《领跑高中》物理二轮复习 专题三 电场和磁场 素养培优5 带电粒子在三维空间中的运动（教师用书）

素养培优5　带电粒子在三维空间中的运动
带电粒子在立体空间常见运动及解题策略
运动类型 解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动
一维加一面，如旋进运动 旋进运动将粒子的运动分解为一个轴方向的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴的所在面内的圆周运动
运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动
【典例1】　（多选）（2024·安徽安庆三模）如图所示，在三维直角坐标系O-xyz中，分布着沿z轴正方向的匀强电场E和沿y轴正方向的匀强磁场B，一个带电荷量为＋q、质量为m的小球沿x轴正方向以一定的初速度v0抛出后做平抛运动，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A.可求小球的初速度v0大小为
B.经过时间，球的动能变为初动能的2倍
C.若仅将电场方向变为沿y轴正方向，小球可能做匀速圆周运动
D.若仅将电场撤去，小球可能做匀速直线运动
答案：AC
解析：小球在xOy平面内做平抛运动，则有Eq＝qv0B，解得小球的初速度v0＝，A正确；小球的动能变为初动能的2倍时，由Ek＝m＝2Ek0，可知vy＝v0＝＝gt，即经过时间为t＝，B错误；若仅将电场方向变为沿y轴正方向，如果小球受到的电场力和重力大小相等，则小球可能做匀速圆周运动，C正确；若仅将电场撤去，小球合力不可能为零，不可能做匀速直线运动，D错误。
【典例2】　如图所示，竖直平面MNRS的右侧存在方向竖直向上且足够大的匀强磁场，从平面MNRS上的O点处以初速度v0＝10 m/s垂直MNRS面向右抛出一带电荷量为q、质量为m的小球。若磁感应强度大小B＝，g取10 m/s2。求：
（1）小球离开磁场时的速度大小；
（2）小球离开磁场时的位置与抛出点的距离。
答案：（1）10 m/s　（2） m
解析：（1）小球在水平方向做匀速圆周运动，在竖直方向做自由落体运动，水平方向小球恰好转半个周期离开磁场，故离开磁场的时间为t＝＝＝1 s，则离开磁场时在竖直方向上的速度vy＝gt＝10 m/s，故小球离开磁场时的速度大小为v＝＝10 m/s。
（2）小球离开磁场时在竖直方向的位移大小为y＝gt2＝5 m，小球在水平方向做匀速圆周运动有qv0B＝，解得R＝，水平方向位移为直径，即x＝2R＝＝ m，则小球离开磁场时的位置与抛出点的距离为s＝＝ m。
【典例3】　（2024·湖南高考14题）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电荷量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。
（1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值；
（2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ的绝对值；
（3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
答案：（1）　（2）　（3）
解析：（1）将电子的初速度分解为沿x轴方向的速度v0、y轴方向的速度vy0，则电子做沿x轴正方向的匀速直线运动和投影到yOz平面内的匀速圆周运动，又电子做匀速圆周运动的周期为T＝，电子均能经过O进入电场，则＝nT（n＝1，2，3，…）
联立解得B＝（n＝1，2，3，…）
当n＝1时，Bmin＝。
（2）由于电子始终未与筒壁碰撞，则电子投影到yOz平面内的圆周运动的最大半径为r，由洛伦兹力提供向心力有evy0maxB＝m
则｜tan θ｜＝＝。
（3）电子在电场中做类斜抛运动，当电子运动到O点并且沿y轴正方向的分速度大小为vy0max时，电子在电场中运动的y轴正方向的最大位移最大，由牛顿第二定律有eE＝ma
由速度与位移公式有＝2aym
联立解得ym＝。
【典例4】　（2024·北京高考20题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。如图为某种霍尔推进器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和B1；还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、电荷量为＋e，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和。已知电子的质量为m、电荷量为－e；对于氙离子，仅考虑匀强电场的作用。
（1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a；
（2）求径向磁场的磁感应强度大小B2；
（3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求此霍尔推进器获得的推力大小F。
答案：（1）　（2）　（3）
解析：（1）对于氙离子，仅考虑电场的作用，则氙离子在放电室内只受电场力作用，由牛顿第二定律有eE＝Ma，解得a＝。
（2）电子由阴极发射运动到阳极过程，由动能定理有eEd＝mv2
处于阳极附近的电子在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动，则轴线方向上所受电场力与在径向磁场作用下受到的洛伦兹力平衡，即eE＝evB2，解得径向磁场的磁感应强度大小为B2＝。
（3）单位时间内阴极发射的电子总数为n，被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，则单位时间内被电离的氙原子数为N＝，氙离子经电场加速，有eEd＝Mv'2
设Δt时间内氙离子所受到的作用力大小为F'，则由动量定理有F'·Δt＝NΔt·Mv'，解得F'＝
由牛顿第三定律可知，霍尔推进器获得的推力大小为F＝F'
则F＝。
1.（2024·山东济宁一模）如图所示，在三维坐标系O-xyz中存在一长方体ABCD-abOd，yOz平面左侧存在沿z轴负方向、磁感应强度大小为B1（未知）的匀强磁场，右侧存在沿BO方向、磁感应强度大小为B2（未知）的匀强磁场（未画出）。现有一带正电粒子以初速度v从A点沿平面ABCD进入磁场，经C点垂直于yOz平面进入右侧磁场，此时撤去yOz平面左侧的磁场B1，换上电场强度为E（未知）的匀强电场，电场强度的方向竖直向上，最终粒子恰好打在Aa棱上。已知AB＝2L、Aa＝AD＝L，B2＝5B1，粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。求：
（1）磁感应强度B1的大小；
（2）粒子第二次经过yOz平面的坐标；
（3）电场强度E的大小。
答案：（1）　（2）　（3）
解析：（1）带电粒子在yOz平面左侧磁场中做匀速圆周运动，由几何关系得R2＝（2L）2＋（R－L）2
解得R＝L
由牛顿第二定律可得qvB1＝m
解得B1＝。
（2）在右侧磁场中由牛顿第二定律得qvB2＝m，又B2＝5B1
解得r＝L
粒子经过y轴坐标为y＝2rsin 45°＝
粒子经过z轴坐标为z＝L－2rcos 45°＝
即粒子第二次经过yOz平面的坐标为。
（3）粒子在电场中做类平抛运动，x轴方向上2L＝vt
y轴方向上L－y＝t2
解得E＝。
2.（2024·湖南长沙高三二模）如图所示，三维坐标系Oxyz内存在着正四棱柱空间区域，正四棱柱的截面OPMN水平且与ACDF-IJGH的两个底面平行，其中A点的坐标为，C点的坐标为，正四棱柱ACDF-OPMN空间处于沿y轴方向的匀强电场中，OPMN-IJGH空间处于沿y轴负方向的匀强磁场中，质量为m、电荷量为＋q的粒子以速度v0从A点沿AD方向射出，经电场偏转后恰好从截面OPMN的中心进入磁场区域，不计粒子的重力。
（1）求匀强电场的电场强度；
（2）若粒子恰好未从四棱柱的侧面飞出，求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）若粒子最终从JH连线上的一点射出磁场区域，此点到J点的距离为L，求I点的y轴坐标。
答案：（1），沿y轴负方向
（2）　（3）（n＝1，3，5，…）
解析：（1）粒子在电场中做类平抛运动，沿AD方向有L＝v0t
沿y轴方向有L＝at2
沿y轴方向的加速度a＝
解得匀强电场的电场强度大小为E＝
方向沿y轴负方向。
（2）粒子到达OPMN的中心，如图甲所示，平行于正四棱柱底面的分速度大小始终为v0，带电粒子在平行于正四棱柱底面的方向上做匀速圆周运动，恰好未从四棱柱的侧面飞出，做出其运动的圆轨迹如图乙所示
由几何关系可得粒子做匀速圆周运动的半径
r＝L
由洛伦兹力提供其做匀速圆周运动所需的向心力，可得qv0B＝m
解得B＝。
（3）若带电粒子最终从JH连线上的一点射出磁场区域，由几何关系可知，粒子做匀速圆周运动的半径为r'＝L
时间对应半个周期的奇数倍，即
t1＝n（n＝1，3，5，…）
如图甲所示，到达截面OPMN中心的带电粒子沿y轴负方向的速度大小
vy＝at，I点的y轴坐标
y＝vyt1
代入数据可得y＝（n＝1，3，5，…）。
3.（2024·山东济南一模）如图甲所示，在三维坐标系O-xyz中，0＜x＜d的空间内，存在沿y轴正方向的匀强电场，x＞d的空间内存在沿x轴正方向的匀强磁场，荧光屏垂直于x轴放置，其中心C位于x轴上并且荧光屏可以沿x轴水平移动。从粒子源不断飘出电荷量为q、质量为m的带正电粒子，加速后以初速度v0沿x轴正方向经过O点，经电场进磁场后打在荧光屏上。已知粒子刚进入磁场时速度方向与x轴正方向的夹角θ＝60°，忽略粒子间的相互作用，不计粒子重力。
（1）求匀强电场电场强度的大小E；
（2）当粒子打到荧光屏后，沿x轴缓慢移动荧光屏，沿x轴正方向看去，观察到荧光屏上出现如图乙所示的荧光轨迹（箭头方向为荧光移动方向），轨迹最高点P的y轴坐标值为，求匀强磁场磁感应强度的大小B1以及荧光屏中心C初始位置可能的x轴坐标；
（3）若将荧光屏中心C固定于x轴上x＝d＋处，在x＞d的空间内附加一沿y轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B2＝，求附加匀强磁场B2后进入磁场的粒子打在荧光屏上的位置坐标。
答案：（1）　（2）　d＋（n＝0，1，2，3，…）　（3）
解析：（1）粒子在电场中运动时，有
d＝v0t，qE＝ma，vy＝v0＝at
解得匀强电场电场强度的大小E＝。
（2）在电场中的偏转距离y1＝t＝d
在垂直磁场方向上做匀速圆周运动的半径R1＝y2－y1＝d
根据qB1vy＝m
解得B1＝
周期T＝＝
t＝nT＝（n＝0，1，2，3，…）
则荧光屏中心C初始位置可能的x轴坐标
x＝d＋v0t＝d＋（n＝0，1，2，3，…）。
（3）由题意可知B＝＝
设粒子进入磁场速度为v，则v＝2v0
B与速度v方向垂直，则
R2＝＝d
由x＝d＋
可知圆轨迹与荧光屏相切，则
y＝y1＋R2sin 60°＝d
z＝－R2＝－d
粒子打在荧光屏上的位置坐标为（d＋，d，－d）。
4.（2024·浙江金华模考）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示的是离子注入工作的原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直于纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场的电场强度大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直于纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，其底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直于注入到晶圆上的O点（即图中坐标原点，x轴垂直于纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子经过电场和磁场偏转的角度都很小。当α很小时，有sin α≈tan α≈α，cos α≈1－α2。求：
（1）离子通过速度选择器后的速度大小v和磁分析器选择出来的离子的比荷；
（2）偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标（x，y）表示；
（3）偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标（x，y）表示。
答案：（1）　　（2）　（3）
解析：（1）通过速度选择器的离子由于受力平衡需满足qE＝qvB，可得速度v＝
由题图知，从磁分析器中心孔N射出离子的运动半径为R＝
由＝qvB，得＝＝。
（2）偏转系统仅加电场时，离子在偏转系统中做类平抛运动，设离子离开偏转系统时速度的偏转角为θ，离开电场时，离子在x方向偏转的距离
x1＝··
tan θ＝＝
离开电场后，离子在x方向偏移的距离
x2＝Ltan θ＝
则x＝x1＋x2＝＝
离子注入晶圆的位置坐标为。
（3）如图所示，偏转系统仅加磁场时，由qvB＝得，离子进入磁场后做匀速圆周运动的半径r＝＝
sin α＝
离开磁场时，离子在y方向偏转距离y1＝r（1－cos α）≈sin2α≈
离开磁场后，离子在y方向偏移距离
y2＝Ltan α≈Lsin α≈
则y＝y1＋y2＝
故位置坐标为。
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