16．若关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ．
第II卷
湘教版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考培优卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．把下列各式因式分解：
(1) (2)
18．先化简，后求值：，其中．
19．解方程：
(1) (2)
20．计算：
(1) (2)
21．如图，学校准备制作一块长方形宣传栏，用于展示校园文化．已知宣传栏的长为，宽为．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为、宽为的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品．
(1)计算长方形宣传栏的周长（结果化为最简二次根式）；
(2)求用于张贴学生作品的面积．
22．如图，点、、、在同一条直线上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
23．为庆祝中华人民共和国成立七十六周年，某校组织了大型的庆祝活动，需保证每位师生都拥有一面小五星红旗．已知该校学生人数比教师人数的8倍还多人，购买教师用小五星红旗和学生用小五星红旗分别花了元和元．
(1)求该校教师人数和学生人数；
(2)在庆祝活动期间，学校为每位教师和学生提供一瓶饮用水，且购买饮用水的费用不超过元，则每瓶饮用水的价格不超过多少元？
24．给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”．
例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”．
(1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”；
(2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值；
(3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值．
25．如图，在中，，于点D，，且的垂直平分线分别交，于O，M两点，连接并延长交于点E．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的度数．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C D C C D D D
二、填空题
11．等腰三角形
12．
13．
14．1 + 2
15．
16．且
三、解答题
17．【解】（1）
；
（2）
．
18．【解】解：原式
∵，，且，
∴，，
∴，
∴原式．
19．【解】（1）解：
经检验：是原分式方程的解；
（2）解：
经检验：是原分式方程的解.
20．【解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
21．【解】（1）解：（）．
答：长方形宣传栏的周长为．
（2）（）．
答：用于张贴学生作品的面积为．
22．【解】（1）证明：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
23．【解】（1）解：设该校教师人数为，则学生人数为；
由题意得：，
解得：；
经检验，是原方程的解；
∴；
即：教师人数为人，学生人数为人；
（2）解：设每瓶饮用水的价格为元，由题意得：
，解得；
∴每瓶饮用水的价格不超过元．
24．【解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，
所以数对是关于的分式方程的一个“1相关系数”，
故①正确；
当，时，使得关于的分式方程的解是，
，
所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”；
故②错误；
当，时，使得关于的分式方程的解是，
无意义，
所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”；
故③错误；
故答案为：①；
（2）解：根据定义，分式方程的解为，
故．
解得；
（3）解：根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”，
得关于的分式方程的解是，
回代方程，得，
整理，得，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∵方程的解为，
∴，
∵方程有整数解，
∴
当时，，（舍去）；
当时，，（舍去）；
故或．
25．【解】（1）证明：于点D，
；
（2）垂直平分，
，
于点D，
，
；
（3）解：设，则，
，
．
，
．
在中，有，即，
解得．
，
所以的度数为．
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