北师大版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷培优卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷培优卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 849.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-24 00:00:00 | ||
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文档简介
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北师大版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷培优卷
（测试范围第一章勾股定理到第五章二元一次方程组）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列表述中能确定准确位置的是（ ）
A．教室从左到右第3列 B．文博演出中心第10排
C．北偏东 D．东经，北纬
2．在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，平行于x轴，，则点Q的坐标是（ ）
A．或 B．
C． D．或
3．已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（ ）
A．30 B．60 C．78 D．不能确定
4．一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知一次函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象经过点
B．该函数的图象不经过第四象限
C．y的值随x的值的增大而增大
D．该函数的图象与x轴的交点坐标为
6．已知方程组，则x+y+z的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．m为何值时，关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数（ ）
A．1 B．﹣5 C．5 D．14
8．如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（ ）
A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8
9．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图的形状，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（ ）．
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
10．长方形ABCD中，，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（ ）
A．5 B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．若，则的立方根是 ．
12．点P在第四象限，且点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是5，那么点P的坐标为 ．
13．若点，在一次函数的图象上，则 ．（填“”、“”或“”）．
14．如图，，，，，数轴上点表示的数是 ．
15．如图，点是内一点，且，若是等腰三角形，，，，则的度数为 ．
16．在正方形中，E是边上一点，连接，将正方形沿折叠，使点C的对应点落在正方形内部，连接并延长，交边于点F，的延长线交于点G，此时恰有，若，则 ．
第II卷
北师大版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷培优卷
（测试范围第一章勾股定理到第五章二元一次方程组）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算
(1) (2)
18．（1）计算：
①；
②．
（2）求下列各式中x的值
①；
②．
19．一个正数x的两个不同的平方根分别是和．
(1)求a和x的值；
(2)化简：．
20．解方程组．
(1) (2)
21．已知关于的方程组与有相同的解，
(1)求此相同的解；
(2)求的值．
22．5G时代的到来将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如下表所示：
价格 型号 进价（元/部） 售价（元/部）
A 3000 3400
B 3500 4000
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元．手机销售完成后共获得利润4400元．
(1)营业厅购进 A、B两种型号手机各多少部？
(2)若营业厅再次购进A、B两种型号机共20部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案，营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
23．问题提出
（1）如图1，在中，．若，，，则______．
问题探究
（2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且．
求证：．
问题解决
（3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长．
24．如图，长方形摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，，，的平分线在直线上，且交于点P．
(1)求直线的函数表达式；
(2)如图①，若点D在线段上运动（不与点A，P重合），设点D的横坐标为x，在点D的运动过程中，试求出的面积S与x的函数关系式；
(3)如图②，请在y轴上找一点N，使的周长最小，并求出此时点N的坐标和的周长．
25．如图，在平面直角坐标系中，点A是直线l：在第一象限内的一个动点，点B在x轴正半轴上．以OA，OB（OA＜OB）为边构造 AOBP，点P关于直线AB的对称点为Q，连接AQ，BQ，线段AQ与x轴的交点为C．
（1）求证：AC＝BC；
（2）当AC⊥OB时，求；
（3）若B点坐标为（4，0），直接写出当△BCQ是等腰三角形时P点的坐标．
参考答案
一、选择题
1—10：DAABA CCDBC
二、填空题
11．
12．
13．
14．
15．
16．4
三、解答题
17．【解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【解】解：（1）①；
②
；
解：（2）①，
，
或；
②，
．
19．【解】（1）解：由题意得
，
解得：，
；
（2）解：原式
．
20．【解】（1）解：，
∴得，
∴，
解得，
把代入，得，
解得，
∴方程组的解是；
（2）解：，
得，
∴③，
，得，
解得，
把代入，得，
解得：，
∴方程组的解是
21．【解】（1）解：已知关于的方程组与有相同的解，
与有相同的解，
解，得到，
故相同的解为；
（2）解：将代入，
得到，
解得
，．
22．【解】（1）解：设营业厅购进A，B两种型号手机各x部、y部，则：
，
解之，得：，
答：营业厅购进A，B两种型号手机各6部，4部．
（2）解：设购进A种型号机x部，则购进B种型号机部，获得的利润为w元，由题意得：
，
因为B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，
所以，
解得：，
因为，，
所以w随着x的增大而减小，
所以当时，w取得最大值，此时，，
所以方案为：再次购进A种型号机7部，B种型号机13部，获得的利润最大，最大利润是9300元．
23．【解】（1）解：，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2）证明：于点，
在中，，在中，，
在中，，在中，，
，
；
（3）解：，，，
，
，
，，
，
点为的中点，
，
，
米，
骑行小道的长为米．
24．【解】（1）解：∵长方形，
∴，，
∴，
∵的平分线在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，则：，
解得：，
∴；
（2）过点作轴，交轴于点，交于点，则：，
由（1）知，直线的解析式为，
∵点在线段上，且不与点A，P重合，横坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
即：；
（3）作点关于轴的对称点，连接，则：，
∵的周长，
∴当点在线段上时，的周长最小为的长，
同（1）法可得直线的解析式为，
∴当时，，
∴，
作轴于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴周长的最小值为．
25．【解答】（1）证明：∵四边形AOBP是平行四边形，
∴AP∥OB，
∴∠BAP＝∠ABO，
∵点P关于直线AB的对称点为Q，
∴∠BAP＝∠QAB，
∴∠QAB＝∠ABO，
∴AC＝BC．
（2）解：过点P作PM⊥x轴于点M，
在平行四边形OAPB中，OA＝BP，OA∥PB，
∴∠AOC＝∠PBM，
在△AOC和△PBM中，
，
∴△AOC≌△PBM（AAS），
∵四边形AOBP是平行四边形，AC⊥OB，
∴OB＝AP，AC⊥AP，
设A点坐标（3a，4a），
∴OC＝3a，AC＝4a，
∵AC＝BC，
∴BC＝AC＝4a，AP＝AQ＝7a，OM＝10a，PM＝4a，CQ＝3a，
∴，
，
∴.．
（3）解：过点A作AN垂直x轴于点N，
设AN＝4m，ON＝3m，则OA＝BP＝BQ＝5m，
当点A在第一象限时：
①当BC＝BQ时，
BC＝5m，OC＝4﹣5m，CN＝4﹣8m，
∵AC＝BC，
∴AC＝5m，
∴在Rt△ACN中，AN2+CN2＝AC2，
∴（4m）2+（4﹣8m）2＝（5m）2，
解得，（舍去），
∴；
②当BC＝CQ时，
∵OB＝AQ，AC＝BC，
∴OB﹣BC＝AQ﹣AC，即CQ＝OC，
∴OC＝BC＝BC＝AC＝2，
∴CN＝2﹣3m，
∴在Rt△ACN中，AN2+CN2＝AC2，
即（4m）2+（2﹣3m）2＝22，
解得，
∴；
③当CQ＝BQ时，
OC＝CQ＝BQ＝5m，
∴CN＝2m，AC＝BC＝4﹣5m，
∴在Rt△ACN中，AN2+CN2＝AC2，
即（2m）2+（4m）2＝（4﹣5m）2，
解得（舍去），，
∴；
综上，P点坐标（或或．
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北师大版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷培优卷
（测试范围第一章勾股定理到第五章二元一次方程组）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列表述中能确定准确位置的是（ ）
A．教室从左到右第3列 B．文博演出中心第10排
C．北偏东 D．东经，北纬
2．在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，平行于x轴，，则点Q的坐标是（ ）
A．或 B．
C． D．或
3．已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（ ）
A．30 B．60 C．78 D．不能确定
4．一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知一次函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象经过点
B．该函数的图象不经过第四象限
C．y的值随x的值的增大而增大
D．该函数的图象与x轴的交点坐标为
6．已知方程组，则x+y+z的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．m为何值时，关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数（ ）
A．1 B．﹣5 C．5 D．14
8．如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（ ）
A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8
9．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图的形状，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（ ）．
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
10．长方形ABCD中，，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（ ）
A．5 B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．若，则的立方根是 ．
12．点P在第四象限，且点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是5，那么点P的坐标为 ．
13．若点，在一次函数的图象上，则 ．（填“”、“”或“”）．
14．如图，，，，，数轴上点表示的数是 ．
15．如图，点是内一点，且，若是等腰三角形，，，，则的度数为 ．
16．在正方形中，E是边上一点，连接，将正方形沿折叠，使点C的对应点落在正方形内部，连接并延长，交边于点F，的延长线交于点G，此时恰有，若，则 ．
第II卷
北师大版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷培优卷
（测试范围第一章勾股定理到第五章二元一次方程组）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算
(1) (2)
18．（1）计算：
①；
②．
（2）求下列各式中x的值
①；
②．
19．一个正数x的两个不同的平方根分别是和．
(1)求a和x的值；
(2)化简：．
20．解方程组．
(1) (2)
21．已知关于的方程组与有相同的解，
(1)求此相同的解；
(2)求的值．
22．5G时代的到来将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如下表所示：
价格 型号 进价（元/部） 售价（元/部）
A 3000 3400
B 3500 4000
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元．手机销售完成后共获得利润4400元．
(1)营业厅购进 A、B两种型号手机各多少部？
(2)若营业厅再次购进A、B两种型号机共20部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案，营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
23．问题提出
（1）如图1，在中，．若，，，则______．
问题探究
（2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且．
求证：．
问题解决
（3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长．
24．如图，长方形摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，，，的平分线在直线上，且交于点P．
(1)求直线的函数表达式；
(2)如图①，若点D在线段上运动（不与点A，P重合），设点D的横坐标为x，在点D的运动过程中，试求出的面积S与x的函数关系式；
(3)如图②，请在y轴上找一点N，使的周长最小，并求出此时点N的坐标和的周长．
25．如图，在平面直角坐标系中，点A是直线l：在第一象限内的一个动点，点B在x轴正半轴上．以OA，OB（OA＜OB）为边构造 AOBP，点P关于直线AB的对称点为Q，连接AQ，BQ，线段AQ与x轴的交点为C．
（1）求证：AC＝BC；
（2）当AC⊥OB时，求；
（3）若B点坐标为（4，0），直接写出当△BCQ是等腰三角形时P点的坐标．
参考答案
一、选择题
1—10：DAABA CCDBC
二、填空题
11．
12．
13．
14．
15．
16．4
三、解答题
17．【解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【解】解：（1）①；
②
；
解：（2）①，
，
或；
②，
．
19．【解】（1）解：由题意得
，
解得：，
；
（2）解：原式
．
20．【解】（1）解：，
∴得，
∴，
解得，
把代入，得，
解得，
∴方程组的解是；
（2）解：，
得，
∴③，
，得，
解得，
把代入，得，
解得：，
∴方程组的解是
21．【解】（1）解：已知关于的方程组与有相同的解，
与有相同的解，
解，得到，
故相同的解为；
（2）解：将代入，
得到，
解得
，．
22．【解】（1）解：设营业厅购进A，B两种型号手机各x部、y部，则：
，
解之，得：，
答：营业厅购进A，B两种型号手机各6部，4部．
（2）解：设购进A种型号机x部，则购进B种型号机部，获得的利润为w元，由题意得：
，
因为B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，
所以，
解得：，
因为，，
所以w随着x的增大而减小，
所以当时，w取得最大值，此时，，
所以方案为：再次购进A种型号机7部，B种型号机13部，获得的利润最大，最大利润是9300元．
23．【解】（1）解：，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2）证明：于点，
在中，，在中，，
在中，，在中，，
，
；
（3）解：，，，
，
，
，，
，
点为的中点，
，
，
米，
骑行小道的长为米．
24．【解】（1）解：∵长方形，
∴，，
∴，
∵的平分线在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，则：，
解得：，
∴；
（2）过点作轴，交轴于点，交于点，则：，
由（1）知，直线的解析式为，
∵点在线段上，且不与点A，P重合，横坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
即：；
（3）作点关于轴的对称点，连接，则：，
∵的周长，
∴当点在线段上时，的周长最小为的长，
同（1）法可得直线的解析式为，
∴当时，，
∴，
作轴于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴周长的最小值为．
25．【解答】（1）证明：∵四边形AOBP是平行四边形，
∴AP∥OB，
∴∠BAP＝∠ABO，
∵点P关于直线AB的对称点为Q，
∴∠BAP＝∠QAB，
∴∠QAB＝∠ABO，
∴AC＝BC．
（2）解：过点P作PM⊥x轴于点M，
在平行四边形OAPB中，OA＝BP，OA∥PB，
∴∠AOC＝∠PBM，
在△AOC和△PBM中，
，
∴△AOC≌△PBM（AAS），
∵四边形AOBP是平行四边形，AC⊥OB，
∴OB＝AP，AC⊥AP，
设A点坐标（3a，4a），
∴OC＝3a，AC＝4a，
∵AC＝BC，
∴BC＝AC＝4a，AP＝AQ＝7a，OM＝10a，PM＝4a，CQ＝3a，
∴，
，
∴.．
（3）解：过点A作AN垂直x轴于点N，
设AN＝4m，ON＝3m，则OA＝BP＝BQ＝5m，
当点A在第一象限时：
①当BC＝BQ时，
BC＝5m，OC＝4﹣5m，CN＝4﹣8m，
∵AC＝BC，
∴AC＝5m，
∴在Rt△ACN中，AN2+CN2＝AC2，
∴（4m）2+（4﹣8m）2＝（5m）2，
解得，（舍去），
∴；
②当BC＝CQ时，
∵OB＝AQ，AC＝BC，
∴OB﹣BC＝AQ﹣AC，即CQ＝OC，
∴OC＝BC＝BC＝AC＝2，
∴CN＝2﹣3m，
∴在Rt△ACN中，AN2+CN2＝AC2，
即（4m）2+（2﹣3m）2＝22，
解得，
∴；
③当CQ＝BQ时，
OC＝CQ＝BQ＝5m，
∴CN＝2m，AC＝BC＝4﹣5m，
∴在Rt△ACN中，AN2+CN2＝AC2，
即（2m）2+（4m）2＝（4﹣5m）2，
解得（舍去），，
∴；
综上，P点坐标（或或．
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