北师大版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷调研卷（含答案）

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北师大版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷调研卷
（测试范围第一章勾股定理到第五章二元一次方程组）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列图形中的曲线不能表示是的函数的是（　　）
A．B．C．D．
2．若把一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到图象解析式是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点，都在直线上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
5．若，则的值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
6．若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移个单位长度后恰好经过点，则的值为(　　)
A．10 B．8 C．5 D．3
8．《孙子算经》中有一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何，意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？假设木头长尺，绳子长尺，则根据题意列二元一次方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则的值是（　　）
A．6 B． C．3 D．
10．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式．在中，若，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．比较大小： （填“”、“=”、“”）．
12．直线过点，将它向下平移2个单位后所得直线的表达式是 ．
13．平面直角坐标系中，已知点，直线轴，且，则点B坐标为 ．
14．函数与的图象如图所示， 则关于x的方程的解为 ．
15．如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，；记的面积为，的面积为，则的值为 ．
16．一个正数的两个不同的平方根分别为和，则的值为 ．
第II卷
北师大版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷调研卷
（测试范围第一章勾股定理到第五章二元一次方程组）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算
(1)
(2)
(3)
18．求下列各式中x的值．
(1)
(2)
19．2025年，洛阳市继续在创建全国文明城市的过程中，积极推动城市精细化管理，加强市容市貌提升和城市环境整治．工作人员在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化．经测量，，，，，，求空地的面积．
20．解方程组：
（1）；（2）；（3）．
21．（1）已知的算术平方根是2，是的立方根，c是的整数部分，求的值；
（2）若，求的平方根．
22．已知关于x，y的方程组．
（1）请写出方程x+3y＝7的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足2x﹣3y＝2，求m的值；
（3）如果方程组有正整数解，求整数m的值．
23．某服装经销商计划购进型、型两种型号的童装．若购进1件型童装和1件型童装需用50元，若购进2件型童装和3件型童装需用120元．
(1)求每件型童装和每件型童装的进价各多少元；
(2)该经销商计划用不超过2500元的成本，购进型童装和型童装共100件．若型童装的定价为260元；型童装的定价为220元，且全部以定价售完该批童装．该经销商获得的最大利润是多少？
24．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线m：y＝x﹣1与x轴、y轴分别交于点A，B，直线n：y＝﹣2x+b经过点A，并与y轴交于点C．
（1）求A，B两点的坐标及b的值．
（2）若动点P在直线AC上运动，
①当时，求点P的坐标；
②当点P与点C重合时，在第一象限内是否存在一点Q，使△APQ为等腰直角三角形，若存在直接写出点Q的坐标；若不存在说明理由．
25．定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”．
(1)点在直线的“友好直线”上，则 ；
(2)直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标：
(3)对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值．
参考答案
一、选择题
1—10：BADDD AAABC
二、填空题
11．
12．
13．或
14．
15．66
16．
三、解答题
17．【解】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
18．【解】（1）解：∵，
∴，
∴，；
（2）∵，
∴，
∴．
19．【解】解：如图，连接．
∵，，
∴在中，．
∵，，
∴．
∴是直角三角形，．
∴
20．【解答】解：（1）将原方程组标号得，
将①代入②得2x+4（3x﹣1）＝24，
∴x＝2，
将x＝2代入①得y＝5，
∴；
（2）将原方程组标号得，
①×2得：6x﹣4y＝4③，
②+③得：11x＝5，
∴，
将代入①得：
，
∴，
∴；
（3）将原方程组标号得，
整理①得3（x+y）+2（x﹣y）＝36③，
将②代入③得4（x﹣y）+2（x﹣y）＝36，
解得x﹣y＝6④，
将④代入③得3（x+y）+12＝36，
解得x+y＝8⑤，
④+⑤得2x＝14，
∴x＝7，
将x＝7代入⑤，得y＝1，
∴．
21．【解】解：（1）的算术平方根是2，是的立方根，
，，
解得：，，
，
，
的整数部分是3，
，
；
（2），
，，
即，
解得：，
，
的平方根是．
22．【解答】解：（1）x+3y＝7，
x＝7﹣3y，
∵x、y为正整数，
∴7﹣3y＞0，
∴y，
∴y只能为1和2，
当y＝1时，x＝4；
等y＝2时，x＝1，
所以方程x+3y＝7的所有正整数解是，；
（2），
∵方程组的解满足2x﹣3y＝2，
∴得出方程组，
解方程组得：，
把代入x﹣3y+mx+3＝0，得3﹣4+3m+3＝0，
解得：m；
（3），
把代入②，得4﹣3+4m+3＝0，
解得：m＝﹣1，
把代入②，得1﹣6+m+3＝0，
解得：m＝2，
即m＝2或﹣1．
23．【解】（1）设每件型童装的进价元，每件型童装的进价元，
根据题意得：，
解得：，
答：每件型童装的进价30元，每件型童装的进价20元．
（2）设购进型童装件，则型童装件，利润为元，根据题意得：
即：，
随着的增大而增大，
当时，最大，最大值为：
该经销商获得最大利润是21500元
24．【解答】解：（1）直线m：y＝x﹣1，令y＝0，则x＝1，
∴点A的坐标为（1，0），
令x＝0，则y＝﹣1，
∴点B的坐标为（0，﹣1），
将A（1，0）代入直线n：y＝﹣2x+b，得0＝﹣2+b，
解得b＝2；
（2）①由（1）知，直线AC的表达式为y＝﹣2x+2，
∴C（0，2），
∴S△ABCBC OA（1+2）×1，
设点P（t，﹣2t+2），
∵S△AOPS△ABC，
∴S△AOP1×|﹣2t+2|，
解得t或，
∴点P的坐标为（，）或（，）；
②当点P与点C重合时，P（0，2），
在第一象限内存在一点Q，使△APQ为等腰直角三角形，分∠AQP＝90°，AQ＝PQ；∠QAP＝90°，AQ＝AP；∠APQ＝90°，AP＝QP三种情况，
当∠AQP＝90°，AQ＝PQ时，过点Q作y轴的平行线交x轴于点D，交过点P与x轴平行的直线于点E，
设点Q（m，n），而点A、P的坐标分别为：（1，0）、（0，2），
∵∠PQE+∠AQD＝90°，∠QAD+∠AQD＝90°，
∴∠QAD＝∠PQE，
又∵∠ADQ＝∠QEP＝90°，AQ＝QP，
∴△ADQ≌△QEP（AAS），
∴PE＝QD，EQ＝DA，
∴，解得，
∴点Q的坐标为（，）；
当∠QAP＝90°，AQ＝AP时，过点Q作QD⊥x轴于点D，
设点Q（m，n），而点A、P的坐标分别为：（1，0）、（0，2），
同理得△ADQ≌△POA（AAS），
∴AD＝PO＝2，DQ＝OA＝1，
∴OD＝3，
∴点Q的坐标为（3，1）；
当∠APQ＝90°，AP＝QP时，过点Q作QD⊥y轴于点D，
设点Q（m，n），而点A、P的坐标分别为：（1，0）、（0，2），
同理得△QDP≌△POA（AAS），
∴QD＝PO＝2，DP＝OA＝1，
∴OD＝3，
∴点Q的坐标为（2，3）；
综上，点Q的坐标为（，）或（3，1）或（2，3）．
25．【解】（1）解：∵直线的友好直线为
（根据定义，交换、得友好直线），
又∵点在上，
∴，解得．
故答案为：．
（2）解：∵直线的友好直线为
（交换、得），
∵点在和上，
∴，
解得，
∴点的坐标为．
（3）∵直线的友好直线为，
∵点在上，
∴①；
∵点在上，
∴②，
将①代入②：，
整理得：，
∵对任意该等式均成立，
∴系数需为0，
即，解得．
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