湘教版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷培优卷（含答案）

湘教版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷培优卷
（测试范围第一章因式分解到第四章三角形）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2． 下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.13133
3．若与是同一个正数的两个平方根，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
5．分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
6．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以11就是一个“智慧数”．下面4个数中不是“智慧数”的是（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
7．若将分式 中的， 都扩大10倍．则分式的值（ ）
A．扩大10倍 B．不变 C．缩小10倍 D．无法确定
8．如图，和中，，添加下列哪一个条件无法证明
（ ）
A． B． C． D．
9．已知无理数，估计它的值在两个连续整数（ ）之间．
A． B． C．0，1 D．1，2
10．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是 ．
12．若，则 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 ．
14．等腰三角形的两条边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长是 ．
15．如图，在中，垂直平分，若，则的周长等于 ．
16．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
第II卷
湘教版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷培优卷
（测试范围第一章因式分解到第四章三角形）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．先化简，然后从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值.
18．计算：．
19．如图，已知，，，与交于点O．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
20．为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A，B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同．
(1)求A，B两种学习用品的单价各是多少元．
(2)若购买A，B两种学习用品共100件，且总费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝45°时，求∠DEF的度数．
22．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；
(2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
23．如图，在△EBD中，EB=ED,点C在BD上，CE=CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA=EC．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证△ABC为等边三角形.

24．已知：在中，，，点是上一点，交的延长线于点．
(1)如图，求证：；
(2)如图，若交的延长线于点，连接，过点作于点，交于点，求证：；
(3)如图3，若是的平分线，交于点，交于点，求的值．
25．已知是等腰直角三角形，，点A在x轴的负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．
(1)如图1，若点A的坐标是，点B的坐标是，过点C作轴于点H，则线段______，点C的坐标为______；
(2)如图2，过点C作轴于点D，请猜想线段之间的等量关系并写出证明过程；
(3)如图3，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点C作轴于点F，请直接写出与之间的等量关系．
中小学教育资源及组卷应用平台
试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C D A B C B C B
二、填空题
11．40°或100°
12．1
13．12．
14．19
15．18
16．
三、解答题
17．【解】解：
，
∵或2时，分母为，分式无意义，
∴只能取或1，
∴当时，原式，（或者选择当时，原式）．
18．【解】
．
19．【解】（1）证明：，
，
，
，
即，
在与中
，
；
（2）解：在中，，
，
，
是的一个外角，
20．【解】（1）解：设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元，
依题意得，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元．
（2）解：设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件，
依题意得：，
解得：．
答：最多购买B型学习用品80件．
21．【解】∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△CEF中
，
∴△DBE≌△CEF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△CEF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣45°）＝67.5°
∴∠1+∠2＝112.5°
∴∠3+∠2＝112.5°
∴∠DEF＝67.5°
22．【解】（1）解：一元一次方程与分式方程是“相似方程”，理由如下：
∵，
解得：，
∵，
∴
解得：，
检验：是原分式方程的解
一元一次方程与分式方程是“相似方程”；
（2）解：不存在，理由如下：
∵
∴
∵
∴
解得
当时，即时，方程有意义
假设关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”
∴
则
解得
此时与相矛盾
∴关于x的一元一次方程与分式方程不是“相伴方程”
23．【解】（1）∵CE=CD，
∴∠D=∠DEC，
∴∠ECB=∠D+∠DEC=2∠D．
∵BE=DE，
∴∠EBC=∠D．
∴∠ECB=2∠EBC．
又∵BE⊥CE，
∴∠ECB=60°．
∵∠ECB=∠CED+∠EDC,
∴∠EDC=30°，
∵EB=ED，
∴∠EBC=∠EDC=30°.
（2）证明∵CE=CD，
∴∠D=∠DEC，
∴∠ECB=∠D+∠DEC=2∠D．
∵BE=DE，
∴∠EBC=∠D．
∴∠ECB=2∠EBC．
又∵BE⊥CE，
∴∠ECB=60°．
∵BE⊥CE，AE=CE，
∴AB=BC．
∴△ABC是等边三角形．
24．【解】（1）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：∵，，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，过点作于，交于，则，
∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴．
25．【解】（1）解：，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
故答案为：；；
（2）解：或，理由如下：
当点在轴下方时，如图，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
当点在轴上方时，如图，
同（1）原理可得，
，，
，
；
综上，或；
（3）解：如图，延长，相交于点，
，
轴，
，
，
，
在和中，
，
，
，
轴平分，轴，
，
，
，
，
．