湘教版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考调研卷（含答案）

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湘教版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考调研卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列四组线段中，不能作为三角形三条边的是（　　）
A．4，5，6 B．5，12，13
C． D．，，
2．若，，则的值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列多项式能用公式法因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
6．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
8．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ）
A． B．
C． D．
9．若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．－1或
10．如图，已知在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．若有意义，则应满足 ．
12．把因式分解的结果是 ．
13．若多项式因式分解，有一个因式是，则m的值为 ．
14．关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ．
15．已知实数满足，则分式为 ．
16．如图，已知，点，，，在同一条直线上，交于点．若四边形的面积为，则四边形（即阴影部分）的面积为
第II卷
湘教版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考调研卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．因式分解．
(1) (2)
18．先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值．
19．解方程
(1) (2)
20．某超市用4500元购进一批水果，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该种水果，但这次的进货单价比第一次的单价提高了，购进数量比第一次的2倍还多100千克．
(1)该超市第一次购进水果的单价是每千克多少元？
(2)如果超市按每千克15元的定价出售，一部分水果售出后，余下的500千克按定价的8折售完．那么这两次水果销售中，该超市总共获利多少元？
21．如图，是等边三角形，点、分别在、上，且，与相交于点．
(1)试说明；
(2)求的度数．
22．综合探究：像，这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；
根据以上信息解答下列问题：
(1)与 互为有理化因式；
(2)比较大小： ；（填“>”“<”或“=”）
(3)计算：．
23．因为，这说明多项式有一个因式，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．
利用上述阅读材料求解：
(1)判断是否是多项式的一个因式？说明理由．
(2)若是多项式的一个因式，求k的值；
(3)在（2）的条件下，将多项式因式分解．
24．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”．
(1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”．
①，（ ）②（ ）
(2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”；
(3)若与是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值．
25．如图1，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，．
(1)求B点坐标；
(2)如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以为直角边作等腰直角，，若点，求点D的坐标；
(3)如图3，过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在的延长线上，以为直角边作等腰，过A作x轴垂线交于点M，连，等式是否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 1 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D C B C D A C A
二、填空题
11．
12．
13．
14．且
15．
16．9
三、解答题
17．【解】（1）解：
（2）解：
18．【解】解：
∵ ，
∴整数 的值为 ，
又∵ 且（分母不为零），
∴ ，
∴原式．
19．【解】（1）解：
方程两边同乘，得到，
去括号得，解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
（2）
方程两边同乘，得到，
去括号合并得，解得．
检验知时，，
所以是原分式方程的解．
20．【解】（1）解：设该超市第一次购进水果的单价是每千克元，则第二次进货单价是每千克元，
，
解得，
经检验，是分式方程的解，
答：该超市第一次购进水果的单价是每千克10元；
（2）解：由题意可知，第一次购进水果的数量为：（千克）；第二次购进水果的数量为：（千克）；
则两次一共购进水果：（千克）；
按15元每千克出售的水果有：（千克），
则总销售额为：（元），
总成本为：（元），
总获利为：（元）．
21．【解】（1）证明：为等边三角形，
，，
在和中，
；
（2）解：，
，
．
22．【解】（1）解：与互为有理化因式，
故答案为：（答案不唯一）
（2）解：∵，，
而，
∴，
故答案为：；
（3）解：
．
23．【解】（1）解：是多项式的一个因式，
理由：∵如果是多项式的一个因式，
∴当时，，
∴多项式的值为0，即是多项式的一个因式．
（2）解：∵是多项式的一个因式，
∴当时，，
即，解得．
（3）解：当时，多项式为，因式分解得．
24．【解】（1）解：①∵，
，
∴，
∴是分式的“互动分式”，
②∵，
，
∴，
∴不是分式的“互动分式”，
故答案为：①√；②×．
（2）解：设的“互动分式”为，
则，
∴，
即，
∴．
所以分式的“互动分式”为；
（3）解：∵设与为“互动分式”，
∴，或，
∴，或
解得：，或，
∵是的“互动分式”，
∴且，，或且，，
∴，或，
解得，或，
∵关于的方程，
整理得：，
∵解为正整数，为正整数，
∴，
经检验时，，
∴符合意义，
当时，
∴，
∴当时的最大值是7；
当时，
，
∴当时的最大值是．
综上所述：最大值为或．
25．【解】解：（1）如图所示，作于，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，作于，于，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
即，
∵，
∴，
又∵，
在与中，
∴≌，
∴，，
∵点，
∴，
∴，
，
∴；
（3）成立，理由如下：
如图所示，在上截取，连，
∵，
∴，
又∵，
在与中，
∴≌，
∴，，
又∵为等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
在与中，
∴≌，
∴，
∴，
∴，
即．
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