湘教版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷拔尖卷（含答案）

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湘教版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷拔尖卷
（测试范围第一章因式分解到第四章三角形）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应为，用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的3倍 B．变为原来的
C．变为原来的 D．不变
4．对于任意整数a，多项式都能( )
A．被整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除
5．相邻两边长为的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（ ）
A．260 B．290 C．360 D．390
6．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，等边的边长为4，平分，点在的延长线上，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．如果 是一个完全平方式，那么k是( )
A．6 B．-6 C．6 D．18
9．如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．设，，，则值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．比较大小： （填“”、“”或“”）．
12．一个正数的两个平方根分别为3x+2和5x+6，则这个正数为
13．若分式的值为零，则x的值为 ．
14．已知，的周长为，如果，， ．
15．若m，n为实数，且，则的值为 .
16．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为 ．
第II卷
湘教版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷拔尖卷
（测试范围第一章因式分解到第四章三角形）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．化简：
(1)
(2)
18．先化简，再求值：，其中a＝－．
19．如图，在中，是的垂直平分线，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．如图，，点D在边上，和相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
21．长沙市北雅中学拟举办“青春似火，激情无限”运动会．为展现学生的青春活力和蓬勃朝气，使学生之间、师生之间和谐融洽的情谊得到进一步发展，计划选购一批篮球与足球，每个篮球的价格比每个足球的价格高20元，用480元单独购进篮球的件数与320元单独购进足球的件数相同．
（1）足球与篮球的单价分别为多少元？
（2）若学校计划购买这种足球与篮球共40个，且投入的经费不超过2100元，要使购买的篮球数量大于足球数量，则共有几种购买方案？
22．观察下列算式，
第一个式子； 第二个式子；
第三个式子； 第四个式子；……
根据你发现的规律解决下列问题：
(1)写出第n个式子： （n为正整数）．
(2) （n，m为正整数且）．
(3)若，试求的值．
23．如图，是等边三角形外部一点，连接，，且，过点作交于点，交于点．
(1)求证：是等边三角形；
(2)连接，若，，求的长．
24．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”．
(1)在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是______．（填序号）
(2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数．
①求证：“双奇差数”都能被8整除．
②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，请给出验证．
(3)若m、n为正整数，且，若是“双奇差数”，求的最小值．
25．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如：分式，，，则M与N互为“和整分式”，且“和整值”为1．
(1)已知分式，，A与B互为“和整分式”，且“和整值”为3，若x为正整数，分式B的值为正整数．
①C所代表的代数式为________；
②求x的值．
已知分式，互为“和整分式”，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C B C B C A B
二、填空题
11．
12．
13．
14．13
15．2
16．
三、解答题
17．【解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【解】解：原式
，
当时，．
19．【解】（1）证明：∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
20．【解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，且，，
∴．
21．【解】解：（1）设足球每个x元，则篮球每个(x+20)元，由题意得
解得
x=40，
经检验x=40符合题意，
40+20=60元，
答：足球每个40元，篮球每个60元；
（2）设购买足球a个，则购买篮球(40-a)个，由题意得
，
解得
15≤a<20，
∴当a=15时，40-a=25；
当a=16时，40-a=24；
当a=17时，40-a=23；
当a=18时，40-a=22；
当a=19时，40-a=21；
∴共有5种购买方案．
22．【解】（1）解：第n个式子为： ，
故答案为：．
（2）解：设
∴
令，则
令，则
∴
故答案为：.
（3）解：∵
∴，
解得，
∴
.
23．【解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
24．【解】（1）解：①46不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意；
②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意；
③68不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意；
故答案为：②；
（2）解：①，
因为k为正整数，所以能被8整除，
因此：“双奇差数”都能被8整除．
②设四个连续奇数为、、、，
，
，
，
，，
所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数．
（3）解：因为m、n为正整数，且，
，
因为是“双奇差数”，
所以，其中k为正整数，所以，
因为，即，所以当最小时，有最小值，
所以当最小时，有最小值，
当时，，不是完全平方数；
当时，，不是完全平方数；
当时，，由得，，
∴的最小值为7．
25．【解】（1）解：①，，
．
与B互为“和整分式”，且“和整值”为3，
，
．
②，且x为正整数，分式B的值为正整数，
或，
（舍去）．
（2）解：由题意，得，
，
，
整理，得．
方程无解，
或，
当时，解得；
当，时，，
解得．
综上，m的值为1或．
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